第五章多元函数微分学讲解.pdf

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1、第五章多元函数微分学知识点拔知识点拔5.15.1多元函数的概念多元函数的概念一、二元函数的概念一、二元函数的概念1 1、二元函数的定义、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量x,y和z，如果对于变量x,y在某一范围D内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z与它对应，则称变量z是变量x,y的二元函数，记作：z f(x,y)或z z(x,y)，其中x,y称为自变量，z称为因变量或称为x,y的二元函数，变量x,y取值范围D称为该函数的定义域.2 2、二元函数的几何意义、二元函数的几何意义二元函数z f(x,y)在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限二、二元

2、函数的极限1 1、二元函数极限的定义、二元函数极限的定义设二元函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)的某去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任何方式无限地趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)总是无限地趋于一个常数A，则称A是函数z f(x,y)在P(x,y)趋于P0(x0,y0)时的极限（也称二重极限），记作lim f(x,y)A或xX0yy0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A，若记点P(x,y)与点P0(x0,y0)之间的距离为0|PP0|(x x0)2(y y0)2，则有lim f(x,y)A.注释：注释：（1）极限的几何意义极限的几何意义：当P(x,y

3、)在P0(x0,y0)附近的某个范围内变化时，函数值f(x,y)与常数A的距离恒小于任意给定的正数；（2）二元函数极限存在是指：二元函数极限存在是指：动点P必须以任意方式趋于点P0时，f(x,y)都无限趋于常数A，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P沿过P0的无穷多条路径趋于P0时极限都等于A，也不能说明PP0时，f(x,y)A.（3）二元函数极限不存在的判定方法二元函数极限不存在的判定方法：如果当点P(x,y)以两种不同的方式趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)分别趋于不同的常数，则可以断定函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处的极限不存在。x2y如：f(x,y)4，当动点沿无穷

4、多条直线ykx趋于点o(0,0)时极限都是0，但2x y1Po(0,0)时其二重极限不是0，因为当P沿曲线yx趋于点o(0,0)时，f(x,y).222 2、二重极限不存在的判定方法、二重极限不存在的判定方法当点P沿两种不同的路径趋于定点P0时，极限存在但不相等或沿某条路径点P趋于P0点极限不存在时，则二重极限不存在.3 3、求二元函数极限的常用方法、求二元函数极限的常用方法求二元函数极限（即二重极限）的方法有：（1）利用函数连续的定义及初等函数的连续性；（2）利用夹逼定理；（3）利用有界函数与无穷小量乘积的性质；（4）利用变量替换.(x2 2y2)1cos(x2 y2)例例 1 1求下限极限

5、（1）lim；223/2x0(x y)y01x2ylime（2）lim2；（3）x0 x4 y4x0 x y2y0y0解解（1）令x rcos，y1x y22；（4）limx0y1xy 11.xy(x y 2)rsin，则x0，y0时，r x2y20，于是22(r2)2r(1s in)(x2 2y2)1cos(x2y2)r2(1sin2)(1c o r s2)2 limlim limx0r0r0r3(x2 y2)3/2r3y01limr3(1sin2)，因1sin2 2，所以limr3(1sin2)0，故原极限0.r02r0 x2 y2x1x2y12（2）由于0 2，而limx 0，所以根据夹

6、逼定理，得x222x022x yx yy0 x2yx2ylim2 0，故lim2 0.x0 x y2x0 x y2y0y0221(x2 y2)2ex y22x yx y t，则e（3）因4，令444222x yx y(x y)1122ee(x2 y2)22x2y2lim2 lim2 0，而414 2为有界函数，故原极限为0.44x0(x y2)2t0tx yx yy0（4）lim1x y221tx0y1xy 1111 lim.0 xy(x y 2)x6y1(x y 2)(xy 11)x2y2例例 2 2证明极限lim22不存在.x0 x y (x y)2y0 x2y20证明证明 由lim22

