初中常见定理证明.pdf

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1、.-初中常见定理的证明初中常见定理的证明一、三角形一、三角形1 1、运运用用你你所所学学过过的的三三角角形形全全等等的的知知识识去去证证明明定定理理：有有两两个个角角相相等等的的三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形（用用图图形形中中的的符符号号表表达达已已知知、求求证证，并并证证明明，证证明明对对各各步骤步骤 要要注明注明 依据）依据）2 2、证、证明定明定 理：等理：等 腰三腰三 角角形的形的 两两个底个底 角相等角相等 （画画出图出图 形、写出形、写出 已已知、求知、求证证并并证明证明）3 3、叙叙述并述并 证明证明 三三角形角形 内内角和角和 定定理理 要求写要求写 出出定理定理、已知已

2、知、求证、求证，画出画出图图形形，并，并 写写出证出证 明过程明过程-可修编.-4 4、我我们知们知 道，道，证证明三明三 角角形内形内 角角和定和定 理的一理的一 种种思路思路 是是力求力求 将三角将三角 形形的三的三个个内内角转角转 化化到同到同 一个顶一个顶 点点的三的三 个个相邻相邻 的角的角，从从而而利用利用 平平角定角定 义来义来 得得到结到结论论，你能你能 想想出多出多 少种不少种不 同同的方的方 法法呢？呢？同学之同学之 间间可相可相 互互交流交流 5 5、三三角形角形 中位中位 线线定理定理，是我是我 们们非常非常 熟悉的熟悉的 定定理理-可修编.-请请你在你在 下下面的面的

3、 横线上横线上，完整完整 地地叙述叙述 出这个出这个 定定理：理：根根据这据这 个个定理定理 画出图画出图 形形，写，写 出出已知已知 和求证和求证，并对并对 该该定理定理 给出证给出证 明明6 6、定、定理“理“直直角三角三 角形角形 斜斜边上边上 的的中线中线 等于斜等于斜 边边的一的一 半半”的”的 逆命题逆命题 是是，这，这个个命命题正题正 确确吗？吗？若正确若正确，请你请你 证证明这明这 个命题个命题，若不若不 正正确请确请 说明理说明理 由由-可修编.-7 7、用、用所学所学 定定理、理、定义定义 证证明命明命 题题证明证明：直角：直角 三三角形角形 斜斜边上边上 的中线的中线 等

4、等于斜于斜边边的的一半一半-可修编.-8 8、同同学们学们，这，这 学学期我期我 们们学过学过 不不少定少定 理，你理，你 还还记得记得“在直在直 角三角角三角 形形中，中，如如果果一个一个 锐锐角等角等 于于3030度度，那么，那么 它所它所 对对的直的直 角角边等边等 于于斜边斜边 的的一一半半”，”，请请你写你写 出它的出它的 逆逆命题命题，并证并证 明它的明它的 真真假假解：原命 题的 逆命 题为：在直 角三 角形 中，如 果一 条直 角边 等于 斜边的 一半，那么 这条 直角 边所对的 角是 30-可修编.-9 9、利、利用图用图（1 1）或或图（图（2 2）两个两个 图形图形 中中

5、的的有有关关面积面积 的的等量等量 关系都关系都 能能证明证明数数学学中一中一 个个十分十分 著名的著名的 定定理理，这，这个定个定 理理称为称为，该，该定理定理 的结的结 论论其数其数 学学表达表达式式是是-可修编.-1010、利利用图用图 中中图形图形 的有的有 关关面积面积 的的等量等量 关系都关系都 能能证明证明 数数学中学中 一个十一个十 分分著名著名的的定定理理，此，此证明证明 方方法就法就 是是美国美国 第第二十二十 任总统任总统 伽伽菲尔菲尔 德德最先最先 完成的完成的，人，人们们为为了了纪念纪念 他他，把，把这这一证一证 法法称为称为“总总统统”证法证法 这这个定个定 理称理

