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1、高考理科数学数学导数专题复习Newly compiled on November 23,2020高考数学导数专题复习高考数学导数专题复习考试内容考试内容导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值证明不等式恒成立考试要求：考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题知识
2、要点知识要点1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在导数的概念导数的几何意义、物理意x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f(x0 x)f(x0)；比值导数的运算法则f(x0 x)f(x0)存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做lim limx0 xx0 x数y函数的单调性，即f(x0)=limy f(x)在x0处的导数，记作f(x0)或y|xx0注：f(x0 x)f(x0)y.limx0 xx0 xf(x0 x)f(x0)y导称为函数导数的运算y f(x)在点x0到x0 x之间的平均变化率；如果极限xx常见函数的导数导数
3、的应用函数的极值x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.函数的最值B，则A与B关系为A B.以知函数y f(x)定义域为A，y f(x)的定义域为2.函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0 x，则x x0相当于x 0.于是lim f(x)lim f(x0 x)lim f(x x0)f(x0)f(x0)xx0 x0 x0 limx0f(x0 x)f(x0)f(x0 x)f(x0)x f(x0)lim
4、 lim lim f(x0)f(x0)0 f(x0)f(x0).x0 x0 x0 xx如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x0 0处连续，但在点x0 0处不可导，因为yyy不存在.1；当x0 时，1，故limx0 xxxy|x|，当x0 时，xx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义和物理意义：（1）几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0)，切
5、线方程为y y0 f(x)(x x0).（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。4.求导数的四则运算法则：(uv)vuvu (cv)cvcv cv（c为常数）注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sin x，g(x)cos x，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们和f(x)g(x)sin xcos x在x 0处均可导.2x2x5.复合函数的求导法则：fx(x)f(u)(x)或yx yuux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：函数单调性的判定
6、方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则y f(x)为增函数；如果f(x)0，则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=0，则y f(x)为常数.注：f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0 时f（x）=0，同样f(x)0是 f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x
7、0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数
8、y f(x)x3，x 0使f(x)=0，但x 0不是极值点.例如：函数y f(x)|x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.C 0（C为常数）(sin x)cos x(arcsin x)11 x2(xn)nxn1（nR）(cos x)sin x(arccos x)11 x211II.(ln x)(logax)logae(arctan x)1x21xxIII.求导的常见方法：常用结论：(ln|x|).形如y (xa1)(xa2).(xan)
9、或y 代数和形式.无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为ln y xln x，对两边(xa1)(xa2).(xan)两边同取自然对数，可转化求(xb1)(xb2).(xbn)1xy1求导可得 ln x x y yln x y y xxln x xx.yx经典例题剖析经典例题剖析考点一：求导公式。考点一：求导公式。1例 1.f(x)是f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值是。3解析：f x x2 2，所以f 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。考点二：导数的几何意义。例 2.已知函数y f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y f(1)f(1)。1
10、x2，则2解析：因为k 11，所以f 1，由切线过点M(1，f(1)，可得点 M 的纵坐标为2255，所以f1，所以f1 f 1 322答案：33)处的切线方程是。例 3.曲线y x32x24x 2在点(1，解析：y 3x2 4x 4，点(1，3)处切线的斜率为k 344 5，所以设切线方程为y 5x b，将点(1，3)带入切线方程可得b 2，所以，过曲线上点(1，3)处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 C：y x33x2 2x，直线l:y kx，且直线l
11、与曲线 C 相切于点x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则k y0 x0 0。由点x0,y0在曲线 C 上，则x0y02 x03x0 2。又y 3x2 6x 2，x0在y0 x03x0 2x0，32x0,y0处曲线 C 的切线斜率为k f x0 3x026x02，22x03x0 2 3x06x0 2，整理得：2x03x0 0，解得：x03或x0 02311（舍），此时，y0，k 。所以，直线l的方程为y x，切点坐标是844 33,。281 33答案：直线l的方程为y x，切点坐标是,428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又
