《高考数学新增分大一轮新高考：第十二章-12.1-随机事件的概率与古典概型.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学新增分大一轮新高考：第十二章-12.1-随机事件的概率与古典概型.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、随机事件的概率与古典概型|c:最新考纲】本领件数及事件发生的概率.第十二章概率、随机变量及其分布根底知识自主学习1.概率和频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的nA次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)=-为事件 A 出现的频率.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).2.事件的关系与运算P(A),定义付号表示包含关系如果事件 A 发生，那么事件 B 一定发生，这时称 事件 B 包含事件 A(或称事件
2、 A 包含于事件 B)B?A或 A?B相等关系假设 B?A 且 A?BA=B假设某事件发生当且仅当事件A 发生或事件 B并事件(和事件)发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件)假设某事件发生当且仅当事件A 发生且事件 B父事件(积事件)发生，那么称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)互斥事件假设 AAB 为不可能事件(AAB=?)，那么称事件 A与事件 B 互斥AAB=?AAB(或 AB)AUB(或 A+B)假设 AAB 为不可能事件，AUB 为必然事件，对立事件那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件AAB=?,P(A)+P(B)=1(1)概率的取值范围：O
3、WP(A)w1.(2)必然事件的概率 P(E)=1.(3)不可能事件的概率 P(F)=0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(AUB)=P(A)+P(B).(5)对立事件的概率假设事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(A)=1 P(B).4.根本领件的特点(1)任何两个根本领件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本领件的和.5.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；(2)每个根本领件出现的可能性相 _6如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么
4、每一个1m根本领件的概率都是 n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)=韦.7 古典概型的概率公式P(A)=A 包含的根本领件的个数根本领件的总数.:概念方法微思考1 随机事件 A 发生的频率与概率有何区别与联系？提示 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在确实定的常数，但在大量随机试验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近.2 随机事件 A,B 互斥与对立有何区别与联系？提示 当随机事件 A,B 互斥时，不一定对立，当随机事件3.任何一个随机事件与根本领件有何关系？提示任何一个随机事件都等于构成它的每一个根本领件的和.4 如何判断一
5、个试验是否为古典概型？提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性 和等可能性.A,B 对立时，一定互斥.根底自测题组一思考辨析1 判断以下结论是否正确(请在括号中打“V或“X12V3X4)事件发生的频率与概率是相同的.X在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.两个事件的和事件是指两个事件都得发生.掷一枚硬币两次，出现“两个正面“一正一反“两个反面，这三个结果是等可能的.X5取一袋测其重量，题组二教材改编从市场上出售的标准为属于古典概型.X500 5 g 勺袋装食盐中任2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶的对立事件是A.至多有一次中靶B.两次都中
6、靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶答案 D解析“至少有一次中靶的对立事件是“两次都不中靶.3 袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，那么取到白球的概率为2432代 5 B.亦 C.5 D3答案 A解析 从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，那么所求概率为154 同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为 _.5答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6X6=36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6 种，所以点数不相同的概率P=1 来=|.366题组三易错自纠5.将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次是()A.必然事件B.随机事
7、件C.不可能事件D.无法确定答案 B解析 抛掷 10 次硬币，正面向上的次数可能为010,都有可能发生，正面向上 5 次是随机事件.56.将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b,那么使不等式 a 2b+40 成立的事件发生的概率为_.1答案 14解析由题意知(a,b)的所有可能结果有 4X4=16(种),41其中满足 a 2b+40 的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共 4 种结果.故所求事件的概率 P=?7.(2021 济南模拟)从一箱产品中随机地
8、抽取一件，设事件 A=抽到一等品，事件 B=抽到二等品，事件 C=抽到三等品，且 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1，那么事件“抽到的产品不是一等品的概率为 _.答案解析事件 A=抽到一等品，且 P(A)=0.65,事件“抽到的产品不是一等品的概率为P=1 P(A)=1 0.65=0.35.命题点 1 随机事件的关系例 1(1)在 5 张 卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，假设事件2 张全是移动卡的概率是，那么概率是的事件是(10 1037)A 至多有一张移动卡C.都不是移动卡答案 AB 恰有一张移动卡D.至少有一张移动卡解析“至多有一张移动卡包含“
