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1、高考文科数学导数专题复习第 1 讲 变化率与导数、导数的计算知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=xo处的导数f(xo)或yl x=xo，即f(xo)=limx 0 xofx|Ax _fx函数f(x)的导函数f(x)=lixmo-A-为f(x)的导函数.2.线导数的几何意义函数y=f(x)在点Rxo,f(xo)处的切线的斜+Ax一fXoAAxy=f(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲率，过点P的切线方程为yyo=f(xo)(x_xo).3.4.根本初等函数的导数公式导数的运算法那么假设f(x),g(x)存在，那么有:考点一导数的计算【例 1】求以下函数的导数:x(1)y=eln
2、解(1)yX/X/X X/=(e)Inx+e(Inx)1=e Inx+e=InX Xxx+xex.(2)因为y=x3+1+4xxxx所以y(x3)+(1)+1=3x24.x1】(1)函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)=2xf(1)+Inx，那么f(1)等于(【训练A.e B.1 C.1 D.e解析 由f(x)=2xf(1)+Inx,得f(x)=2f(1)+丄，二f(1)=2f(1)+1,那么f(1)=1.答案 B)x(2)(2021 天津卷)函数f(x)=axln x,x(0,+)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.假设f(1)=3，贝 U a 的值为 _.1(2)f(x)
3、=aInx+x =a(1+Inx).由于f(1)=a(1+In 1)=a,又f(1)=3,所以a=3.答案(2)3x考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例 2】(2021 全国川卷)f(x)为偶函数，当xW0时，f(x)=ex1x，那么曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 _.解析(1)设x0,那么一x0 时，f(x)=ex 1+x.因此，当x0 时，f(x)=ex 1+1,f(1)=e0+1=2.那么曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f(1)=2，所以切线方程为y 2=2(x 1)，即 2xy=0.答案 2xy=0【训练 2(2021 威海质检)函数f(x)=xln
4、x,假设直线I过点(0，1)，并且与曲线y=f(x)相切，那么直线I的方程为()A.x+y 1=0 B.xy 1=0 C.x+y+1=0 D.xy+1=0yo=xolnxo,1+Inxoxo,解得xo=1,yo=0.切点为(1,0),f(1)=1+In 1=1.直线I的方程为y=yo+1=x 1,即卩xy 1=o.答案 B命题角度二 求切点坐标1【例 3】(2021 西安调研)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=-(x0)上点P处的切线垂直，那么P的坐x标为解析 由y=e，知曲线y=e 在点(0,1)处的切线斜率xxk1=eo=1.设P(m,n)，又y=1(x0)的导数y=xhk2=
5、1,所以m=1,从而n=1.g,曲线y=1(xo)在点P处的切线斜率k2=m.依题意那么点P的坐标为(1,1).答案(1,1)2xy+1=o,那么点P的坐标是.解析(1)由【训练 3】假设曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线1题意得y=Inx+x-=1+Inx,直线 2xy+1=0 的斜率为 2.设P(m,n)，贝 U 1+In m=2，解得 m=e,所x以n=eln e=e,即点P的坐标为(e,e).答案(1)(e,e)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例 4】(2021 全国n卷)曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax1 2+(a+2)x+1 相切，那么a=1解
6、析 由y=x+Inx，得y=1+x,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k=y|x=1=2，所以切线方程为y1=2(x 1)，即y=2x 1.又该切线与y=ax2+(a+2)x+1 相切，消去y,得ax2+ax+2=0,二8工0且人=a28a=0,解得a=8.答案 8【训练 4】1.函数f(x)=Inx+ax的图象存在与直线 2xy=0 平行的切线，那么实数函数f(x)=Inx+ax的图象存在与直线1 1a的取值范围是 _,2xy=0 平行的切线，即f(x)=2 在(0,+)上有解，而f(x)=11a=2-,因为a0,所以 2-v2,所以a的取值范围是(一,2).答案X+a，即x+a在(0，+