7、lim 0，即沿x轴趋于原点时，极限值为0；而x0 x y (x y)2x00 x2y0y0 x2y2x2 x2lim22 lim1，即沿直线y x趋于原点时，极限值为 1，即沿不同4x0 x y (x y)2x0 xyxyxx2y2方向趋于原点时，极限值不同，故lim22不存在.x0 x y (x y)2y04 4、二重极限与二次极限、二重极限与二次极限称limlim f(x,y)或limlim f(x,y)为二次极限.二重极限与二次极限是两个不同的xx0yy0yy0 xx0概念，它们之间无任何关系，因此不能用求二次极限来求二重极限.三、二元函数的连续性定义三、二元函数的连续性定义定定 义义

8、设 二 元 函 数z f(x,y)在 点(x0,y0)的 某 个 邻 域 内 有 定 义，如 果x0y0lim z limf(x x,y y)f(x,y)0或lim f(x,y)f(x0,y0)，则称f(x,y)在点x0y0 xx0yy0(x0,y0)处 连 续，否 则，就 称 函 数z f(x,y)在 点(x0,y0)处 不 连 续 或 间 断，称z f(x x,y y)f(x,y)是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量，如果f(x,y)在区域D上的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续.例例 3 3讨论下列函数在分段点(0,0)处的连续性xy(x2 y2)2xy,(x,y

9、)(0,0),(x,y)(0,0)22（1）f(x,y)x y（2）f(x,y)x2 y20,0,(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)2xy2kx22k解解（1）因为lim2，当k取不同的值时，极限值不同，所 lim2x0 x y2x0 x2 k2x21 kykx以极限lim f(x,y)不存在，故函数在(0,0)处不连续.x0y0 x2 y22(x y2)22xy(x y)1212222x y（2）由于0，而limx y 0，2222x02x yx y2y0 xy(x2 y2)xy(x2 y2)0，所以lim f(x,y)lim 0 f(0,0)，由夹逼定理，知lim2222x0 x0

10、x0 x yx yy0y0y0故f(x,y)在(0,0)处连续.注释：注释：一切多元初等函数在其定义的区域内定义的区域内是连续的，于是多元初等函数在其定义区域内任一点定义区域内任一点的极限值等于函数在该点的函数值的极限值等于函数在该点的函数值.5.25.2偏导数的概念偏导数的概念一、偏导数的概念一、偏导数的概念1 1、全增量和偏增量的概念、全增量和偏增量的概念设z f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，P(x,y)为该邻域内的任一点，则称z f(x,y)f(x0,y0)或z f(x0 x,y0 y)f(x0,y0)为二元函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量；而称x

11、z f(x0 x,y0)f(x0,y0)为二元函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)处对x的偏增量；称yz f(x0,y0 y)f(x0,y0)为二元函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏增量.2 2、偏导数的概念、偏导数的概念设z f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，如果极限limxzx0 x limx0f(x0 x,y0)f(x0,y0)存在，则称这个极限值为z f(x,y)在点P0(x0,y0)处对x的x偏导数，记作：zxxx0yy0，fxxx0yy0(x0,y0)；，zx(x0,y0)，fx如果极限limyzxx0 limx0f(x0,y y0)f(x

12、0,y0)存在，则称这个极限值为zy f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数，记作：zy，xx0yy0fyxx0yy0(x0,y0).，zy(x0,y0)，fy注释注释 由偏导数的定义知，在函数z 二元函数z似，二元函数z 函数z f(x,y)的定义域的边界上是不可能存在偏导数的.f(x,y)在点(x0,y0)对y的偏导数与一元函数f(x0,y)在y0点的导数类 f(x,y)在点(x0,y0)的对x的偏导数与一元函数f(x,y0)在x0点的导数相似.f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数是否存在与函数z f(x,y)在点(x0,y0)处是否存在极限、是否连续没有任何关系.如果z f(