9、一张移动卡，一张联通卡，“两张全是联通卡两个 事件，它是“2 张全是移动卡的对立事件.口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A=“取出的两个球同色，B=“取出的两个球中至少有一个黄球，个白球，D=“取出的两个球不同色，断中正确的序号为_.C=“取出的两个球中至少有一以下判E=“取出的两个球中至多有一个白球.A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CUE)=1;P(B)=P(C).答案解析 当取出的两个球为一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；显然 A
10、 与 D 是对立事件，正确；CUE 为必然43事件，P(CUE)=1,正确；P(B)=5,P(C)=5,不正确.命题点 2 随机事件的频率与概率例 2(2021 全国川)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货本钱每瓶价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经4 元，售验，每天需求量与当天最咼气温(单位：C)有关.如果最咼气温不低于 25,需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为 了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
11、表：最咼气温天数21610,15)15,20)20,25)3625,30)2530,35)735,404以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.450解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25,由表格数据知，最 高气温低于 25 的频率为时需=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的 估计值为 06450 瓶时，(2)当这种酸奶一天
12、的进货量为假设最高气温不低于25,那么 Y=6X450 4X450=900;假设最高气温位于区间 20,25)，贝 U Y=6X300+2(450 300)4X450=300;假设最高气温低于 20,那么 Y=6X200+2(450 200)4X450=100,所以，Y 的所有可能值为 900,300,100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于36+25+7+4=0.8.90因此 Y 大于零的概率的估计值为20,由表格数据知，最高气温不低于20 的频率为0.8.命题点 3 互斥事件与对立事件例 3 盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球.从中随机取出球，求：1
13、(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.解方法一(利用互斥事件求概率)记事件 A1=任取 1 球为红球,A2=任取 1 球为黑球,A3=任取 1 球为白球,A4=任取 1 球为绿球,54121那么 P(A1)=12,P(A2)=-=3，P(A3)=-=6,1P(A4)=匸.根据题意知，事件 A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为513P(A1uA2)=P(A+P(A2)=12+3=4.(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=色+1+1
14、=1112 3612方法二(利用对立事件求概率)(1)对立事件为取出由方法一知，取出 1 球为红球或黑球的1 球为白球或绿球，即 A1UA2的对立事件为 A3UA4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1UA2)=1-P(A3UA4)=1-P(A3)1-P(A4)=1-1因为 AiUA2UA3的对立事件为 A4,111 所以 P(A1UA2UA3)=1-P(A4)=1 12=乜.思维升华1判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件假设有且仅有一个发生，那么这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.2求复杂事件的概率的两
15、种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.假设将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即多型事件的概率.跟踪训练 1 1某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，的赔付结果统计如下：赔付金额元车辆数辆3 0001504 000样本车辆中每辆车“正难那么反.它常用来求“至少或“至05001 0001302 000100120 假设每辆车的投保金额均为2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；在样本车辆中，车
16、主是新司机的占10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新4 000 元的概率.司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为解 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元，以频率 估计概率得1201500.12.0.15,P(B)=P(A)=1 0001 000由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为元，所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔3 000 元和 4 0004 000 元，由，可得样本车辆中车主为新司24XX120=2
17、4(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为=0.24,由频率估 计概率得 P(C)=0.24.(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:3排队人数01245 人及 5 人以上概率求：至多 2 人排队等候的概率；至少 3 人排队等候的概率.解 记“无人排队等候为事件 A,“1 人排队等候为事件 B,“2 人排队等候为事件 C,“3 人排队等候为事件 D,“4 人排队等候为事件 E,“5 人及 5 人以上排队等候为事件 F，那么事件 A,B,C,D,E,F 彼此互斥.记“至多 2 人排队等候为事件 G,贝 U G=A+B+C,所以 P(G)=P(A+B
