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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中学常见定理的证明一、三角形1、 运 用 你 所 学 过 的 三 角 形 全 等 的 知 识 去 证 明 定 理 ： 有 两 个 角 相 等 的 三角 形 是 等 腰 三 角 形 （ 用 图 形 中 的 符 号 表 达 已 知 、 求 证 , 并 证 明 , 证 明对 各 步 骤 要 注 明 依 据 ）2、证 明 定 理 ：等 腰三 角 形 的 两 个 底 角 相等 （ 画 出 图 形 、写出 已 知 、求证 并 证 明 ）_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - -
2、3、 叙 述 并 证 明 三 角形 内 角 和 定 理 要 求写 出 定 理 、 已 知 、 求证 , 画 出图 形 , 并 写 出 证 明 过 程_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 4、 我 们 知 道 , 证 明三 角 形 内 角 和 定 理 的一 种 思 路 是 力 求 将 三角 形 的 三个 内 角 转 化 到 同 一 个 顶 点 的 三 个 相 邻 的 角,从 而 利 用 平 角 定 义来 得 到 结论 , 你 能 想 出 多 少 种 不 同 的 方 法 呢 ？ 同 学之 间 可 相 互 交 流 _精品
3、资料_ - - - - - - -第 3 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5、 三 角 形 中 位 线 定理 , 是 我 们 非 常 熟 悉的 定 理 请 你 在 下 面 的 横 线上 , 完 整 地 叙 述 出 这 个 定 理 ： 根 据 这 个 定 理 画 出图 形 , 写 出 已 知 和 求 证 , 并 对 该 定 理 给 出 证 明 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 6、定 理 “直 角 三 角形 斜 边 上 的 中 线 等 于斜 边 的 一 半 ”的 逆 命题是,
4、这 个 命 题 正 确 吗？ 如 正 确 ,请 你 证 明 这 个 命 题 , 如 不 正 确 请 说 明 理 由_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 7、用 所 学 定 理 、 定义 证 明 命 题 证 明 ： 直角 三 角 形 斜 边 上 的 中线 等 于 斜边 的 一 半 8、 同 学 们 , 这 学 期我 们 学 过 不 少 定 理 ,你 仍 记 得 “在 直 角 三角 形 中 ,_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 如 果 一
5、 个 锐 角 等 于 30度 ,那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 ”,请 你 写 出 它 的 逆 命 题 , 并 证 明 它 的 真 假 解： 原命 题的 逆命 题 为：在直 角三 角形 中,假如 一条 直角 边等 于 斜边 的一 半,那么 这 条直 角边 所对 的角 是 30 9、利 用 图 （ 1）或 图（ 2） 两 个 图 形 中 的有 关 面 积 的 等 量 关 系都 能 证 明 数 学 中 一 个 十 分 著 名 的 定 理 , 这 个 定 理 称_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - -
6、 - - 为, 该 定 理的 结 论 其 数 学 表 达 式是10、利用 图 中 图形 的有 关 面 积 的 等 量 关 系都 能 证 明 数 学 中 一 个十 分 著 名的 定 理 ,此 证 明 方 法就 是 美 国 第 二 十 任 总统 伽 菲 尔 德 最 先 完 成的 ,人 们_精品资料_ 为 了 纪 念 他 , 把 这 一 证 法 称 为 “总 统 ”证法 这 个 定 理 称第 8 页,共 20 页为, 该 定 理 的结 论其 数 学 表 达 式是- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 11、 定 理 表述 请 你 根 据 图 1 中 的 直角
7、三 角 形 , 写 出 勾 股定 理 内 容 ； 尝 试 证 明 以 图 1 中 的 直 角 三 角形 为 基 础 , 可 以 构 造出 以 a、 b 为 底 , 以 a+b 为 高 的 直 角 梯 形 （ 如 图 2）, 请 你 利 用 图 2,验 证 勾 股 定 理 定理 表述 ：直 角三 角 形中 ,两 直角 边的 平 方和 等于 斜边 的平 方 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明 ： S 四 边 形 ABCD =S ABE +S AED +S CDE=ab2c22212、如 图, ABC中, AB=
8、AC, BAD= CAD, BD=CD, AD BC请 你 选 择 其 中 的 两 个 作 为 条 件 ,另 两 个 作 为结 论 ,证 明 等 腰 三 角形 的 “三线 合 一 ”性 质 定 理 13、课 本 指 出 ：公 认的 真 命 题 称 为 公 理 ,除 了 公 理 外 ,其 他 的 真 命 题（ 如 推 论 、 定 理 等 ） 的 正 确 性 都 需 要 通 过 推 理 的 方 法 证 实 （ 1） 叙 述 三 角 形 全等 的 判 定 方 法 中 的 推论 AAS；_精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - -
9、- （ 2） 证 明 推 论 AAS要 求 ：叙 述 推 论 用 文字 表 达 ；用图 形 中 的符 号 表 达 已 知 、求 证,并 证 明 ,证 明 对 各 步 骤 要 注 明 依 据 14、在 数 学 课 外 活 动中 ,某 学 习 小 组 在 争论 “导 学 案 ”上 的 一个 作 业 题 ：已 知 ： 如 图 , OA平 分 BAC, 1=2求 证 ： AO BC同 学 甲 说 ： 要 作 辅 助 线 ；_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 同 学 乙 说 ： 要 应 用 角 平 分 线 性 质 定 理