13、x,y)在区域D上的每一点(x,y)都有偏导数，一般说它仍是x,y的二元函数，z fz f,fx(x,y);,fy(x,y)；称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为x xy y偏导数的等价定义式：fx(x,y)lim奇函数；0f(x ,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)，fy(x,y)lim，其中表示0当fx(x,y)，fy(x,y)存在时，偏导数还可以表示为：fx(x,y)lim0f(xah,y)f(xbh,y)f(x,yah)f(x,y bh)，fy(x,y)lim，h0(ab)h(ab)h其中a，b为常数.(x2y2)ln(x2y2),(x,y)(o,o)例例 4 4设f(x

14、,y)求fx(0,0)，fy(0,0).o,(x,y)(o,o)f(x,o)f(o,o)x2ln x2 lim limxln x2 o，解解fx(o,o)limxoxoxoxxf(o,y)f(o,o)y2ln y2fy(o,o)lim lim lim yln y2 o.yoyoyoyy二、高阶偏导数二、高阶偏导数1 1、高阶偏导数的概念、高阶偏导数的概念若z f(x,y)的 偏导 数fx(x,y),fy(x,y)仍然 具有偏 导数，则它们 的偏导 数称 为2z 2z2z2z(x,y)，fxy(x,y)，(x,y)，fyy或fxxz f(x,y)的二阶偏导数，记作：2,2,xyxy yx2z2z

15、(x,y)，其中,fyx称为二阶混合偏导数.类似地可以定义三阶、四阶及以上阶偏导数.xy yx注释：注释：（1）求高阶偏导数只需要逐次求偏导数即可，但是在求高阶混合偏导数时应注意求导次序，只有在高阶偏导数连续时，混合偏导数才与求导次序无关.（2）若求函数f(x,y)在具体点(x0,y0)处的偏导数，可不必求出该函数的偏导函数，然后代入点(x0,y0)，而先代入x x0或y y0，然后变为求一元函数的导数，此法一般来说更简单一些.2 2、二阶混合偏导数相等的充分条件、二阶混合偏导数相等的充分条件(x,y)，fyx(x,y)都在点(x,y)处定理定理如果二元函数z f(x,y)的两个二阶混合偏导数

16、fxy(x,y)fyx(x,y).连续，则有fxy注释：注释：定理中的条件只为充分条件.例例 5 5求下列函数在指定点的偏导数xc o s(y 1)(y 1)c o sxz（1）设z，求1n s ix n s i(y 1)y解解（1）由于2zx y（2）设z arctan，求(0,1)；1 xyx21 y，1sin(y 1)(0,0).zy(0,1)dz(o,y)dy，而z(o,y)y1dz(o,y)11sin(y 1)(y 1)cos(y 1)z，故dyy1sin(y 1)2(0,1)1.d2z（2）由于2dx(0,0)d2z(x,0)2Zd2z(x,0)2x，所以，故2222dxx2dx(

17、1 x)(0,0)0.5.35.3全微分的概念全微分的概念一、全微分的定义一、全微分的定义设z f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数z f(x,y)在点(x,y)的全增量z f(x x,y y)f(x,y)可以表示成z Ax By o(x)2(y)2)，其中A,B与x,y无关，但与x,y有关，则称z f(x,y)在点(x,y)处可微，而称Ax By为函数z f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz Adx Bdy.二、可微、连续、偏导数之间的关系二、可微、连续、偏导数之间的关系1 1、可微的必要条件、可微的必要条件若函数z f(x,y)在(x,y)处可微，则函数z

18、f(x,y)在点(x,y)处的偏导数z z,必存x y在，且在点M(x,y)处的全微分为dz zzdx dy或dz fx(x,y)dx fy(x,y)dy.xy注释：注释：判定函数z f(x,y)在点(x0,y0)是否可微的方法步骤为：（1）先求fx(x0,y0),fy(x0,y0)，如果只少有一个不存在，则函数在该点不可微；如果都存在，需进行下一步讨论；（2）求limf(x0 x,y0 y)f(x0,y0)fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y(x)(y)22x0y0，若上述极限为零，则函数在该点可微，否则函数在该点不可微.y，当x 2,y 1,x 0.1,y 0.2时的全增量和全微分.