18、+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.记“至少 3 人排队等候为事件 H,贝 U H=D+E+F,所以 P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.题型二古典概型哪生共硏例 4 12021 全国n从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取张，那么抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为1A.10硝Di答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图:第一咪L L2 23 3呱力爪/7I4/7I4*2345 12345 1*23
19、45 12345 1龙器4545 1212胃45454 4S S/呱1 1您9494副根本领件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10 2P=25=5.10,所求概率我国古代“五行学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件中属性相克的两种物质不相邻，那么事件 A 发生的概率为_.A 表示“排列1答案 112解析 五种不同属性的物质任意排成一列的所有根本领件数为A5=120,满足事件 A=“排列中属性相克的两种物质不相邻 的根本领件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一 个位置的属性确定后
20、，例如：金，第二个位置除去金本身只能排土或水属性，当第二个位C1C1=10种可能，所以事件 A 出现置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有的概率为 120=吉.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的根本领件的总数和事件A 包含的根本领件的个数，这就需要正确列出根本领件，根本领件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具 体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练 2 1甲在微信群中发布 6 元“拼手气红包一个，被乙、丙、丁三人抢完假设三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，那么乙获得“手气最正确他任何人)的概率是(即乙领取的钱数不少于其)C.10答案 D2D.2解析 用(x,y,z)表示
21、乙、丙、丁抢到的红包分别为乙、丙、丁三人抢完6 元钱的所有不同的可能结果有x 元、y 元、z 元.10 种，分别为(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙获得“手气最正确的所有不同的可能结果有4 种，分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最正确的概率 P=-4=三105(2)(2021 自贡模拟)a 0,1,2,b 1,1,3,5,贝 U 函数 f(x)=ax2-2bx 在区间(1,上为增函数的概率是
22、()A 51 J 1A*B.3 C.1答案 A解析/a 0,1,2,b 1,1,3,5,根本领件总数 n=3X4=12.函数 f(x)=ax2 2bx 在区间(1,)上为增函数,当 a=0 时，f(x)=2bx,符合条件的只有(0,1),即 a=0,b=1;当 0 时，需要满足 1,符合条件的有(1,1),(1,1),(2,1),(2,1),共 4 种.a函数 f(x)=ax2 2bx 在区间(1,+g)上为增函数的概率是P=彩.题型三古典概型与统计的综合应用例 5 某县共有 90 个农村淘宝效劳网点，随机抽取6 个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如下列图，其中茎为十位数，叶
23、为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)假设网购金额(单位：万元)不小于 18 的效劳网点定义为优秀效劳网点，网点，根据茎叶图推断这 90 个效劳网点中优秀效劳网点的个数；(3)从随机抽取的 6 个效劳网点中再任取 2 个作网购商品的调查，求恰有 1 个网点是优秀效劳 网点的概率.其余为非优秀效劳解(1)由题意知，样本数据的平均数7=4+严+=12.212 个，概率为 6=3 由此估计这 90 个效劳网点中优秀效劳网点有6121820样本中优秀效劳网点有190X3=30(个).(3)样本中优秀效劳网点有 2 个，分别记为 a1,a2，非优秀效劳网点有 4 个，分别记为 b1,b2
24、,b3,b4,从随机抽取的 6 个效劳网点中再任取2 个的可能情况有：(a1,a2),(a1,b,(a1,b2)._8故所求概率 P(M)=15.(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共 1 5 种,记“恰有 1 个是优秀效劳 网点为事件M,那么事件 M 包含的可能情况有：(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4)，共 8 种，思维升华有关古典概型与统计结合的
25、题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.跟踪训练 3 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部 介于 155cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160)，第二组 160,165)，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，第六组比第七组多1 人，第一组和第八组人数相同.(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)假设从身高属于第六组和第
26、八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为求|x y|w5 的概率.解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为所以后三组的频率为1 0.82=0.18,(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)X5=0.82,x,y,X50=9,XX50=2,设第六组人数为 m,那么第七组人数为 m 1,又 m+m 1+2=9,所以 m=4,即第六组人数为 4,第七组人数为 3,频率分别为 0.08,0.06,频率除以组距分别等于那么完整的频率分布直方图如下列图：0.016,0.012,由知身高在180,185内的男生有四名，设为 a,b,c,d,身高在190,195的男生有两名，设为 A
27、,B.假设 x,y 180,185，有 ab,ac,ad,be,bd,cd 共 6 种情况；假设 x,y 190,195，只有 AB 1 种情况；假设 x,y 分别在180,185,190,195内，有 aA,bA,eA,dA,aB,bB,eB,dB 共 8 种情况,所以根本领件的总数为6+8+1=15,事件|x y|w5 包含的根本领件的个数为6+1=7,故所求概率为15概率与统计例12 分海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量单位：件如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.6地区ABC数量50150100(