7、m)上有解,x(2)(32)2.点P是曲线x2y Inx=0 上的任意一点，那么点至V5P到直线y=x 2 的最小距离为(A.1 B.c2厂C.=D.22v解析 点P是曲线y=x2 Inx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x 2 平行时，点P到直线y=x 2 的距离最小，直线y=x 2 的斜率为 1，令y=x2 Inx,得y=2x=1,解得x=1 或x=x2 In上和直线y=x 2 平行的切线经过的切点坐标为点P到直线y=x 2 的最小距离为 2.答案 D(1,1)，点(1,1)到直线y=x 2 的距离等于2,1=2(舍去)，故曲线y第 2 讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数
8、的关系函数y=f(x)在某个区间内可导，那么：(1)假设f(x)0，那么f(x)在这个区间内单调递增；(2)假设f(x)0)，试讨论f(x)的单调性.,x 2xx 2x(x)=e(ax+x+1)+e(2ax+1)=e ax+(2a+1)x+2=e(ax+1)(x+2)=aexx+1(x+2)当a=2 时,f(x)=ex(x+2)20恒成立，.函数f(x)在 R 上单调递增;a221111当 0vav时，有一2,令f(x)=aexx+(x+2)0，有x 2 或xv-,2aaa111x令f(x)=aex+(x+2)v0,有-vxv2,.函数f(x)在8,-和(2,+)上单调递增，在a1、112 上
9、单调递减；当a;时，有：v2,令f(x)=ae2a=aexx+a(x+2)v0 时，有一 2vxv1x+aaaf(x)a1(x+2)0 时，有x或xv2，令aaaf(x)在(8,2)和函数1】(2021 四川卷节选【训练底数.(1)讨论f(x)的单调性;a，+8上单调递增；在1-2,a上单调递减.1 e2)设函数f(x)=axa Inx,g(x)=一一 r,其中a R,e=2.718为自然对数的xe证明：当x1 时，g(x)0.2ax12“(x0).当a0时，f(x)0 x x(1)解 由题意得f(x)=2ax-=时，由f(x)=0 有x=-jL,当x0时，f(x)0,2a2aV2a,8f(x
10、)单调递增.(2)证明 令s(x)=ex 1x,那么s(x)=ex 1 1.当x1 时，s(x)0，所以 ex 1x，从而g(x)=1 1 0.xe考点二 求函数的单调区间4【例 2】(2021 重庆卷改编)函数f(x)=ax+x(a R)在x=$处取得极值.3x(1)确定a的值；(2)假设g(x)=f(x)e，求函数g(x)的单调减区间.322(1)对f(x)求导得f(x)416a8_-3=亍-3=0，解得a=2=3ax+2x，因为f(x)在x=14处取得极值，所以f416 3=0,即 3a9+1332 x 1352 x 12 x2 x 13由(1)得g(x)=?x+xe 故g(x)=?x+
11、2xe+*+xe=尹+?xx+2xe=x(x+1)(x+4)e.令g(x)0,得x(x+1)(x+4)0.解之得一 1x0 或x0).那么f(x)=奁.令f(x)=0,解得x=为(5,+s)，减区间为(0,5).考点三函数的单调性求参数x,+sxfxxfxf x12【例 3】(2021 西安模拟)函数f(x)=Inx,g(x)=ax+2x(a*0).(1)假设函数h(x)=f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；假设函数h(x)=f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.12 1解(1)h(x)=Inx 2ax 2x,x0./.h(x)=-一ax 2.假设函数h(x)在(0
12、,+)上存在单调减区间，那么当2x1 1 2 1 2x0 时，x-ax-2 1.即实数a的取值范围是(一 1,+).12aQx)min.(*)又 QX)=x 1以 1，所11 2(2)由h(x)在1,4上单调递减，当x 1,4时，h(x)=一一ax 2-2-恒成立,x 以ayx)max又GX)=1 12 1,X 1,4因为X 1,4，所以XXX 1,所以 QX)ma尸一(此时4X4x=24)，所以a当a=汕,h(x)=宁务2=7x 4 416x16x=7X:x 1,4,h16x(X)f(x)的单调递减区间为依题意,3a=1，即a=3.3第 3 讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导