6、称 为为，该，该定定理的理的结结论论其数其数 学学表达表达 式是式是1111、定理定理 表表述述 请你根请你根 据据图图 1 1 中中的的直角直角 三角三角 形形，写，写出勾出勾 股股定理内定理内 容容；尝尝试试证证明明 以以图图 1 1 中中的直的直 角角三角三角 形形为基为基 础，可础，可 以以构造构造 出出以以 a a、b b 为为底底，以，以a+ba+b 为为高的高的 直角直角 梯形梯形（如如图图 2 2），请你利请你利 用用图图 2 2，验验证勾证勾 股定股定理理定理 表述：直 角三 角形中，两 直角 边的 平方和 等于 斜边 的平 方证明：S=S ABE+S AED+S CDE=a

7、bc2222四 边 形 ABCD-可修编.-1212、如图如图，ABCABC 中中，AB=AC，AB=AC，BAD=BAD=CAD，CAD，BD=CD，BD=CD，ADAD BC请BC请 你你选择选择 其其中的中的 两两个作个作 为条件为条件，另，另 两两个作个作 为结为结 论，证明论，证明 等等腰腰三三角形角形 的的“三“三 线合一线合一”性质性质 定定理理1313、课课本指本指 出出：公公认的认的 真真命题命题 称称为公为公 理理，除除了了公理公理 外外，其其他他的真的真 命命题题（如（如推推论论、定理、定理 等等）的）的正确正确 性性都需都需 要要通过通过 推理的推理的 方方法证法证 实

8、实（1 1）叙述）叙述 三三角形角形全全等等的判的判 定定方法方法 中的推中的推 论论 AASAAS；（2 2）证明）证明 推推论论 AASAAS要要求：求：叙叙述推述推 论论用用文文字表字表 达；用图达；用图 形中形中 的的符号符号 表表达已达已 知、求知、求 证，并证，并 证明，证证明，证 明对明对 各各步骤步骤要要注注明依明依 据据-可修编.-1414、在在数学数学 课课外活外活 动中动中，某某学学习小习小 组在组在 讨论讨论“导学导学 案案”上”上 的一个的一个 作作业题业题：已已知知：如图：如图，OAOA 平分平分 BAC，1=BAC，1=2求2求 证证：AO：AO BC同BC同 学

9、学甲说甲说：要要作作辅助辅助 线线；同；同 学乙说学乙说：要应要应 用用角平角平 分线性分线性 质质定理定理 来来解决解决：同学：同学 丙丙说说：要要应应用等用等 腰腰三角三角 形形“三“三 线线合一合一”的性的性 质定理质定理 来来解决解决 如如果你果你 是这是这 个个学习学习小小组组的成的成 员员，请，请 你结合你结合 同同学们学们 的的讨论讨论 写出证写出证 明明过程过程-可修编.-1515、证明：勾股定理逆定理、证明：勾股定理逆定理已知：在ABC 中，AB=c,AC=b,BC=a,若 c2=a2+b2求证：C=90 度证明：作 RTDEF，使E=RT，DE=b,EF=a在 RTDEF

10、中，DF2=ED2+EF2=a2+b2因为 c2=a2+b2所以 DF=c所以 DF=AB，DE=AC，EF=BC所以 RTDFEABC(SSS)所以C=E=RT二、四边形二、四边形（一）梯形（一）梯形-可修编.-1 1、定定理证理证 明：明：“等腰等腰 梯梯形的形的 两两条对条对 角线相角线相 等等”2 2、用用两种两种 方法方法 证证明等明等 腰腰梯形梯形 判判定定定定 理：在理：在 同同一底一底 上上的两的两 个角相个角相 等等的梯的梯形形是是等腰等腰 梯梯形（形（要求：要求：画画出图出图 形形，写，写 出已知出已知、求证求证、证明证明）-可修编.-3 3、在、在梯梯形形 ABCDABC