28、1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量；(2)假设在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，区的概率.求这 2 件商品来自相同地标准解答解(1)A,B,C 三个地区商品的总数量为6150+150+100=300,抽样比为30050,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50X50=1,150X丄=3,100X丄=2.505050所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.6 分设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为：A;B1,B2,B3;C1,C2.那么从 6 件样品中抽取的这2 件商品构成的所有根本领件为：A,B1,A,B2,A
29、,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,6,B1,C2,B2,B3,B2,6,何,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共 15 个.8 分每个样品被抽到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的.记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区，那么事件 D 包含的根本领件有：B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共 4 个.44所以 P(D)=,11 分即这 2 件商品来自相同地区的概率为盒.12 分求概率与统计问题的一般步骤第一步：根据概率统计的知识确定元素第二步：将所有根本领件列举出来总体、个体以及要解决的概率模型;可用树状图；第三步：计算根本领件总数n
30、,事件 A 包含的根本领件数 m,代入公式 PA=马；第四步：回到所求问题，标准作答.课时作业Y根底保分练1.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是A 至少有一个黑球与都是黑球B 至少有一个黑球与都是红球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D 恰有一个黑球与恰有两个黑球答案 D解析 对于 A，事件“至少有一个黑球与事件“都是黑球可以同时发生，A 不正确；对于 B,事件“至少有一个黑球与事件“都是红球不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，B 不正确；对于 C,事件“至少有一个黑球与事件“至少有 一个红球可以同时发生，口：一个红球，一个
31、黑球，C 不正确；对于 D，事件“恰有一个黑球与事件“恰有两个黑球不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个 都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，D 正确.112.2021 天津甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是2，甲获胜的概率是 3 那么甲不输的概率为A 6.21B.C.D 丄5613答案A解析事件“甲不输包含“和棋和“甲获胜这两个互斥事件，所以甲不输的概率为1,15I=236,3 对一批产品的长度单位：mm进行抽样检测，以下列图为检测结果的频率分布直方图根 据标准，产品长度在区间20,25上的为一等品，在区间15,20和区间25,30上的为二等品,在区间10,15和30,
32、35上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，那么 其为二等品的概率为答案 D解析 设25,30上的频率为 x,由所有矩形面积之和为 1，即 x+0.02+0.04+0.03+0.06X5=1,X5+0.25=0.45.4.2021 钦州期中根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型 50%,A 型15%,B 型 30%,AB 型 5%.现有一血液为 A 型病人需要输血，假设在该地区任选一人，那 么能为病人输血的概率为A.15%B.20%C.45%D.65%答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为：O 型 50%,A 型 15%,B 型 30%,AB 型 5%,现在
33、能50%+15%=65%,应选 D.为 A 型病人输血的有 O 型和 A 型，故为病人输血的概率为5.2021 济南模拟某商场举行有奖促销活动，抽奖规那么如下：从装有形状、大小完全相同的2 个红球、3 个蓝球的箱子中，任意取出两球，假设取出的两球颜色相同那么中奖，否那么不中奖.贝U中奖的概率为13A.B.C.D.510答案 C2535解析 从装有形状、大小完全相同的2 个红球、3 个蓝球的箱子中，任意取出两球共C2=10种取法，取出的两球颜色相同共42C2+C3=4 种取法，中奖的概率为,应选 C.105那么在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，6 设 m,n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点
34、数，方程 x2+mx+n=0 有实根的概率为(1177A.36 B.36Cii D.帀答案 C7)解析先后两次出现的点数中有5 的情况有：(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共 11 种，其中使方程 x2+mx+n=0 有实根的情况有：(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共 7 种故所求事件的概率 P=77从集合123,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，那么其中一个数恰是另一个数的为_ 1答案 1129 乂 8解析 从集合1,2,3,4,5,6
35、,7,8,9中任取两个不同的数，有3 倍的概率n=厂=36(种)情形，其中一个数是另一个数的 3 倍的事件有1,3,2,6,3,9,共 3 种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是1P=3=.361238.如下列图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 _答案解析 依题意，记题中被污损的数字为x,假设甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，那么有(8+9+2+1)(5+3+x+5)7,即此时 x 的可能取值是 7,8,9,因此甲的平均成绩3不超过乙的平均成绩的概率 P=0.3.9 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，