10、 来 解决 ：同 学 丙 说 ： 要 应 用 等 腰 三 角 形 “三 线 合 一 ”的 性 质 定 理 来 解 决如 果 你 是 这 个 学 习 小 组 的 成 员 , 请 你 结 合同 学 们 的 讨 论 写 出 证明 过 程 15、证明：勾股定理逆定理已知：在ABC中, AB=c,AC=b,BC=a ,如 c2 =a2 + b2 求证： C = 90 度证明：作 RT DEF,使 E=RT, DE=b ,EF=a _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 在 RT DEF中, DF 2 = ED2 + EF2
11、= a2 +b 2由于 c2 =a2 + b2所以 DF =c 所以 DF=AB,DE=AC ,EF=BC 所以 RT DFE ABC SSS 所以 C=E = RT二、四边形（一）梯形1、 定 理 证 明 ： “等腰 梯 形 的 两 条 对 角 线相 等 ”2、 用 两 种 方 法 证 明等 腰 梯 形 判 定 定 理 ：在 同 一 底 上 的 两 个 角相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形 （ 要 求 ： 画 出 图 形 , 写 出 已知 、 求 证 、 证 明 ）_精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - _精
12、品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、在 梯 形 ABCD中,如 图 所 示 , AD BC,点 E、 F 分 别 是 AB、 CD的 中 点 , 连 接 EF,EF 叫 做 梯 形 的 中 位线 观 察 EF 的 位 置,联 想 三 角 形 的 中 位 线 定 理 ,请 你 猜 想 ： EF 与 AD、 BC有 怎样的 位 置 和 数量 关 系 并 证 明 你 的 猜 想 4、采 用 如 图 所示 的方 法 ,可 以 把 梯 形 ABCD折 叠 成 一 个 矩 形 EFNM（ 图 中 EF, FN, EM为 折
13、 痕）, 使 得 点 A 与 B、 C 与 D 分 别 重 合 于 一点 请 问 ,线 段 EF 的 位 置如 何确 定 ； 通 过 这 种 图 形变 化 , 你 能 看 出 哪 些定 理 或 公_精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 式 （ 至 少 三 个 ） ？ 证明 你 的 所 有 结 论 解： 可以 看出 梯形 的 中位 线定 理、 面积 公 式、 平行 线的 性质 定 理等 （二）平行四边形1、 定 理 证 明 ： 一 组对 边 平 行 且 相 等 的 四边 形 是 平 行 四 边 形 _精品资料_ -
14、- - - - - -第 16 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2、 定 理 求 证 ： 对 角线 互 相 平 分 的 四 边 形是 平 行 四 边 形 _精品资料_ - - - - - - -第 17 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、 我 们 在 几 何 的 学习 中 能 发 现 , 很 多 图形 的 性 质 定 理 与 判 定定 理 之 间有 着 一 定 的 联 系 例 如 ：菱 形 的 性 质 定 理 “菱 形 的 对 角 线 互 相垂 直 ”和菱 形 的 判 定 定 理 “对角 线 互 相 垂 直 的 平
15、行四 边 形 是 菱 形 ”就 是这 样 但是 课 本 中 对 菱 形 的 另 外 一 个 性 质 “菱 形 的对 角 线 平 分 一 组 对 角 ”却 没有 给 出 类 似 的 判 定 定 理 , 请 你 利 用 如 图 所示 图 形 研 究 一 下 这 个问 题 要 求 ： 如 果 有 类 似 的 判 定 定 理 , 请 写 出 已知 、 求 证 并 证 明 假如 没 有 ,请 举 出 反 例 _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （三）圆 证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；这肯定理叫做圆周角定理
16、；（圆周角与圆心角的关系）已知在O 中, BOC与圆周角 BAC同对弧 BC,求证： BOC=2BAC.证明：情形 1：如图 1,当圆心 O在BAC的一边上时,即 A、O、B 在同始终线 上时：图 1OA、 OC是半径 解： OA=OCBAC=ACO（等边对等角）BOC是 AOC的外角BOC=BAC+ACO=2B AC 情形 2：如图 2, ,当圆心 O在BAC的内部时：连接 AO,并延长 AO交O 于 D 图 2OA、 OB、OC是半径_精品资料_ - - - - - - -第 19 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解： OA=OB=OCBAD=ABO,
17、CAD=ACO（等边对等角）BOD、COD分别是 AOB、 AOC的外角BOD=BAD+ABO=2BAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）COD=CAD+ACO=2CAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）BOC=BOD+COD=2BAD+CAD=2BAC情形 3：如图 3,当圆心 O在BAC的外部时：图 3 连接 AO,并延长 AO交O 于 D连接 OA,OB；解： OA、 OB、OC、是半径BAD=ABO（等边对等角） , CAD=ACOOA=OCDOB、DOC分别是 AOB、 AOC的外角DOB=BAD+ABO=2BAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）DOC=CAD+ACO=2CAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）BOC=DOC- DOB=2CAD- BAD=2BAC_精品资料_ - - - - - - -第 20 页,共 20 页