19、xy yyy1，dz 2x y，所以当x 2,y 1,x 0.1,y 0.2解解因z x xxxx例例 6 6求函数z 时，有z 1(0.2)1511 0.119，dz 0.1(0.2)0.125.2 0.124242x y,(x,y)(o,o)22例例 7 7讨论函数f(x,y)x y在点(o,o)处是否可微.0(x,y)(o,o)解解fx(o,o)limxof(0,y)f(o,o)f(x,o)f(o,o)o，o，fy(o,o)limyoyxf fx(o,o)x fy(o,o)y xy(x)(y)22，由于limf fx(o,o)x fy(o,o)y(x)(y)22xoyo limxy不存在

20、，所以f(x,y)在点(o,o)不可微.xo(x)2(y)2yo2 2、可微的充分条件、可微的充分条件如果函数z f(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)处连续，则z f(x,y)在点(x0,y0)处可微.3 3、可微的充分条件、可微的充分条件若函数z f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则z f(x,y)在点(x0,y0)处连续.偏导数存在4 4、可微、连续、偏导数之间的关系：、可微、连续、偏导数之间的关系：偏导数存在且连续函数可微.函数连续三、全微分的应用三、全微分的应用由于z fx(x,y)x fy(x,y)y o()，则可得近似公式z fx(x,y)x

21、 fy(x,y)y或f(x x,y y)f(x,y)fx(x,y)x fy(x,y)y5.45.4复合函数的微分法复合函数的微分法1 1、复合函数的求导法、复合函数的求导法设函数z f(u,v)在点(u,v)可微，u u(x,y),v v(x,y)都在点(x,y)具有一阶偏导数，并且它们可以构成Z关于(x,y)在某区域 D 内的复合函数z fu(x,y),v(x,y)，则在 D 内有复合函数的（链式）求导法则zz uz vzz u z v.，xu xv xyu yv y注释：注释：（1）若z f(u,v)，u(x)，v(x)，则（2）若z f(u,x)，u(x,y)，则dzz duz dv；d

22、xu dxv dxzfuzfuf.，xu xxyu y例例 8 8设u f(x,xy,xyz)，其中f具有一阶连续偏导数，求u的一阶偏导数.解解为表示简明起见，将三个中间变量按顺序编为1,2,3号，所以uuu xf2 xzf3，xy f3.f1 f2 y f3 yz f1 yf2 yzf3，yzx2u例例 9 9设u f(x y,xz)有二阶连续导数，求.xz2uu f2 xzf22.(f1zf2)xf12解解 f1zf2，xzzx5.55.5隐函数的微分法隐函数的微分法一、由一个方程所确定的一元隐函数的导数一、由一个方程所确定的一元隐函数的导数设y f(x)是由方程F(x,y)0所确定的函数

23、，且函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内具有连续偏导数，F(x0,y0)0，Fy(x0,y0)0，则由方程F(x,y)0所决定的函数y f(x)在(x0,y0)点的导数f dy x，其中fx，fy是二元函数F(x,y)分别对x,y的偏导数.dxfy二、二元隐函数的导数二、二元隐函数的导数设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数且F(x0,y0,z0)0，Fz(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续Fy(x,y,z)Fx(x,y,z)zz 函数z f(x,y)且满足z0 f(x0,y0)

24、，并有连续导数，.xFZ(x,y,z)yFZ(x,y,z)例例 1010设有三元方程xy zln y e域，在此邻域内该方程x z1，根据隐函数的存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻（A）只能确定一个具有连偏导数的隐函数z z(x,y)；（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x,z)和z z(x,y)；（C）可确定两个具有连续编导数的隐函数x x(y,z)和z z(x,y)；（D）可确定两个具有连续编导数的隐函数y y(x,z)和x x(y,z).解解令F (x,y,z)xy zln y exz1，则Fx(x,y,z)y zexZ，Fy(x,y,z)x z，yFZ(x,y,z)ln

