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1、第1节特征值与特征向量相似矩阵1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵第1页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、一、特征值与特征向量特征值与特征向量 二、相似矩阵二、相似矩阵1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 第2页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向
2、量一、特征值与特征向量 定义定义1：列向量列向量，使得，使得则称数则称数 为方阵为方阵A的一个特征值，非零向量的一个特征值，非零向量 称为称为设设A是是n阶方阵，若对于数阶方阵，若对于数 ，存在，存在n维非零维非零A的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量.注：注：存在非零向量存在非零向量 使使 第3页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵设设 是一个未知量，矩阵称为是一个未知量，矩阵称为A的的定义定义2:特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 特征方程，其根称为特征方
3、程，其根称为A的特征根，即的特征根，即A的特征值的特征值.称为称为A的的特征多项式特征多项式.方程方程 称为称为A的的注注.n阶方阵阶方阵A在复数范围内有在复数范围内有n个特征值个特征值.第4页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（1）若若 是是A的属于特征值的特征向量，则的属于特征值的特征向量，则也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量.（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的特征值是被特征向量所唯一确定的.（一
4、个（一个 特征值可以有多个特征向量）特征值可以有多个特征向量）（一个特征向量只能属于一个特征值）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2 2）也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量.若若 是是A的属于特征值的特征向量，的属于特征值的特征向量，则则 不全为零不全为零第5页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向
5、量.并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值，它们就是属于这个特征值全部特征值全部特征值.i)求求A的特征多项式的特征多项式 的全部根，它们就是的全部根，它们就是A A的的第6页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例例1.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例2.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例3.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例题例题第7页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与
6、特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵性质性质1：n阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵 的特征值相同的特征值相同.性质性质3：已知为已知为n阶矩阵阶矩阵A的一个特征值，则的一个特征值，则（1）必有一个特征值为必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为必有一个特征值为;主要性质主要性质 A的全体特征值的和的全体特征值的和 A的的全体特征值的积全体特征值的积性性质质2：设设n阶阶矩矩阵阵 ，则则第8页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向
7、量、相似矩阵（3）必有一个特征值为必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（5）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为；（6）多项式）多项式 必有一个特征值为必有一个特征值为.例例4.设设3阶矩阵阶矩阵A满足满足 ，则，则A的特征值的特征值只能是只能是1或或2.第9页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 例例例例6.已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，2，3，求求行列式行列式 .例例例例7 7.已知已知3阶矩阵阶矩阵A的
8、特征值为：的特征值为：1，1，2，求求行列式行列式 .例例例例5：已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，1，2，则矩阵的特征值为：则矩阵的特征值为：，行列式行列式.第10页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵定理定理1.设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值 的特征的特征向量，则向量，则 线性无关线性无关.特征值特征值 的特征向量，则的特征向量，则 定理定理2.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的属于互不相同的的属于互不相同的线性无关线性无关.（属于矩阵属于矩阵A的不同特
9、征值的特征向量线性无关的不同特征值的特征向量线性无关.）第11页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵值，值，是是A的属于特征值的属于特征值 定理定理3.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的互不相同的特征的互不相同的特征的线性无关特征向量，则向量组的线性无关特征向量，则向量组线性无关线性无关.（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）合在一起仍为线性无关）.例例8.设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值 的特征向
10、量的特征向量则则 不是不是A的特征向量的特征向量.第12页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1 1定义定义定义定义设设A，B为两个为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，P称为相似变换矩阵称为相似变换矩阵.2基本性质基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似相似矩阵的幂矩阵也相似.第13页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征
11、值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等.（5）相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其 逆矩阵也逆矩阵也相似相似.定理定理3.相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.第14页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵推论推论.设设n n阶矩阵阶矩阵A A与对角矩阵与对角矩阵相似，则相似，则 就是就是A的的n个特征值个特征值.注注.若矩阵若矩阵A A与对角矩阵相似，则可方便求出与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂的幂 及及A的的多项式多项式.第15页，共16页，编辑于2022年，星期一1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵作业作业作业作业2：习题：习题3作业作业1：习题：习题1，（，（3）作业作业3：习题：习题4第16页，共16页，编辑于2022年，星期一