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1、-第五章多元函数微分学 2013 年考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用 2013 年考试要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式
2、的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8.了解二元函数的二阶泰勒公式。9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。一、“三基”内容 1.1.二元函数的几何意义(,)zf x y或(,)(,)F x y zzf x y=0；定义域是平面上的一个区
3、域，图形是一张曲面。1.2.二重极限与累次极限 1）二重极限 2222000000,0lim(,)lim(,)lim(,)0,0 xxx yxyx xyyxyyyf x yf x yf x yA 当022000,0()()U Pxxyy时，恒有(,)f x yA，其中00(,)(,)x yxy以任何方向和任何方式进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，00lim(,)xxyyf x y不相等，则可判定极限不存在。-【例 1】求11lim 1+x yxyyIxy和2222222001 coslimx yxyxyIxye 解：使用一元化技巧 1lim111l
4、im 1+lim 1+tyyx ytttx y txtyyyyIeexyt 2222220 02t220t001 cos1 costlimlim0txyx yxyxyIxye 先将，同时强行带入再一元化,即令=【例 2】2222,0,0,0,lim,0,0 x yxyxyxyf x yf x yxy 解：无法一元化，利用 0ykxk技巧。222,0,0,0,0,0,0,0,0lim,lim1 0lim,01 1lim,2x yx yy kxy kxx yy kxx yy kxxykf x yxykkf x ykf x y 可见，极限不存在。【例 3】求2212200limxyxyxyIxy 解
5、：无法一元化，使用 夹逼法。22222211100222200100,lim=02xxyxyxyyxyxyxyIxyxy 故极限存在 二重极限的脱帽法：00lim(,)(,),;xxyyf x yAf x yAx y其中：00lim,0 xxyyx y。评 注求二元函数,f x y的二重极限技巧是：先把00,xy值强行代入，如能直接得到值，则说明,f x y在点00,xy连续；否者，需要先定型后定法 再求极限，具体技巧有 3 个：一元化、夹逼法 和直线探针ykx。2）二次极限（累次极限）-00lim lim(,)yy xxf x yB为累次极限，如果(,)f x y连续，则0000lim li
6、m(,)lim lim(,)yy xxxxyyf x yf x y。【例 4】1sin,0,0,0 xyyf x yy 解：二次极限 0000limlim(,)0;lim lim(,)yxxxyyf x yf x y，故二次极限不存在。而二重极限 由于00010sin0lim,0 xxyxxfx yy 存在 可见，二重极限的存并不能保证二次极限的存在，反之亦然。1.3.二元函数的连续性的三种等价定义 全增量定义法：0000(,+)(,)zf xx yyf xy，如00lim0 xxyyz，则(,)zf x y在000,P x y点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将000,P x y的自变
7、量直接代入计算极限。二重极限定义法：0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy则(,)zf x y在P点连续，它与一元函数的连续性定义完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把00,xy值同时前行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。无穷小定义法：000,1 1 lim10PPfx yfxyooo其中：表示 从上述定义可得等价形式：000000lim0(,)(,)1xxyyzzf xx yyf xyo 。评 注由于可微的定义是 0000000000lim0(,)(,)0(,)(,)xyxxyyxyzzf xx yyf xyfxfyoffzf xx yyf xyo 而