25、y xexZ，由 于 在P(0,1,1)点，fx(x,y,z)P 2，fy(x,y,z)P 1，fZ(x,y,z)P 0，所以根据隐函数存在定理，方程可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x,z)和x x(z,y)，故选(D).5.65.6方向导数和梯度方向导数和梯度一、方向导数一、方向导数1 1、方向导数的定义、方向导数的定义设函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，P(x0tcos,y0tsin)是过点P0的射线l上的另一点，若limt0f(x0tcos,y0tsin)f(x0,y0)存在，则称此极限为t函数z f(x,y)在P0(x0,y0)点沿l方向的方向导数，

26、其中cos,sin是l的方向数，记为：fl(xo,yo)limt0f(x0tcos,y0tsin)f(x0,y0).t设函数z f(x,y)在点P(x,y)的某个邻域内有定义，l是由P点出发的一条射线，而点Q(x x,y y)为该邻域内l上的另一点，相应的函数增量z f(Q)f(P)f(xx,yy)f(x,y)，若记：(x)2(y)2，如果极限limf(x x,y y)f(x,y)QPf(Q)f(P)|PQ|lim0zf或.ll存在，则称此极限值为函数z f(x,y)在P点处沿射线l的方向导数，记作：2 2、方向导数存在的充分条件、方向导数存在的充分条件如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0

27、)可微分，则函数在该点沿任何一方向l的方向导数存在且fl(xo,yo)fx(xo,yo)cosfy(xo,yo)sin.类似可得三元函数u f(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)点沿l方向的方向导数的定义和充分fxcosPo条件，其计算公式为flPofycosPofzcos，其中cos,cos,cos是Pol方向的方向余弦.例例 1111已知函数f(x,y)在P0(x0,y0)点的偏导数存在，且fx(x0,y0)m，求f(x,y)在P0点沿x轴负方向的方向导数.解解 过P0点沿x轴负方向作射线l，在P0点的邻域内射线l上取一点P(x0 x,y0)，则PPolimf(x0 x,y0)f(x0

28、,y0)f(x0 x,y0)f(x0,y0)f(x0 x,y0)f(x0,y0)lim limx0 x0PP0 x x fx(x0,y0)m，所以f(x,y)在P0点沿x轴负方向的方向导数为 m.注释：注释：若函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证z f(x,y)在点P0(x0,y0)可微.若函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证z f(x,y)在点P0(x0,y0)存在偏导数.若函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)存在偏导数，不能得到函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)沿任意方向的方向导数都存在.

29、二、梯度二、梯度1 1、梯度的定义、梯度的定义设函数z f(x,y)在(x,y)点的某邻域内存在偏导数，则向量fx(x,y)，fy(x,y)称为函数z f(x,y)在点(x,y)处的梯度，记作：gradf(x,y)或f(x,y).(x,y)，且gradf(x,y)所以gradf(x,y)fx(x,y),fyfx(x,y)2fy(x,y)2.类似可定义三元函数u f(x,y,z)的梯度gradf(x,y,z)fx(x,y,z),fy(x,y,z),fZ(x,y,z).2 2、梯度与方向导数的关系、梯度与方向导数的关系函数在一点的梯度是一个向量，它们方向是函数在该点的方向导数取得最大值的方向，它的

30、模等于该点处方向导数的最大值.方向导数存在注释注释：几个关系：一阶偏导连续 可微 偏导数存在函数连续 二重极限存在例例 1212 设f(x,y,z)x 2y 3z xy3x2y6z，求gradf(0,0,0)和gradf(1,1,1).解解222ffff 2xy3,4yx 2,6z 6，xyzxf 3，y(0,0,0)f 2，z(0,0,0)6，(0,0,0)fx 6，(1,1,1)fy 3，(1,1,1)fz 0，所以gradf(0,0,0)3,2,6，gradf(1,1,1)6,3,0.(1,1,1)例例 1313求函数u xyz在点M0(5,1,2)处沿从M0(5,1,2)到M1(9,4