13、数的关系(1)函数的极小值与极小值点：假设函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f(x)0，那么点a叫做函 数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点：假设函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么 点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件：如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
14、最大值和最小值考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值【例 1】设函数f(x)在 R 上可导，其导函数为f(x)，且函数y=(1 x)f(x)的图象如 以下图，那么以下结论中一定成立的是.(2)求y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x3,此时f(x)0;当一 2x1 时，01 x3,此时f(x)0;当 1x2 时，一11 x0,此时f(x)2 时，1 x0，由此
15、可以得到函数f(x)在x=2 处取得极大值，在x=2 处取得极小值答案 D命题角度二 求函数的极值【例 2 求函数f(x)=xalnx(a R)的极值.a xa解 由f(x)=1-=-,x0 知：当aW0时，f(x)0，函数f(x)为(0,+s)上的增函数，函数f(x)x 无极值；(2)当a0 时，令f(x)=0，解得x=a.又当x(0,a)时，f(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=aalna,无极大值.综上，当a0 时，函数f(x)在x=a处取得极小值aalna,无极大值.命题角度三极值求参数342【例 3关于x的函数f(x)=3x+bx+cx+bc在x=1
16、处有极值3，试求b,c的值.331f 1=1+2b+c=0,2414 解得f 1=一+b+c+bc=一.332b=1,c=1解/f(x)=x+2bx+c,由f(x)在x=1 处有极值7，可得r、3b=1,或2假设b=1,c=1，贝Uf(x)=x+2x 1=(x 1)w0,f(x)没有极值.假设b=1,c=3,c=3.那么f(x)=x2 2x+3=(x+3)(x 1).当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表:xf(x(g,3)30(3,1)1(1,+g)+04极大值31f(x)极小值-12/4当x=1 时，f(x)有极大值3,满足题意故b=-1,c=3 为所求.32、【训练 1】设函数f
17、(x)=ax 2x+x+c(a0).(1)当a=1,且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)假设f(x)在 R 上无极值点，求a的取值范围解 由题意得f(x)=3ax 4x+1.(1)函数图象过(0,1)时，有f(0)=c=1.当a=1 时，f(x)=3x 4x+1.11 1 1令f(x)0,解得x1；令f(x)0,解得 3x1.所以函数在g,3 和(1,+s)上单调递增；在 3 132上单调递减.故函数f(x)的极小值是f(1)=1 2X1+1+1=1.假设f(x)在 R 上无极值点，那么f(x)在 R 上是单调函数，故f(x)?0或f(x)W0恒成立.当a=0 时，f(x)=4x+
18、1,显然不满足条件；当a0时，f(x)?0或f(1)W0恒成立的充要条件是A=(4)2 4X3axK 0,一 4一 4m即 16 12a 3.综上，a的取值范围是,+.考点二利用导数求函数的最值【例 4】(2021 郑州模拟)函数f(x)=(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解(1)由f(x)=(xk)ex,得f(x)=(xk+1)ex，令f(x)=0,得x=k 1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：xf(x)(g,k1)k10(k1,+g)+f(x)ek 1所以，f(x)的单调递减区间是(一g,k 1);单调递增区间是(k 1,+)