12、在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。考点四：函数的单调性。例 5.已知fx ax33x2 x 1在 R R 上是减函数，求a的取值范围。解析：函数fx的导数为f x 3ax2 6x 1。对于xR都有f x 0时，fx为a 0减函数。由3ax2 6x 1 0 x R可得，解得a 3。所以，当 3612a 0a 3时，函数fx对xR为减函数。189.当a 3时，fx 3x 3x x 1 3x 。39323由函数y x3在 R R 上的单调性，可知当a 3是，函数fx对xR为减函数。10.当a 3时，函数fx在 R R
13、上存在增区间。所以，当a 3时，函数fx在 R R 上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知a 3。答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。考点五：函数的极值。例 6.设函数f(x)2x33ax23bx 8c在x 1及x 2时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的x0，3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。解析：（1）f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有66a3b 0，解得a 3，b 4。f(1)0，f(2)0即2412a3b 0（2）由（）可知，f(x)2x39x21
14、2x8c，f(x)6x218x12 6(x1)(x2)。当x(01)，时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0。所以，当x 1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c。则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c。因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98c c2，解得c 1或c 9，因此c的取值范围为(，1)(9，)。答案：（1）a 3，b 4；（2）(，1)(9，)。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤：求导数f x；求f x 0的根；将f x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x在
15、各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。考点六：函数的最值。考点六：函数的最值。例 7.已知a为实数，fxx2 4x a。求导数f x；（2）若f 1 0，求fx在区间 2,2上的最大值和最小值。解析：（1）fx x3 ax2 4x 4a，（2）f 1 3 2a 4 0，a f x 3x2 2ax 4。1。f x 3x2 x 4 3x 4x 124令f x 0，即3x 4x 1 0，解得x 1或x，则fx和f x在区间 2,23上随x的变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数0f150509 4 4，f 。所以，fx在区间 2,2上的最大值为f ，最小2727233值为f19
16、。250 4答案：（1）f x 3x2 2ax 4；（2）最大值为f ，最小值为273f19。2点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设函数f(x)ax3bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x6y7 0垂直，导函数f(x)的最小值为12。（1）求a，b，c的值；（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析：（1）f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxc ax3b
17、xcc 0，f(x)3ax2b的最小值为12，b 12，又直线x6y7 0的1斜率为，因此，f(1)3ab 6，a 2，b 12，c 06（2）f(x)2x312x。f(x)6x212 6(x2)(x2)，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所以函数f(x)的单调增区间是(,2)和(2,)，f(1)10，f(2)8 2，f(3)18，f(x)在1,3上的最大值是f(3)18，最小值是f(2)8 2。答案：（1）a 2，b 12，c 0；（2）最大值是f(3)18，最小值是f(2)8 2。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训
18、练1.选择题x211.已知曲线y 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）42A1B2C3D42.曲线y x33x21在点（1，1）处的切线方程为（）Ay 3x 4By 3x 2Cy 4x 3Dy 4x 53.函数y (x 1)2(x 1)在x 1处的导数等于（D）A1B2C3D4（）4.已知函数f(x)在x 1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为Af(x)(x 1)2 3(x 1)Bf(x)2(x 1)Cf(x)2(x 1)2Df(x)x 15.函数f(x)x3 ax23x 9，已知f(x)在x 3时取得极值，则a=（）（A）2（D）5（B）3（C）46.函数f(x)x33x21是减函数的
19、区间为()（）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2)7.若函数fx x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数f x的图象是（）yyyyoxoxoxox8.函数f(x)2x2x3在区间0,6上的最大值是（）A32313B163C12D99.函数y x33x的极大值为m，极小值为n，则mn为（）A0B1 C2D410.三次函数fx ax3 x在x,内是增函数，则（）Aa 01Da 3Ba 0 Ca 1的点中，坐标为整数的点的个4数是（）A3B2C1D012.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（