36、其中有10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，那么所取的 2 个球中恰有 1 个白球、1 个红球的概率为 _ 10答案2?解析 从袋中任取 2 个球共有 C%=105(种)取法，其中恰有 1 个白球、1 个红球共有 c1oC5=50(种)取法，所以所取的球恰有50101 个白球、1 个红球的概率为10521.1 张，那么两人都中10在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取奖的概率是_ 1答案 33解析设中一、二等奖及不中奖分别记为(2,0),(0,1),(0,2)，共 6 种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1)，共 2 种，2 1 所以 P(A)=2=
37、-1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),11.海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取品进行检测.6 件样地区数量A50B150C100(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量;(2)假设在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.解(1)A,B,C 三个地区商品的总数量为50+150+100=300,抽样比为6=1300=50,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50X50=1
38、,150X=3,100X丄505050=2.所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.方法一 设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3；C1,C2.那么从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有根本领件为：A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,0,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共 15 个.每个样品被抽到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的.记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区，那么事件 D 包含的根本领件有：B1,B2,B1,B3,
39、B2,B3,C1,C2,共 4 个.所以P(D)15=,即这 2 件商品来自相同地区的概率为415.方法这 2 件商品来自相同地区的概率为C3+C2=3+1=4C6=15=15.C2,12.(2021 山东)某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如F 图的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x,y.奖励规那么如下:假设 xyw3,那么奖励玩具一个;假设 xy8,那么奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的
40、概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间y)|x N,y N,1 x 4,1 y 8为事件 B,16.“3xy156,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.M 技能提升练13 某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39,32,33 个成员,一些成员参加了不止一个小组，具体情况如下列图.现随机选取一个成员，他属于至少率是_.3 13答案5 15解析“至少 2 个小组包含“2 个小组和“3 个小组两种情况，故他属于至少 2 个小组的概率为11+10+7+832 个小组的概率是 _，他属于不超过 2 个小组的概、-
41、6+7+8+8+10+10+115“不超过 2 个小组包含“1 个小组和“2 个小组，其对立事件是“3 个小组故他属于不超过 2 个小组的概率是 _8 _136+7+8+8+10+10+1114.2021 湖北省局部重点中学考试某商场对某一商品搞活动，该商品每一个的进价为3 元，售价为 8 元，每天销售的第 20 个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近种商品的销售量，如下列图设x 为这种商品每天的销售量，10 天这y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96 元的几天里任选 2 天，那么选出的这 2 天日利润都是 97 元的概率为1A.9答案 B1 1 1B 吊 C.5 D.8解析
42、 日销售量不少于 20 个时，日利润不少于96 元，其中日销售量为20 个时，日利润为20 个的96 元；日销售量为 21 个时，日利润为 97 元.从条形统计图可以看出，日销售量为有 3 天，日销售量为 21 个的有 2 天，日销售量为 20 个的 3 天记为 a,b,c,日销售量为 21 个的 2 天记为 A,B,从这 5 天中任选 2 天，可能的情况有 10 种：a,b,a,c,a,A,(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)，其中选出的121 个的情况只有1 种，故所求概率 P10,应选 B.2 天日销售量都为#拓展冲剩练15.一个三位数，它的
43、个、十、百位上的数字依次为x,y,乙当且仅当 yx,yz 时，称这样的数为“凸数如 243，现从集合5,6,7,8中取出三个不同的数组成一个三位数，那么这个三位数是“凸数的概率为211 1B.1C.6 D.石答案 B解析 从集合5,6,7,8中取出 3 个不同的数组成一个三位数共有 24 个结果：567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876其中是“凸数的是：576,675,586,685,587,785,687,786 共 8 个结果，这个三位数是“
44、凸数的概率为 24=3,应选 B.24316.接成一个系统.当个正常工作时，系统正常工作正常工作的概率为 _.答案P(K)=0.8,P(Ai)=0.7,P(A2)=0.7,如图，用 K,Ai,A2三类不同的元件连K 正常工作且 Ai,A2至少有一K,Ai,A2正常工作的概率依次为0.8,0.7,0.7,那么系统解析 方法一由题意知 K,Ai,A2正常工作的概率分别为TK,Ai,A2相互独立，-Ai,A2至少有一个正常工作的概率为0.9i.系统正常工作的概率为P(K)P(AiA2)+P(AiA2)+P(AiA2X0.9i=0.728.P(AiA2)+P(AiA2)+P(AiA2)=(i 0.7)XXX0.7=方法二 Ai,A2至少有一个正常工作的概率为i PCAiA2)=i (i 0.7)(i 0.7)=0.9i,故系统正常工作的概率为P(K)i P(AiA2X0.9i=0.728.