8、 221=ooxyo，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函数的连续与可微性方面十分有用。重要性质：-a一切多元初等函数与一元函数一样，在其定义区间内是连续的。b连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。c多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的。1.4.偏导、全导、全微分 偏导：1）定义：,zf x y在 0U P内有定义且00000(,)(,)limxf xx yf xyx存在，0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 则记为 对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用该定义求左
9、右偏导。2）(,),zf x yxyf 和yxf 在区域D都连续，则xyyxff，如果xyyxff，则xyf 和yxf 在区域 D 至少有一个不连续。【例 5】（混合偏导次序不能交换的例子）222222,0,0,0 xyxyxyf x yxyxy 解：000022220000,00,0000,0limlim000,0,0000,0limlim00,0,00,limlim00,0,000,0limlim100,0 xxxyyxxxxxxxyyyyf xffxxfyffyxf x yfyxyyfyyyxxyfyfyfyyxfx 当 当 22220000,0limlim0,00,000,0limli
10、m10 0,00,0yyyyyxxyxyyxf x yf xxyxxyxyfxfxfxxff 混合偏导不能交换。读者可以对222222,0 xyf x yxyxyxy求混合偏导，结果是在0,0点是不连续的。3）本质上是一个求一元函数极值的过程，所以与二重极限无关。-4）如果只求,zf x y在某点00,x y的偏导，不必先求出该函数在任一点,x y的偏导，而是先代入0 xx或0yy后，再对y或x求偏导。一般地，存在下列关系：00000022000222000,|,|,|x xx xy yf xydf x yxdxf xydf x yxdxf xyf xyfdyxx ydyx 如 sin2220
11、0,1cos0,0,0|1|0yxxxxdfx yxxxyffxxdx 全导（只有多空间曲线才存在全导）(,)zf u v w而()()()uu tvv tww t归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：dzf duf duf dwdtu dtv dtw dt，dzdt称为全导。陈氏第 8 技关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。如果zf（表达式，表达式，表达式），如1222(,2,)zf xyxx，则用符号 1，2，3 分别代表对第 1、第 2、第 3 项求偏导，如12312xzf xffx。注意xxff而11ff。一般情况下zfxx。因为zx为隐式求偏导，表示把复合函数,zfx yx y中的y
12、当成不变量，对x的偏导，而fx为显式求偏导表示把复合函数,zfx yx y中的y和,x y都当成不变量，对x的偏导。例如：122,xzfx yfxzfx yx yffx -123,0zffyfxzf xy xy xyfx 只有在明显给出,zf x y函数形式的情况下，才有zfxx，希望读者体会本章相关例题。等效表达式：12 ;xyffff只在,zf x y的形式二元函数中成立。如函数,zf xy xy xy虽然z也是,x y的二元函数，但由于它是f的形式三元函数，故 等效表达式不成立。全微分 1）定义：如果,zf xx yyf x yA xB yo 成立，则称,zf x y在,x y点可微，A
13、 xB y 称为,zf x y在,x y点的全微分，记作dz。xyffdzA xB ydxdyf dxf dyxy 0000,xyzf xx yyf xyf dxf dyo 评 注 1可微的充要条件是：0000220,lim0+f xx yyf xyA xB yxy；2可微的充分条件是：0000220,lim0+f xx yyf xyxy；3一般情形下讨论点0,0的性质。2）形式不变性 比如：,zzzzzf u vux yvx ydzdudvdxdyuvxy 1.5、二元函数的四性关系（极限存在、连续、偏导及可微的关系）陈氏第 9 技二元函数的四性关系与原创反例。-xfXfl 必要必要充分充分
14、充分充分必要充分充分二重极限存在连续连续可微可微偏导存在的存在存在二次极限存在连续连续或极限存在偏导存在可微偏导存在且连续 评注偏导、二次极限是一维问题，而二重极限、连续、可微是二维问题，所以两组问题 之间没有任何关系，除非二维问题中含有一维因子，如可微。方向导数则是单方向。为便于比较，再列举一元函数的四性关系 充要充分必要充要必要充分必要充分充分必要可微可导可微连续极限存在可导极限存在连续可导连续【例 6】设2,fx yxy，求 ffxy，并讨论0,0点的可微性与连续性。解：22,0,00,0 0 x yyf x yx yyxy或 于是：当0,0yx时，2fyxx y 当0,0yx时，2fy