19、.当k K0,即卩kwi时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=k,当 0k11,即卩 1k 1,即卩k时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区 间0,1上的最小3求函数f(x)在-,e 上的最大值.值为f(1)=(1 k)e.k _ 1综上可知，当kwi时，f(x)min=k；当 1k0)，假设函数f(x)在x=1 处与直线y=?相切，(1)求实数 a,b的值；2得f(x)=-2bx(x0).xf 1=a 2b=0,切 -1解得f 1=b=2,1时，令f(x)o，得-x1，令f f(x)max=f(1)=1考点三函数极值与最值的综合问题【
20、例 5】函数f(x)=a=1,1b=2.(2)由知f(x)=In1211 x1x,贝yf(x)=-x=，当xWee,1 上单调递增，在(1,e)上单调递减,2(x)0，得 1x0)的导函数y=f(x)的两个零点为一 3 和 0.(1)求f(x)的单调区间；(2)假设f(x)的极小值为一 e5,求f(x)在区间5,+)上的最大值.，解(1)f(x)=b2ax+be ax+bx+ce ax+2abx+bc人2x 2厂=x.令g(x)=ax+(2ab)x+e由于 ex0.令f(x)=0，那么g(x)=ax2+(2ab)x+bc=0,3 和 0 是y=g(x)的零点，且f(x)与g(x)的符号相同.又
21、因为a0,所以一 3x0，即f(x)0，当x0 时，g(x)0，即f(x)5=f(0)，所数f(x)在区间5,+3)上的最大值是 5ee【训练 3】(2021 衡水中学月考)函数f(x)=ax 1 Inx(a R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；假设函数f(x)在x=1 处取得极值，？x(0,+3),f(x)bx2 恒成立，求实数b的最大值.解(1)f(x)的定义域为(0,+3),f(x)=a-=1ax 1.当aw0时，f(x)W0在(0,+)上恒成立，函数x x1f(x)在(0,+3)上单调递减.f(x)在(0,+3)上没有极值点当a0 时，由f(x)0，得 00,a1得x
22、-,f(x)在 0,1aa11上递减，在；,+3上递增，即f(x)在x=-处有极小值综上，当a0 时，f(x)在(0,+3)上有一个极值点/函数f(x)在x=1 处取得极值，f(1)=a 1=0，贝U a=1，从而f(x)=x 1 Inx.因此f(x)bx1 Inx1 InxInx 222?1+-b,令g(x)=1+x 丁，那么g(x)=了，令g(x)=0，得x=e,那么g(x)在(0,e)上 z.z.z.z.2z.1递减，在(e,+3)上递增，g(x)min=g(e)=1 g,即bw1 了故实数b的最大值是 1 了4211第 4 讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质【例 1】(
23、2021 全国n卷)函数f(x)=Inx+a(1 x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2 时，求a的取值范围.)上单调递增.1解 f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=xa.假设a0,所以f(x)在(0,x11 11假设a0,那么当x 0,时，f(x)0；当x,+8时，f(x)0 时，f(x)在x=-取得最大值，最大值a111为f=In+a1 =Ina+a 1.因此faaa12a 2 等价于 Ina+a 10.令g(a)=Ina+a 1,贝Ug(a)a在(0,+8)上单调递增，g(1)=0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a
24、的取值范围是(0,1).13 12 2【训练 1】设f(x)=3+x+2ax.(1)假设f(x)在3,+8上存在单调递增区间，求3236 7a的取值范围；16当 0vav2 时，f(x)在1,4上的最小值为一，求f(x)在该区间上的最大值.2解(1)由f(x)=x+x+2a=x12 1 2 一 2 2+-+2a,当x24,+8时，f(x)的最大值为f3=;+2a；3921 1 2令 9+2a 0,得a 9.所以，当a 9 时，f(x)在,+8上存在单调递增区间.x2+x+2a的图象开口向下，且对称轴x=,16 10vav2,f(x)在1,4上取到最小值一，而f(x)=f (1)=1+1+2a=
25、2a0,f(4)=16+4+2a=2a 12v0,那么必有一点xo 1,4,使得f(x。)=0,1 11110T.f(2)此时函数f(x)在1,Xo上单调递增，在Xo,4上单调递减，f(1)=;+;+2a=;+2a 0,f(4)=-x64+3263考点二利用导数研究函数的零点或方程的根2x【例 2(2021 北京卷)设函数f(x)=2 kinx,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：假设f(x)存在零点，那么f(x)在区间(1,e上仅有一个零点x2(1)解 由f(x)x=kink(负值舍去).f(x)4016x(k0)，得k x2kx0 且f(x)=x一=一.由f(x)=0,解得