31、,14)方向的方向导数.解解记L M0M14,3,12，由于gradu所以M0yz,xz,xyM0=2,10,5，uLM0 graduMOL02,10,5211694,3,1298.13例例 1414问函数u xy z在点P(1,1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解解gradu ux,uy,uZ y z,2xyz,xy22，gradu2,4,1是方向导数在点P取最大P值的方向，graduP2,4,121是此方向导数的最大值.5.75.7偏导数的几何应用偏导数的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面1 1、空间曲线的切线与法平面的概念、空间曲线的切

32、线与法平面的概念设点M0是空间曲线C上的一个定点，M是空间曲线C上的一个动点，当点M沿着曲线C趋近于M0点时，割线M0M的极限位置M0T（如果存在）称为曲线C在点M0处的切线，并称过点M0且垂直于切线M0T的平面为曲线C在点M0处的法平面.2 2、空间曲线的切线与法平面的方程、空间曲线的切线与法平面的方程x x(t)设空间曲线的参数方程为y y(t)z z(t)(t)，若三个函数都可导且不同时为零，则曲x0 x(t0)x x0y y0z z0线在点M0(x0,y0,z0)处的切线方程切线方程为：，其中y0 y(t0)，x(t0)y(t0)z(t0)z z(t)00曲线在点M0(x0,y0,z0

33、)处的法平面方程法平面方程为x(t0)(x x0)y(t0)(y y0)z(t0)(z z0)0.二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线设曲面的方程为F(x,y,z)0，M(x0,y0,z0)是曲面上的一个定点，并且函数F(x,y,z)的偏导数在M0点连续且不同时为 0，则曲面上过点M0的法线方程法线方程为：而过点M0的切平面方程切平面方程为：Fxx x0y y0z z0，Fx MoFy MoFzMo.(z z0)0.M0.(x x0)FyM0.(y y0)FZM05.85.8多元函数的极值多元函数的极值一、二元函数的极值及其求法一、二元函数的极值及其求法1 1、二元函数极值的定义、二元

34、函数极值的定义设函数z f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果对该邻域内的任何异于(x0,y0)的点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)或f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)取得极大值（或极小值）f(x0,y0)，极大值与极小值统称为极值，使得函数取极值的点称为极值点.注释：注释：极值点一定是函数定义域中的内点，对于边界点不考虑它是否极值点.2 2、极值存在的必要条件、极值存在的必要条件设函数z f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在，则必有fx(x0,y0)0，fy

35、(x0,y0)0，并称点(x0,y0)为驻点.注释注释：函数的驻点不一定是极值点，如z xy，(0,0)是它的驻点，但不是它的极值点；极值也可能在偏导数不存在的点取得.例例 1515设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是A、f(x0,y)在y y0处的导数等于零；B、f(x0,y)在y y0处的导数大于零；C、f(x0,y)在y y0处的导数小于零；D、f(x0,y)在y y0处的导数不存在.解解由函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微知，函数在(x0,y0)的两个偏导数存在，又由二元函数极值存在的必要条件知，f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数都为零

36、，从而有df(x0,y)dyyy0fy(x0,y0)0，故选 A.3 3、极值存在的充分条件、极值存在的充分条件设z f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续，且有连续的二阶偏导数，并设(x0,y0)是(x0,y0)，C fyy(x0,y0)，则(x0,y0)，B fxyf(x,y)的驻点，记：A fxx（1）当B AC 0时，点(x0,y0)是极值点，若A 0时，f(x0,y0)为极小值；若A 0时，f(x0,y0)为极大值；2（2）当B AC 0时，f(x0,y0)不是极值；2（3）当B AC 0时，不能确定f(x0,y0)是否为极值.2注释：注释：二元函数的极值点不一定是驻点，如z