15、xx y 当0,0 xy时，20000lim,00limlimlim,0 xxxxxyyxxyxyfxxxxxyyxx 极限不存在；当0,=0 xy时，200lim0 xx yfxx；当=0,=0 xy时，200lim0 xx yfxx；-故：222222,0,0,0,0,0,0,0,0=0,00,0,0 xyxyxyxyx yx yyxxffyxyxx yxyyx yxyxyx 同理：不存在，222222000 0,00,0 lim00,00,0,0,0,0 xyyyxxyfxyoxyxydff x yf x y 不存在，又：即在可微，由前可知在的偏导是不连续的。可见，可微并不能保证偏导连续
16、。【例 7】分析2222,0,0,0 xyxyf x yxyxy的偏导与可微。解：00,00,00,0,00,0lim0;0,0lim000 xyxyf xffyfffxy 可见在0,0偏导存在；而 22220,00,0 xyx yxyffxfyxyxy 上式右边并不是22220 xyxy 时的高阶无穷小，事实上，22222222200000limlimlim1xxxyyy kxxyxyxyxykxyxykxy，可见,f x y在0,0点不可微。【例 8】分析函数,zf x y的连续和可微的关系。解：连续性要求-0000000000000000,lim,0,1 lim10 xyxyzf xx
17、yyf xyf xx yyf xyf xx yyf xyoo 可微性要求 000000000000222200,lim0 xyxyxyf xx yyf xyfxyxfxyyoffxyxfxyyooooxxxx 如果设 22221ooxxxx 则 220000lim1lim0 xxyyoxx 满足函数连续性要求，即,zf x y在00,x y点连续。而，2222220000limlim10 xxyyxxoxxxx 不满足函数可微性要求，即,zf x y在00,x y点不可微。所以满足连续不一定满足可微。显然，满足可微一定满足连续。【例 9】讨论函数333,f x yxy在0,0点的可微性。解：3
18、33000033333332222,0,000,00,01;0,0,010,0,1111limlimlim 11 xyxyy kxx yxxf xxffyyfffxyxfxyyf x yxyxyxyxyxykxkxkkxxxykxk 故在0,0点的不可微。陈氏第10 技快速判断可微方略：二元函数的整数阶次大于 1 才可能可微，否则一定不可微。-例如：222222122,0,=10,00,0,0,1 0,00,0 xyxyx yxyf x yx yx yx yxyf x yf x yex y整数阶次，在点不可微或整数阶次，在点可微 1.6.偏导的求法 陈氏第 11 技 复合函数的求偏导切入点：确
19、定独立变量的个数，再根据题意选定自变量和因变量；利用“剥皮法”画出关系图求之。隐函数的求偏导一般方法：求一阶偏导采用全微分法，求二阶偏导则需要直接从一阶偏导的结果求，而不可以采用全微分法，否则反而繁杂。复合函数(,)zf u v w(,)(,)(,)uu x yvv x yww x y5 个未知数三个方程，最后归结为一个二元函数 123ufufvfwuvwfffxuxvxwxxxx ；xy同理可得。【例 10】设,zf x y，由方程,0f xy yz确定，求dz和xxz。解：求dz采用全微分法，3 个未知数，1 个方程，存在 2 个独立自变量，按题意选,x y 112122221211121
20、21222221212122121211222201 xxxxffffdxdyfdydzdzdxdyfffzzfffzfffzfffffffffffff 隐函数利用全微分(,)0F x y 型 0 xyFFFdydFdxdyxydxF (,)0F x y z 型-0FFFdFdxdydzxyz 视z为不变量，,x y为独立变量xzFyxF 如果,0zf x yF x y zzf x y xzFzxF；yzFzyF (,)0(,)0F x y zG x y z型 只有一个独立变量，确定隐函数 ,yy xzz x，而,dydzdxdx可以如下求出：00,xyzyzxxyzyzxxzxzyzyzyx
21、yxyzyzdydzdydzFFFFFFdxdxdxdxdydzdydzGGGGGGdxdxdxdxFFF GGGx zdyF GFFdxy zGGFFF GGGy xdzF GFFdxy zGG (,)0(,)0F x y u vG x y u v型 独立变量为自变量减去方程的个数等于 2 个，如选为,x y为偏导独立自变量，确定隐函数,uu x yvv x y，而,uuvvxyxy可以如下求出：-00,xuvuvxxuvuvxxvxvuvuvuxuxuvuvuvuvFFFFFFxxxxuvuvGGGGGGxxxxFFF GGGx vuF GFFxu vGGFFF GGGu xvF GFFx
