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1、平行线分线段成比例平行线分线段成比例知识梳理知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理及其推论1.1.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果l1 l2l3，则BCEFABDEABAC，.ACDFACDFDEDFABCDEFl1l2l32.2.平行线分线段成比例定理的推论：平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC，则AADAEDEABACBCEEADDBCBC3.3.平行的判定定理：平行的判定定理：如上图，如果有ADAEDE，那么DEBC。ABACBC专题讲解专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例【例1 1】如图，DEB
2、C，且DB AE,若AB 5，AC 10，求AE的长。ADEBC【例【例2 2】如图，已知AB/EF/CD，若AB a，CD b，EF c，求证：.ACEFD1c1a1bB【巩固】【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF BD，垂足为F.证明：111.ABCDEFCAEBFD【巩固】【巩固】如图，找出SABD、SBED、SBCD之间的关系，并证明你的结论.CEFDAB【例【例3 3】如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB 12，CD 9，过对角线交点O作EFCD交AD，BC于E，F，求EF的长。DEOCFAB【巩固】【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在
3、梯形ABCD中，ADBC，AD a，BC b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。APEDQBFC专题二、定理及推论与中点有关的问题【例【例4 4】（2012 年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BC_.CD14（2）如图（2），已知ABC中，AE:EB 1:3，BD:DC 2:1，AD与CE相交于F，则的值为（）53A.B.1C.D.222AEMEFAFFCFDAEFBD(2)CB(1)CD【例【例5 5】（2011 年河北省中考试题）如图，在ABC中，D
4、为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.A（1）当AE1AO的值；时，求AC2ADOEAE1 1AO（2）当的值；、时，求AC3 4AD（3）试猜想AE1AO时的值，并证明你的猜想.ACn 1ADBDC【例【例6 6】（2013 年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF1；FC2（2）由（1）知，当E是AD中点时，AF1AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.AFEBDC【巩固】【巩固】（天津市竞赛题）如图，已
5、知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。求证：AF EF。AFEBDC【例【例7 7】（宁德市中考题）如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若AD 2DE，求证:AP 3AB。ABDPEC【巩固】【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC中，BC a，若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1a；1 a3若D2、E2分别是D1B、E1C的中点，则D2E2 aa；2241 37若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3a aa；248A12D1D2E1E2若Dn、En分别是Dn-1B、En-1
6、C的中点，则DnEn_.专题三、利用平行线转化比例【例【例8 8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PM PN PRPSABDlRSOCNPM【巩固】【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G求证：EG GFABCEDGF【例【例9 9】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：ADAE1DCEBAEMPBDNC【例【例1010】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，
7、BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM 5:3:2AMGBEHFC【例【例1111】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM MN NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：EF 3DE.ADEBMFNC【例【例1212】已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.（1）求证：EF/CD（2）若AB a,CD b，求EF的长.AEMFBDC【巩固】【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD 3，BC 9
8、，AB 6,CD 4，若EFBC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。ADEBFC【例【例1313】（山东省竞赛题）如图，YABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB a，AD c，BE b,求BF的值。DOFABEC【例【例1414】已知等腰直角ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K求证：BL LKCEDBLKA过手练习过手练习【习题【习题1 1】如已知DEAB，OA2 OC OE，求证：ADBC.CDOABE【习题【习题2 2】在ABC中，BD CE，DE的延长线交B
9、C的延长线于P，求证：ADBP AECP.AECPBD【习题【习题3 3】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD AE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCEADEBCP专题讲解专题讲解1选择题（1）如图 5-27，ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DEBC的是（）图 5-27AADAC AEABBADAE ECDBCADAB AEACDBDAC AEAB（2）如图 5-28，l1/l2/l3，l4与l5交于点P，PAa，ABb，BCc，PDd，DEe，EFf，则bf（）图 5-28AabBbdCaeDce（3）如图 5-29，ABC中，AD
10、AE1，则OEOB（）ABAC2图 5-29A1111BCD2345（4）如图 5-30，已知BNAM，NDMC，那么有（）图 5-30PDPNPAPCBDANMPBPDPANDCD以上答案都不对PBMC1（5）如图 5-31，H为ABCD中AD边上一点，且AHDH，AC和BH交于点K，则AKKC等于2A（）图 5-31A12B11C13D232填空题（1）如图5-32，梯形ABCD中，ADBC，延长两腰交于点E，若AD2，BC6，AB4，则_，EDECDE_；DC图 5-32（2）如图 5-33，梯形ABCD中，DCAB，DC4，AB7，且MNPQAB，DMMPPA，则MN_，PQ_；图 5
11、-33（3）如图 5-34，梯形ABCD中，ABCD，M为AB中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，BD与MC交于F，则EF与AB的位置关系是_；3如图 5-35，ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且AE1AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，求证：BC2CD4如图 5-36，在ABC中，EFCD，DEBC，求证：AFADFDDB5如图 5-37，ABC中，AFFD15，BDDC，求：AEEC46如图 5-38，M为ABCD的边BC的中点，F为DC边上的点，BF交AM于N，交AC于E，且AN3MN，求FCAB的值7如图 5-39，已知D是ABC中AB边上一点，D
12、EBC交AC于E，连结CD，过E作EFCD交AB于F，求证：AD是AF和AB的比例中项8如图 5-40，已知ABC中，ABAC，ADBC于D，F为BC中点，过F作BC垂线交AB于E，BD6cm，DC4cm，AB8cm，求AE、BE的长9如图 5-41，已知ABC中，ACB90，SBFCSAFC13，BC12cm，FEBC于E，求EB的长10如图5-42，已知：ABCD对角线交于O，OEBC于E，交AB的延长线于F，若ABa，BCb，BFc，求BE的长参考答案参考答案1（1）A（2）D（3）A（4）B（5）C2（1）11，（2）5，6（3）平行323提示：过点C作CNDE交AB于N4略51106102420cm93cm7略8cm，333bca2c