20、）A1 个B2个C3 个D 4 个2.填空题11.在函数y x38x的图象上，其切线的倾斜角小于13.曲线y x3在点1,1处的切线与x线x 2所围成的三角形的面积为_。1414.已知曲线y x3，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33_15.已知f(n)(x)是对函数f(x)连续进行 n 次求导，若f(x)x6 x5，对于任意xR，都有f(n)(x)=0，则 n 的最少值为。16.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨3.解答题17.已知函数fx x3 ax2bx
21、c，当x 1时，取得极大值 7；当x 3时，取得极小值求这个极小值及a,b,c的值18.已知函数f(x)x33x29x a.（1）求f(x)的单调减区间；轴、直（2）若f(x)在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.19.设t 0，点 P（t，0）是函数f(x)x3 ax与g(x)bx2 c的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线。（1）用t表示a,b,c；（2）若函数y f(x)g(x)在（1，3）上单调递减，求t的取值范围。20.设函数fx x3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。（1）求b、c的值。（2）求g(x)的单调区间与极值。
22、21.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少11，(1，3内各有一个极值点22.已知函数f(x)x3ax2bx在区间11)32（1）求a24b的最大值；（1）当a24b 8时，设函数y f(x)在点A(1，f(1)处的切线为l，若l在点A处穿过函数y f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式强化训练答案：强化训练答案：4.填空题813.14.y 4x 4 0 15.7 16.2035.解答题17.解：f x 3x2
23、2ax b。据题意，1，3 是方程3x2 2ax b 0的两个根，由韦达定理得a 3,b 9fx x33x29x cf1 7，c 2极小值f3 3333293 2 25极小值为25，a 3,b 9，c 2。18.解：（1）f(x)3x2 6x 9.令f(x)0，解得x 1或x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).（2）因为f(2)81218 a 2 a,f(2)81218 a 22 a,所以f(2)f(2).因为在（1，3）上f(x)0，所以f(x)在1，2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间 2,2上的最大值和最小值.于
24、是有22 a 20，解得a 2.故f(x)x33x29x 2.因此f(1)139 2 7,即函数f(x)在区间 2,2上的最小值为7.19.解：（1）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)0，即t3 at 0.因为t 0,所以a t2.g(t)0,即bt2 c 0,所以c ab.又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f(t)g(t).而f(x)3x2 a,g(x)2bx,所以3t2 a 2bt.将a t2代入上式得b t.因此c ab t3.故a t2，b t，c t3.（2）y f(x)g(x)x3t2x tx2t3,y 3x2 2tx t2(3x
25、 t)(x t).当y (3x t)(x t)0时，函数y f(x)g(x)单调递减.由y 0，若t 0,则tt x t；若t 0,则t x .33由题意，函数y f(x)g(x)在（1，3）上单调递减，则ttt(1,3)(,t)或(1,3)(t,).所以t 3或 3.即t 9或t 3.333又当9 t 3时，函数y f(x)g(x)在（1，3）上单调递减.所以t的取值范围为(,93,).20.解：（1）fx x3bx2cx，f x3x22bxc。从而g(x)f(x)f(x)x3bx2cx(3x22bx c)x3(b3)x2(c2b)xc是一个奇函数，所以g(0)0得c 0，由奇函数定义得b
26、3；（2）由（）知g(x)x36x，从而g(x)3x26，由此可知，(,2)和(2,)是函数g(x)是单调递增区间；(2,2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x 2时，取得极大值，极大值为4 2，g(x)在x 2时，取得极小值，极小值为4 2。21.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为h 18 12x 4.5 3x(m)430 x.2故长方体的体积为从而V(x)18x 18x2(4.5 3x)18x(1 x).令Vx 0，解得x 0（舍去）或x 1，因此x 1.当0 x 1时，Vx 0；当1 x 3时，Vx 0，2故在x 1处Vx取得极大值，并且这个极大值就是Vx的最大值
27、。从而最大体积V Vx 912613m3，此时长方体的长为 2 m，高为 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 m 时，体积最大，最大体积为3m3。11，(1，3内分别有一个极值22.解：（1）因为函数f(x)x3ax2bx在区间11)32，(1，3内分别有一个实根，点，所以f(x)x2ax b 0在11)设两实根为x1，x2（x1 x2），则x2 x1a24b，且0 x2 x14于是x2 3，即a 2，b 3时等号成0a24b 4，0 a24b16，且当x1 1，立故a24b的最大值是 16（2）解法一：由f(1)1ab知f(x)在点(1，f(1)处的切线l的方程是21y
28、f(1)f(1)(x1)，即y (1ab)xa，32因为切线l在点A(1，f(x)处空过y f(x)的图象，21所以g(x)f(x)(1ab)xa在x 1两边附近的函数值异号，则32x 1不是g(x)的极值点1121而g(x)x3ax2bx(1ab)xa，且3232g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)若1 1a，则x 1和x 1a都是g(x)的极值点1所以1 1a，即a 2，又由a24b 8，得b 1，故f(x)x3 x2 x321解法二：同解法一得g(x)f(x)(1ab)xa3213a3(x1)x2(1)x(2a)322因为切线l在点A(1，f(1)处穿过y f(x)的图象，所以g(x)在x 1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m11 m2）当m1 x 1时，g(x)0，当1 x m2时，g(x)0；或当m1 x 1时，g(x)0，当1 x m2时，g(x)03a 3a 设h(x)x21x2，则22当m1 x 1时，h(x)0，当1 x m2时，h(x)0；或当m1 x 1时，h(x)0，当1 x m2时，h(x)0由h(1)0知x 1是h(x)的一个极值点，则h(1)2113a 0，21所以a 2，又由a24b 8，得b 1，故f(x)x3 x2 x3