22、u vGG 同理：00yuvuvyyuvuvyuvuvFFFFFFyyyyuvuvGGGGGGyyyy ,yvyvuvuvuyuyuvuvFFF GGGy vuF GFFyu vGGFFF GGGu yvF GFFyu vGG 全微分形式的不变性,zf u vuu x yvv x yzzzzdzdxdydudvxyuv【例 11】1yzxy，求dz 解：方法一：1ln 121121111ln 11yyyxyyyyzxyzzdzdxdyyxydxedyxyyyxydxxyxyxyxydy-方法二：111211,ln11111ln 11yvyvvyyyzxyuxy vyzuzzdudvvuduuu
23、dvyxy dxyxydvuvyxydxxyxyxyxydy 可见法二要简单些，这正是利用全微分形式的不变性的优点。1.7.多元函数微分学在几何上的应用 空间曲线()()()xx tyy tzz t则000(),(),()x ty tz t代表切线方向向量 易得切线和平面方程如下：切线方程：000000 xxyyzxx ty tz t 平面方程：0000000 x txxy tyyz tzx 空间曲线(,)0(,)0F x y zG x y z，则(,)(,)(,),(,)(,)(,)F GF GF Gy zz xx y为切线方向向量 切线方程：000000000,(,)(,)(,)|(,)(
24、,)(,)xyxyxyxxyyzxF GF GF Gy zz xx y 法平面方程：000000000,(,)(,)(,)|0(,)(,)(,)xyxyxyF GF GF Gxxyyzxy zz xx y 空间曲面,0F x y zf x yz，则,xyznF F F表示切平面法线方向向量，易得切平面和法线方程 切平面方程：000000|0 xyzFxxFyyFzx 法线方程：00000000000000,|,|xxxyxyzxyxyxyxxyyzxFFxyzFFF 如果曲面为(,)zf x y形式，则 ,1,1xyzxyxyF FFffff或 评 注以后我们假定曲面(,)zf x y法向量的
25、方向是向上的为正，即它的正向与z轴正向的夹角为锐角cos0。则法向量的方向余弦为。-2222221cos,cos,cos,111yxxyxyxyffnffffff 上述形式就是我们以后研究多元函数积分学中去曲面积分的使用规定，切记！评 注 特别注意，只有在可微得情况下，空间曲线才有切平面。1.8方向导数与梯度 方向导数定义：000000cos,cos,limtf Pf xtytf xylt 特别注意：00cos,cosxtyt为l的参数方程，t是以射线趋于0的，即单向0t，而偏导是双向的。方向导数定理：如果,f x y在点000,P x y可微，那么函数沿任一射线方向 cos,cos,cosl
26、e的方向导数存在，且有：000000000000,|,cos,cos,cosxyzxyzffxyzfxyzfxyzl。梯度：模等于方向导数的最大值，方向为方向导数在该点取最大值的方向。000000000000,|,cos,cos,cos,cos,cos.cos,cosxyzxyzxyzxyzlxyzffxyzfxyzfxyzlffffffefff 当0时，000000,max|,xyzxyzxyzfffffll，具有最大值，我们定义 000,|xyzxyzgradijkxxxffff x ygradffijkfffxxxff el 梯度算符：的梯度：方向导数与梯度的关系：000,max|,xy
27、zxyzffffgradffl 【例 12】,f x y在0,0点的某邻域内有定义，且 2222,0,0,limx yf x yxyxy，试讨论,f x y在0,0点的连续性、可微性和方向导数。-解：根据脱帽法：22222222,0,0,1,1 1lim,0,0,0 x yf x yxyof x yxyoooxyxyf x yf x y即在点连续。又：22,0,0001,0100,0limlim1lim 11,01,0,0 xx yxxxxxxxyoo xfxxxxxf,0,01,0,00 0,00,0,0 xyf x yfff x y 在点不可微，同理，在点可微 又因为,0,0f x y 在
28、不一定可微 与取值有关，所以，求0,0点的方向导数不能利用公式：000000,cos,cosxyf xyfxyfxyl，而只能利用定义求之如下：220000000,100,cos,cos,lim0,0cos,sin01limlim1tf x yxyottf xyf xtytf xyltff ttto tltt 可见,f x y在0,0点任何方向0coscoscossinlijij的方向导数都存在，并且：0,010 00,00,010 00,00,01=0=00,0flflfl为极小值点为极大值点不能确定的极值 1.9 二元函数的泰勒公式 设,zf x y在点00,x y的某一邻域内连续且有直到
29、1n阶连续偏导，00,xhyk为该邻域内的任一点，则有 -000000000000000000022000000,1,!=,1,2,2xyknnkxyxxxyyyf xhykf xyhfxhykkfxhykf xhykhkf xyRnxyf xyhfxykfxyh fxhykhkfxhyk k fxhyk1 00001,01,1!nnnRRhkf xhykhxxkyynxy 二元函数的泰勒公式的黑塞矩阵 形式：0000000022000000000000000000,1,2,2,1,2xyxxxyyyxxxyxyxyf xhykf xyhfxykfxyh fxhykhkfxhyk k fxhy