11、D 中，中，如如图所图所 示示，ADAD BC，BC，点点 E E、F F 分分别别是是 ABAB、CDCD的的中中点，连点，连 接接 EFEF，EFEF 叫做叫做 梯形梯形 的的中位中位 线观线观 察察 EFEF 的的位位置，联置，联 想想三角三角 形形的的中中位线位线 定定理，理，请你猜请你猜 想想：EFEF 与与 ADAD、BCBC 有有怎怎样的样的 位位置和数置和数 量量关系关系 并并证证明明你的你的 猜猜想想4 4、采采用如用如 图图所示所示 的方的方 法法，可可以把以把 梯梯形形 ABCDABCD 折折叠成叠成 一个一个 矩形矩形 EFNMEFNM（图（图中中 EFEF，FNFN，

12、EMEM 为折痕为折痕），使，使 得得点点 A A 与与 B B、CC 与与 D D 分分别重别重 合于合于 一一点点请请问问，线线段段 EFEF 的位的位 置如置如 何何确定确定；通过通过 这种图这种图 形形变化变化，你能你能 看出哪看出哪 些些定理定理或或公公式式（至至少少三三个个）？证证明明你你的的所所有有结结论论解：可以 看出 梯形 的中位 线定 理、面积 公式、平行 线的 性质 定理等-可修编.-（二）平行四边形（二）平行四边形1 1、定定理证理证 明：明：一一组对组对 边边平行平行 且且相等相等 的四边的四边 形形是平是平 行行四边四边 形形-可修编.-2 2、定定理求理求 证：证

13、：对对角线角线 互互相平相平 分分的四的四 边形是边形是 平平行四行四 边边形形3 3、我我们在们在 几何几何 的的学习学习 中中能发能发 现现，很，很 多图形多图形 的的性质性质 定定理与理与 判定定判定定 理理之间之间有有着着一定一定 的的联系联系 例如例如：菱：菱形的形的 性质性质 定定理理“菱菱形的形的 对对角线角线 互相垂互相垂 直直”和”和菱菱形形的判的判 定定定理定理“对角对角 线线互相互相 垂垂直的直的 平行四平行四 边边形是形是 菱菱形形”就是这就是这 样样但但是是课课本中本中 对对菱形菱形 的另外的另外 一一个性个性 质质“菱“菱 形的对形的对 角角线平线平 分分一组一组

14、对角对角”却却没没-可修编.-有有给给出类出类 似似的判的判 定定理定定理，请，请你利你利 用如用如 图图所示所示 图图形研形研 究究一下一下 这个问这个问 题题要要求求：如果：如果 有有类似类似 的的判定判定 定定理，请理，请 写出写出 已已知、求知、求 证并证并 证证明如明如 果没果没 有有，请，请举举出出反例反例（三）圆（三）圆证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。（圆周角与圆心角的关系）（圆周角与圆心角的关系）已知在O 中，BOC 与圆周角BAC 同对弧 BC，求证：BOC=2BAC.

15、证明：情况情况 1 1：如图 1，当圆心 O 在BAC 的一边上时，即 A、O、B 在同一直线上时：图 1OA、OC 是半径-可修编.-解：OA=OCBAC=ACO（等边对等角）BOC 是AOC 的外角BOC=BAC+ACO=2BAC情况情况 2 2：如图 2,，当圆心 O 在BAC 的内部时：连接 AO，并延长 AO 交O 于 D图 2OA、OB、OC 是半径解：OA=OB=OCBAD=ABO，CAD=ACO（等边对等角）BOD、COD 分别是AOB、AOC 的外角BOD=BAD+ABO=2BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）COD=CAD+ACO=2CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）BOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC情况情况 3 3：如图 3，当圆心 O 在BAC 的外部时：图 3 连接 AO，并延长 AO 交O 于 D 连接 OA,OB。解：OA、OB、OC、是半径BAD=ABO（等边对等角）,CAD=ACO(OA=OC）-可修编.-DOB、DOC 分别是AOB、AOC 的外角DOB=BAD+ABO=2BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）DOC=CAD+ACO=2CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）BOC=DOC-DOB=2(CAD-BAD)=2BAC-可修编.