37、x2 y2,点(0,0)是函数的极小值点但不是驻点，因它在点(0,0)不存在偏导数.若一元函数f(x,y0)在x0处取得极小（大）值，f(x0,y)在y0处取得极小（大）值，但2函数f(x,y)在点(x0,y0)处不一定取得极小（大）值.如z x 3xy 2y，z(x,0)x,与22z(0,y)2y2分别在x 0,y 0处取得极小值，但z(x,y)在(0,0)处不取得极小值.对函数z f(x,y)，即使在过(x0,y0)的所有直线L上取得极值，也不能保证z f(x,y)在(x0,y0)取得极值.2f 24x 8y 0 x22如：f(x,y)(2x y)(6x y)，由得唯一驻点(0,0)且3f

38、y 16xy 4y 0y2y2 x 内，f(x,y)0；而在此区域外f(x,y)0，故f(x,y)在点(0,0)f(0,0)0.在62不取得极值.令x t，y t，则(t)12t 8t t，2 22 34 4(t)242t 242t2 44t3，(0)0，(0)242 0.对一切 0，(t)取得极小值(0)0；对 0，0，(t)t也在t 0处取得极小值.例例 1616 求函数f(x,y)=x-y+3x+3y-9x的极值.2f xx,y 3x 6x 9 0解解 解方程组求得驻点为（1，0），（1，2），（-3，0），（-3，2），2f x,y 3y 6y 0y332244再求出二阶偏导数，有f

39、xx(x,y)6x 6,f xy 0;f yy 6y 6，0）有极小值f(1,0)5;在点(1,0)处,B AC 126 0,且A 12 0，所以在点（1在点(1,2)处，B AC 12(6)0,所以f(1,2)不是极值；在点(3,0)处，B AC 126 0,所以f(3,0)不是极值；222）(6)0,且A 0，在点(3,2)处B AC(12所以在点(3,2)有极大值f(3,2)31.二、函数的最大值与最小值求法二、函数的最大值与最小值求法1 1、有界闭域上函数最值的求法、有界闭域上函数最值的求法2函数在有界闭区域 D 上的最大值与最小值用比较法求.即比较驻点、偏导数不存在但函数连续的点以及

40、在 D 的边界上的函数值的大小而得.2 2、实际问题的最值求法、实际问题的最值求法对于许多实际问题，函数的最值一定存在，且最值又不可能在定义区域的边界上取得，如果函数又在定义区域内只有唯一驻点M0，则M0必是最值点.三、条件极值三、条件极值1 1、一个约束条件的极值求函数z f(x,y)在条件(x,y)0下的极值，一般方法为：（）构造拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)；（）将F(x,y,)分别对x,y,求偏导数，构造下列方程组Fx f x(x,y)x(x,y)0Fy f y(x,y)y(x,y)0解出(x,y)，这是可能取到极值的点，F(x,y)0（）判定上述点是否为极值点，如果

41、是，求出该点的函数值f(x,y).2 2、两个约束条件的极值、两个约束条件的极值求函数u f(x,y,z)在条件1(x,y,z)0，2(x,y,z)0下的极值方法：（）构造拉格朗日函数F(x,y,z,)f(x,y,z)1(x,y,z)2(x,y,z)；（）将F(x,y,z,)分别对x,y,z,求偏导数，得到下列方程组Fx f x(x,y,z)1x(x,y,z)2x(x,y,z)0,F f (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)0,y1y2yyFz f z(x,y,z)1z(x,y,z)2z(x,y,z)0,F(x,y,z)0,1F2(x,y,z)0.解出（x,y,z）,这是可能取到极值的点

42、.（）判定上述点是否为极值点，如果是，求出该点的函数值f(x,y).注释：注释：条件极值通常用来解决实际问题，在得到可能极值点的坐标之后，由所给实际问题的意义来分析其是否为极值点.例例 1717从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.解解设直角三角形的两边直角边的长分别为x,y，则周长S x y l（0 x l,0 y l），222问题是求在条件x y l下的条件极值问题.作函数F(x,y,)x y l(x y l)222Fx 1 2x 0l解方程组Fy 1 2y 0，x y，根据实际问题，这种最大周长的直角三角2222F x y l 0形一定存在，且(等腰直角三角形.l2,l2)是唯一的驻点，所以斜边的长为l的一切直解三角形中，周长最大的是