30、kfxhykfxhykf xyhfxykfxyh kfxhy00000000,1,2yyxyhkfxhykkhf xyhfxykfxyh k Hk 定义黑塞矩阵 H：00,xxxyxyyyffHHf xhykff 上式取0n 得二元拉格朗日中值公式00000000,xyf xhykf xyhfxhykkfxhyk 1.10.多元函数的极值(,)zf x y 驻点(,)0(,)0 xyfx yfx y 驻点00 xyff中含有极值点，但极值点未必是驻点，如22zxy在0,0点取得极小值，但,zzxy都不存在。无条件极值存在的充分条件研究：-000000000000000000000000,1 ,
31、21,2,xyxyxyfff xhykf xyhfxykfxyhf xyhfxykfxyh k Hkhf xhykf xyh k Hkf xhykf xyf xyf xy 00000001,2,hh k Hkf xyf xyHf xyf xyHf xyf xyH 极小值当正定时；极大值当 负定时；与大小不定无极值，当不定时；由黑塞矩阵xxxyxyyyffHff的正定性决定极值的充分条件如下：H正定 20,0,0 xxxyxxyyxyxxyyxyyyfffffffff或并且：极小值 H负定 20,0,0 xxxyxxyyxyxxyyxyyyfffffffff或并且：极大值 H不定时 22=xyx
32、xyyxyxxyyffffff无极值不能使用上述充分条件确定极值，应特别讨论，参见后面的例题。形象记忆法：无根取极值，负负得正。条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极值。利用拉格朗日乘数法求解-,0 ,0 ,0,0,0,0 ,0 xxyyxxxzf x yx yL x yf x yx yfx yx yfx yx yx yx yzf x y z tx y z tx y z tL x yf x y z tx y z tx y z tfx y z tx y z tx y z t,0,0,0,0,0yyyzzztttfx y z tx y z tx y z tfx y z tx y
33、z tx y z tx y z tfx y z tx y z tx y z tx y z tx y z t 一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极小值。最值求法：比较区域D内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。二、需要掌握的题型【例 13】已知3222(cos)(1sin3)axyyx dxbyxx ydy为某一函数的全微分，则,a b值为多少？解：3222(,)(cos)(1sin3)ffdf x ydxdyaxyyx dxbyxx ydyxy 322cos32 cosxxyfaxyyxfaxyyx 2221sin3cosy
34、yxfbyxx yfbyxbxy 2232 coscos36222yxffpqaxyyxbyxbxyyxyxaabb 【例 14】(2,sin)zfxy yx求2zx y -解：122coszfxf yxx 21112221222(1)sincoscos(1)sinzffxfxyx ffxx y 111222212(2sincos)sin 2cos2fxyx fyxfxf 【例 15】设2(,),(,)0,sinyuf x y zx exyx求dudx 解：4 个未知数,u x y z f 是函数的对应法则，不是未知数，三个方程，一个独立变量，本题取x。duff dyf dzdxxy dxz
35、dx cosdyxdx 2(,)0yx ez两边对x求偏导 1212332cos 20yyxexdydzdzxedxdxdx 故1232coscosyxexdufffxdxxyz【例 16】已知函数,f x y的二阶偏导连续，试证明：11222202,2,0,00,0limhhhfh efh effxh 证明：用罗毕达法则12 ;xyffff注意等效表达方式：下式中：11111122222201120120112,22,2,2,2lim22,limlim2,2,hhhhhhxyxyhhhxxhhxxxxhfh efh eefh efh eehhIhfh efh ehfh efh e 11111
36、22221120112,2lim2,2,0,0hhhhhxyxyhhxxxxxxhfh eefh eehhfh efh ef -【例 17】03cos2sincos1tutxeuduyttze 在0t 处的切线和法平面方程 解：0012xtyz(0)1,(0)2,(0)3xyz为切线方向向量 故切线方程01213xyzz 法平面1(0)2(1)3(2)0 xyz【例 18】设,zf x y在,a a点可微，,xf x f x fx x，,;f a aa ,;xyfa afa ab求 22dadx。解：只要12 ;xyffff注意等效表达方式：，下面的解法就很好理解和掌握。22121212122
