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1、第五章 多元函数的微分学5.1 多元函数的基本概念5.2 多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则5.5 多元函数的极限5.6 多元函数微分法在经济上的应用5.1 多元函数的基本概念1、平面点集xo-RRR-R2、邻域E 边界点边界点 外点外点内点内点 E.留意：开集不确定是开区域二、空间解析几何简介二、空间解析几何简介1.空间直角坐标系空间直角坐标系O-XYZ(右手法则右手法则)坐标轴坐标轴:坐标原点坐标原点:坐标平面坐标平面:卦限卦限:八个卦限八个卦限空间内的点空间内的点问题：空间任一点的坐标如何确定呢？O4、空间曲面与曲面方程特殊平面的方程2、球面方
2、程问题：如何相识空间任一张曲面的图形呢？（有爱好的同学可阅读相关资料）3、柱面方程4、圆锥面方程5、椭圆面方程6、椭圆抛物面方程6、双曲抛物面方程三、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义2、定义域的求法3、对应关系的求法4、二元函数的几何意义二元函数的极限例例1.证明证明证证对对当当时时,成立成立.恒有恒有成立成立.要使要使所以所以二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3若若则称函数则称函数在点在点处处连续连续若函数若函数在区域内每一点都连续，在区域内每一点都连续，则称函数则称函数在内在内连续，连续，或称或称是内的连续函数是内的连续函数若函数若函数在点在点处不连续，处不连续，则称点则称点为
3、为的的间断点间断点例如，例如，间断点为：间断点为：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质（最大值和最小值定理）性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，确定能够取得最大值和最小值在有界闭区域上的连续函数，确定能够取得最大值和最小值性质（介值定理）性质（介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值小值之间的任何数值二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其定义区域内连续结论结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的和、差、积、商
4、（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数例例45.2 多元函数的偏导数定义定义1设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，当固定当固定而而在在处有增量处有增量时，时，存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对的偏导数的偏导数.记作记作:或或即即若极限若极限在点在点处对处对的偏导数定义为的偏导数定义为:类似类似,函数函数也记作也记作是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,结论结论视视 y 为常量，为常量，对对 x 求导求导.视视 x 为常量，为常量，对对 y
5、求导求导.说明说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量只需视其它变量为常量,求导即可求导即可.根据一元函数的求导根据一元函数的求导公式和求导法则公式和求导法则,若函数若函数在区域在区域D内每一点内每一点处对处对的偏导数都存在的偏导数都存在,偏导数就是偏导数就是的函数的函数,称为函数称为函数对对的偏导的偏导(函函)数数.记作记作类似定义函数类似定义函数对对的偏导数的偏导数.记作记作:二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:xyzSo是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意
6、义知在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线在点在点处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.类似类似,在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线在点在点处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.二、偏导数的计算例例1.求求的偏导数的偏导数.解解例例2.求求处的偏导数处的偏导数.在点在点解解例例3.求求的偏导数的偏导数.解解例例4.求求的偏导数的偏导数.解解例例5.求函数求函数在原点处的偏导数在原点处的偏导数.解解二元函数在某一点处偏导数存在二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续但未必连续.不存在不存在二、高阶偏导数二、高阶偏导数设函数设函数在区域在区域D 内有偏导数内有偏导数若这两个函数的偏导数存在
7、，若这两个函数的偏导数存在，称其为函数称其为函数的的二阶偏导数二阶偏导数混混合合偏偏导导数数类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.解解例例1.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数.再求再求例例2.验证函数验证函数满足方程满足方程证证证证由自变量的对称性知由自变量的对称性知例例3.证明函数证明函数满足方程满足方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)5.3 多元函数的全微分一、一、全微分的定义与计算全微分的定义与计算设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，分别给分别给一增量一增量函数
8、相应的全增量函数相应的全增量若全增量可表示为若全增量可表示为:其中其中仅与仅与有关，与有关，与无关，无关，则称函数则称函数在点在点处可微处可微.称为函数称为函数在点在点处的全微分处的全微分.即即记作记作定义定义1若函数若函数在区域在区域D内各点处都可微内各点处都可微,则称函数在则称函数在D内可微内可微.定理定理1若函数若函数在点在点处可微分处可微分.则该函数则该函数在点在点的偏导数的偏导数必定存在必定存在,且且证证 由由特别特别同理可证同理可证留意留意 若函数若函数 在点在点存在存在处的偏导数处的偏导数函数在该点不一定可微函数在该点不一定可微.类似于一元函数类似于一元函数,记记或或定理定理2(