26、62入2x16+8a=+8a=石？a=1.此时，由f(X0)=x0+x+2=0?x=2 或一 1(舍去)，所以函数f(x)max=7332与f(x)在区间(0,+8)上的情况如下:x xxf(X)(0,砾)一Vk0(g+8)+f(x)k 1-ink所以f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是2/f(k)=C.k,+m).f(x)在x=k处取得极小值k 1-inkk 1 ink证明 由(1)知，f(x)在区间(0,+)上的最小值为f(k)=k 1 ink.因为f(x)存在零点，所以w0,从而k e.当k=e 时，f(x)在区间(1，第上单调递减，且fh/e)=0,所以x=/e 是f(x
27、)1e_k在区间(1,e上的唯一零点.当ke 时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)=-0,f(e)=亍0 且c-270，存在X1(-4,-2),X2-2,-3,Xs-,0,使得f(xj=f(X2)=f(X3)=0.由f(x)的单调性知，当且仅当考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题3232 一32_c 0,27 时，函数f(x)=x+4x+4x+c有三个不同零点.【例 3】(2021 合肥模拟)f(x)=xlnx,g(x)=x+ax-x+2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为31,求函数g(x)的解析式;对任意x(0,+),n n2f(x)wg(x)+2 恒成立
28、，求实数a的取值范围.n n1n n_解 g(x)=3x+2ax-1,由题意 3x+2ax-10 的解集是 一 3,1,即 3x+2ax_ 1=0 的两根分别是1.将x=1 或3 代入方程 3x2+2ax-1=0，得a=-1.所以g(x)=x3-x2-x+2.31331由题意 2xlnx Inx 2X，设h(x)=Inix-xx 1 3x+1 2+2J2 -云-，令h(x)=0,得x=1 或一-(舍)，当 0 x0,当x1 时，h(x)2，所以a的取值范围是2,+).2【训练 3】函数f(x)=x Inxax,aR.假设f(x)x,求a的取值范围.(1)当a=1 时，求f(x)的最小值;2解当
29、a=1 时，f(x)=x Inmxx,f(x)=门2x+x门.当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)=0.由f(x)x，得f(x)x=x Inx(a+1)x0.由于x0,所以f(x)x等价于2人x-a+1.令g(x)=xInxIn x“，x 1+In xt2.当x,那么g(x)=2x1)时，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)=1.故a+11,a1 时，f(x)x 1.20 得1h(x)在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是 一,+8.(1)解f(x)=一一x+1=x0,210.解得0 x1；5.故f(x)的x+x+2【训练 3】函数f(x)=xax 1.单调递增区间
30、是0,.(2)证明31 xr(x)=.当x(1,(1)m假设f(x)在 R 上为增函数，求实数a的取值范围；(2)假设函数f(x)的单调减区间为(一 1,1)，求a的值.解x因为f(x)m+)时，F(x)1 时，F(x)F(1)=0,令F(x)=f(x)(x 1),x(0,+).那么有F在 R 上是增函数，所以f(x)=3x2a?0在 R 上恒成立，即a 0,即当x1 时，f(x)1 时,f(x)0,当且仅当x=0 时取等号.f(x)=x3 1 在 R 上是增函数.所以【训练 4】(2021 泰安模拟)函数f(x)=Inx.实数a的取值范围是(一8,0.(2)f(x)=3x2a.当aw0时，f(x)0,f(x)在(8,+)上为增函数,fx1fx 1(1)求函数F(x)=-+2 的最大值；(2)证明：-+-0 时，令 3x2a0 时，0 xe;当F(x2x2x1 1在(0,e)上是增函数，在(e,+)上是减函数，故F(x)max=F(e)=-+一+e2,x)e,故F(x)x证明 令h(x)=xf(x)=x Inx,那么h(x)=1 x=号，当故h(x)在(0,1)上是减函数，在(1+s)上是增函数,11fx故h(X)min=h(1)=1.又F(X)max=一+21,故F(X)h(X)，即e 2h(x)0 时，0 x0 时，x1,x1+2xf(x).