37、121212221212122232,2 2 2222dxxxdxdxfff x f x xffffffdxdxxffffffdxdaafafafafafafadxa bb bb bba bbb212abbb【例 19】设,zf xy xy xy二阶偏导连续，求dz和xyz。解：12312312313233311132223333+xyzzdzdxdyffyfdxffxfdyxyzffyfffyffyyyyfxy ffxy ffxyf【例 20】设22ln,arctanyuxyvx，,u v将作为方程新变量，变换方程-0zzxyxyxy 解：（经常使用这个方法把直角坐标的偏导变换到极坐标中，是
38、考研的典型题型）22222222222222222221lnln,arctan2111yuxyxyvxyzzuzvzxzzxzyxxuxvxu xyvu xyv xyyxzzuzvzyzzyzxxyuyvyu xyvu xyv xyyxzxyx00zzzxyyuv【例21】设 yf x由参数方程 20ln 1txx tyu du 确定，其中 x t是初值问题020|0 xtdxtedtx的解，求22d ydx。解：2200202ln1|0|0 xxxttdxtee dxtdtetcx ttdtxx 22222 ln 1ln 121xxxxxdyttdydtetxedxdxtedtd yxexe
39、dx【例 22】设,zf x y，试将zzxy 和 变换到极坐标中。解：（请留意这种雅可比矩阵解法技巧）;,zzzzzzxyx yrr定义：-则有：,rrzzzzzzxyx yrx yrx y 将cossinxryr的两边同时对,x y求偏导，即 1,cos,sincos,sin,10cossin,01sincos,cossincossin,1sincossincos,x yrrrrrx yx yrx yrrrx yrrrrrx yrzzzzxyrcossin,1sincos,1cossinsincos1cossin1sincosrrrzzx yrrzzzzrrrrrzzzrxrrzzzryr
40、r 【例 23】设,zf x y有连续的偏导数，证明：存在可微函数 g u使得,f x yg axby 0ab 的充要条件是：zzbaxy。解：（1）必要性,u ax byzdgazzxduf x yg axbybazdgxybydu （注意,f x yg axby为形式一元函数）（2）充分性 令,ubvuaxbyvyxyva,110 xyubvzf x yfvazbffzzffbabavaaxyaxy-【例 24】若一阶连续可导函数,zf x y满足关系,t,kf txyt f x yt，称为齐次函数，证明：f为k次齐次函数的充要条件是：ffxykfxy。证明：（1）必要性,1121121,
41、t,=,=,=,:x ytkktxyxf txyt f x yxfyfktf x yxfyfkfx yxfyfkfx yff 固定 两边对 求导令注意这里 与 完全等价（2）充分性,t,t,t,kkkf txyf txyf txyt f x yf x yttt即与无关，,tkf txytt 1122,12,1,1,kkkkzf x ykkxykuvf tx tydttxftx tyyftx tyktf tx tydttttxftx tyyftx tyktf tx tytf x yf x yxykf x yxyufu vvfu vkf u v 因为题中已明显给出形式令又已知,:u tx v ty
42、uvf tx tyf x yxyuxtxftx tytyftx tykf tx tytxftx tytyftx tykf tx tytff 代入注意这里 与 完全等价 12121=,t,t,t,t1 =,t0kkxykkkkttxftxyyftxyktf txytkf txytktf txytCtt 又由于 1,1,f x ytf x yC ,t ,t,kkkkf txyf x yf txyt tt f x yt f x yt 评 注注意在,xfx y中，偏导符号xf中的x表示对,f x y中的第一个位置求导，与,f x y中的变量x无关，这一点是绝大部分考生容易出错的地方！【例 25】zyu
43、x，求222222,uuuxyz。解：注意：lnxxaaa-lnlnln2222222111lnlnlnlnln ln111lnlzzzyxyxyxzzuuyyzey xxxxzuyzzexx zyuzyxyyzuyzzexx yyuyxyzzzzuyyzzzzzzuuyyuuyyuyuyxxxxxxxxxxuzzuzyxzyyy 221nln112 lnlnln12 lnln1ln lnln lnln ln uzxuzxyyyzzzzyxuzyxuzxzyzzuzxyzyxzuuzzzuyxyyxyuxyyzzzz2 ln lnln lnln lnln ln ln1lnzzzzyxyuyxy