9、充分条件充分条件)若函数若函数在点在点 的某邻域内有连续的偏导数的某邻域内有连续的偏导数,则函数在该点可微则函数在该点可微.且且函数函数在点在点处关于处关于 x,y 的偏微分的偏微分.若函数若函数在点在点 可微可微则则解解例例1.求函数求函数在点在点(2,1)处当处当时的全微分时的全微分.例例2.求下列函数的全微分求下列函数的全微分:解解(1).二、全微分的应用：近似计算二、全微分的应用：近似计算当当很小时，函数的全增量很小时，函数的全增量7.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则(1)设函数设函数在点在点处处 有偏导数有偏导数,在点在点处有偏导
10、数处有偏导数,且且定理定理1而函数而函数在对应点在对应点处可微处可微则复合函数则复合函数连锁法则连锁法则若函数若函数都在点都在点 x 处可导处可导,函数函数在对应点在对应点处可微处可微,则复合函数则复合函数在点在点 x 处可导处可导,且且全导数全导数推论推论1.函数函数则复合函数则复合函数在点在点 x 的导数的导数全导数全导数推论推论2.以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明说明例例2.求求解解例例1.求求解解例例3.设设求求解解例例4.设设解解例例5.设设具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解令则则二、隐函数求导法则例例
11、1.设设求求及及解：法解：法1法法2 两边关于两边关于x求导求导例例2.设设求求解解 法法1 法法2 两边关于两边关于x求导求导 两边关于两边关于y求导求导例例3.设设,求求解解7.5 多元函数的极限一一.极值的概念极值的概念定义定义1对于该邻域内任一点对于该邻域内任一点,若恒有不等式若恒有不等式则称该函数在点则称该函数在点 P 处有处有极大值极大值则称该函数在点则称该函数在点P 处有处有极小值极小值极大值与微小值统称为极值极大值与微小值统称为极值.在点在点某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理2(必要条件必要条件)设函数设
12、函数在点在点处偏导数处偏导数存在存在,并取得极值并取得极值,则则证明证明:不妨设不妨设在点在点处取得极大值处取得极大值.则则,特别地特别地,取取有有在在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理同理,使使 同时成立的点同时成立的点,的的驻点驻点.称为函数称为函数 考虑一元函数考虑一元函数定理定理2(充分条件充分条件)令令,(1).若若,有极值有极值,(2).若若无极值无极值.(3).若若状况不定状况不定.时有极大值时有极大值时有微小值时有微小值且且设函数设函数在点在点某邻域内某邻域内及二阶连续偏导数及二阶连续偏导数,且且有一阶有一阶留意：留意
13、：(1)中的中的A换为换为C结论不变。结论不变。例例1.求函数求函数的极值的极值.解解:得驻点得驻点:在点在点处处,有微小值有微小值在点在点处处,无极值无极值.,无极值无极值.,有极大值有极大值,在点在点处处在点在点处处,最大值、最小值最大值、最小值对于该区域内任一点对于该区域内任一点,若恒有不等式若恒有不等式则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最大值最大值最大值与最小值统称为最值最大值与最小值统称为最值.如如,函数函数在点在点处取得最小值处取得最小值0在点在点处取得最大值处取得最大值2.在平面区域在平面区域内有定义内有定义,设函数设函数使函数取得最值的点称为最值点使函数取得最值的点称为最值
14、点.则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最小值最小值 最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值点只可能是以下三种类型的点：最值点只可能是以下三种类型的点：（1）边界点）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值在有界闭区域在有界闭区域上连续，则一定有最值。上连续，则一定有最值。设函数设函数（2）驻点）驻点（3）偏导数不存在的点）偏导数不存在的点依据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点，依据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值没有偏导数不
15、存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值例例2.在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价，屋顶造价，屋顶造价设房屋容积为设房屋容积为，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.解解:设长、宽、高分别为设长、宽、高分别为,则则造价造价解得解得答：当长、宽均为答：当长、宽均为，高为，高为时，时，造价最低。造价最低。，二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。拉格郎日乘数法：拉格郎日乘数法：（1).构造拉格朗日函数
16、构造拉格朗日函数:为常数为常数)(2).联立联立解得解得则点则点可能为极值点可能为极值点.(3).再探讨再探讨.(依据实际问题的实际意义可以推断依据实际问题的实际意义可以推断.)求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。（1).构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:为常数为常数)(2).联立联立解得解得再解例再解例2.求函数求函数在条件在条件下的极值下的极值.令令,联立联立,解得解得,例例2.在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价，屋顶造价，屋顶造价设房屋容积为设房屋容积为，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.推广推广 求函数求函数在满足条件在满足条件下的极值下的极值.构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:联立联立解得解得例例3 求平面求平面的交线上与的交线上与 xoy 面面距离距离最短的点最短的点.解解 设所求点为设所求点为,与与 xoy 面距离为面距离为:拉格郎日函数拉格郎日函数:联立联立得点得点:及及由题意知由题意知,所求点为所求点为:三、经济决策的最值问题举例再由