44、uxy yyzuyxyyx【例 26】求过直线325:0 xyzLxyz且与曲面2252228xyz相切之切平面方程。解：过直线 L 的平面束方程为 325()0(3)(2)(1)5xyzxyzxyz 法向向量为3,2,1 而曲面2252228xyz的法向向量由,4,4,2xyzFFFxy决定 225(,)2228F x y zxyz 设该曲面与所求平面相切点为000,xy z，则 0000022000321(1)442(3)(2)(1)50(2)5222(3)8txyxyzxyz000222214158txttytzt 代入（3）-212124301,33;7tttt 故所求切平面方程为 3
45、253()0 xyzxyz 或3257()0 xyzxyz【例 27】求常数,a b c的值，使函数232,f x y zaxybyzcx z在点1,2,1M处沿z轴正向的方向导数有最大值64。解:1,2,11,2,1,|43,4,22xyzgradffffacabbc 21,2,10,0,1443034042202201,2,164226466,24,8gradfacacabbabctbctgradfbcaabc 【例 28】求曲面方程222224100 xyzxyz确定的(,)zf x y的极值。解：2224000101222400 xxxxyyyyxzzzzFxFyyzzzz 即(1,1
46、)P为驻点 12xxpzz12yypzz0 xypz 221()0(2)(2)xyxzyzzzzzz 将1,1xy 代入原式122,6zz 21101,124zxxzzf 取极小值；62101,164xxzzzf 取极大值。-【例 29】求4422,224f x yxyxyxy的极值。解：驻点：334440,0,0,2,2,2,24440fxxyxx yfyyxy 二阶偏导：22124,4,124xxxyyyfxffy 1在0,0点，2212440,16 160,xxxyxxyyfxfff 无法使用充分条件判断，但由于在直线yx上，04,2xf x xx 在取极小值；在直线yx 上，042,2
47、8xf xxxx 在取极大值。所以，0,0不是极值点。可见，驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点，只有偏导存在的函数的极值点才一定是驻点。2在2,2点，22124200,3840,2,28xxxyxxyyfxffff 为极小值点，且 3在2,2点，22124200,3840,2,28xxxyxxyyfxffff 为极小值点，且 故,f x y存在极小值2,28f ，没有极大值。【例 30】求函数222uxyz在22()1xyz条件下的极值 解：先计算222vxyz在22()1xyz条件的极值即可使用拉氏乘数法则 22222(,)()1F x y zxyzxyz 2222()022()012
48、20()10 xyzFxxyFyxyFzzxyz 或0z 当=1 时0,0 xy不适题意，故1-0z 代入方程组可得 121111(,0),(,0)2222PP及12 又 2222222122(1)2(1);2(1)20(,)2(1)2(1)2(1)2|xyzxyyzxzFFFFFFd F x y zdxdydzdxdy 22223041 12110dxdydydxdyBAC 故12,PP分别为v的极小值点u的极小值点为：111 12(,0)(,0)222 22uu【例 31】求二元函数2(,)(4)zf x yx yxy在直线6xy，x轴和y轴所围成的闭域D上的最大值与最小值。解：22202
49、(4)042;0,601(4)0 xyxfxyxyx yxxyyyfxxyx y 在 D 内只有驻点(2，1)(2,1)4f 求(,)f x y在 D 的边界上的最值 在边界0(06)xy和0(06)yx上(,)0f x y 在边界6xy上，6yx代入 222(,)(6)(2)2606624042f x yxxxxxyfxxxy(0,4)0f(4,2)64f 比较后可知(2,1)4f为 Max-(4,2)64f 为 Min【例 32】在平面1xyzabc与三坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶面，在xoy坐标面上的投影为长方形的六面体体积最大者（其中0,0,0abc）。解：DVzdxdy
50、 00(1)(1)xyDxyxycdxdycdxdyabab 直线 AB：1xyab 令00(,)(1)(1)xyxyxyF x ycdxdyabab 2202021xyyxyFybaaxyxFxbabxyab 220011,221(1)8abxa ybxyVcdxdyabcab 依题得应为最大体积。【例 33】估计积分2244111xydxdyIxy的取值范围。解：（1）讨论无条件极值 MaxMin或4411,1f x yxy.显然唯一的最大值为10,0f，无最小值，且 222244111111xyxydxdyIdxdyxy（2）讨论条件极值44221 =1,=1MaxMinxyf x yx