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1、高中数学专题：抛物线 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020抛物线专题复习抛物线专题复习一、抛物线的知识点：标准方程图形y顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式y 2px2p 0l0,0OFxppx px e 1PF x0,022轴2AB p(x1 x2)yy2 2pxp 0FOx0,0lppxpe 1PF x0,02轴2x 2AB p(x1 x2)x2 2pyp 00,0ppyp y e 1PF y00,22轴2AB p(y1 y2)x2 2pyp 00,0py0,2轴pe 1P
2、F y0y 22pAB p(y1 y2)通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2p2pAB为抛物线y2 2px的焦点弦，则xAxB，yAyB p2，|AB|=xA xB p4考点考点 1 1 抛物线的定义抛物线的定义例 1 已知点P在抛物线y2 4x上，则点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为考点考点 2 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y 4 0上考点考点 3 3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质例 3 设A,B为抛物线y2 2px上的点,且AOB
3、 2(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_例 4 设F是抛物线G:x2 4y的焦点（I）过点P(0，4)作抛物线G的切线，求切线方程；（II）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FAFB 0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值二基本题型1过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1 x2 6，那么|AB|=()（A）10（B）8（C）6（D）4，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，点P1(x1|P3F|成等差数列，则有（）1F|、|P2F
4、|、|PAx1 x2 x3 By1 y2 y3Cx1 x3 2x2 D.y1 y3 2y23已知M为抛物线y2 4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP|MF|的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）64过抛物线y ax2a 0的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，则（A）2a（B）11（）|PF|QF|14（C）4a（D）2aa25已知抛物线 C：y 4x的焦点为F,准线为l,过抛物线 C上的点 A 作准线 l的垂线，垂足为 M，若AMF与AOF(其中 O为坐标原点)的面积之比为 3：1，则点 A 的坐标为()A(2,2 2)B(2，2 2)C(2，2)D(2，2 2)6过抛
5、物线焦点 F的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,则A1FB1（）A.45 B.60 C.90 D.1207两个正数 a、b 的等差中项是标为（）A(0,)B(0,)C(,0)D(,0)9，一个等比中项是2 5，且a b,则抛物线y2(ba)x的焦点坐2141412148抛物线y2 4x的焦点为F,准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于轴上方的部分相交于点A,AB l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于（）的直线与抛物线在x3A3 32 B4 3C6 3 D8 39已知抛物线 C：x()1y,过点A(0,4)和点B(t,0)的直线与抛物线 C 没
6、有公共点，则实数 t 的取值范围是222)(,)C(,2 2)(2 2,)D(,2 2)(2,)22A(,1)(1,)B.(,10如果P1，P2，P8是抛物线y2 4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x8，F是抛物线的焦点，若x1,x2,xn(n N)成等差数列且x1 x2 x9 45，则|P5F|=（）A5 B6 C 7 D911设O是坐标原点，F是抛物线y2 4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为12若直线ax y1 0经过抛物线y2 4x的焦点，则实数a x213若抛物线y 2px的焦点与双曲线 y21的右焦点重合,则p的值3214(文)如图，过抛物线
7、 y22px(p0)的焦点 F作倾斜角为 60的直线 l，交抛物线于 A、B两点，且|FA|3，则抛物线的方程是_(理)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、15抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程16在抛物线y 4x2上求一点，使该点到直线y 4x5的距离为最短，求该点的坐标17设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O18已知直线y x b与抛物线y2 2pxp 0相交
8、于A、B两点，若OAOB，（O为坐标原点）且S AOB2 5，求抛物线的方程x2y2919椭圆221上有一点(4,)在抛物线y2 2px（p0）的准线l上，抛ab5物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|NQ|的最小值.3x2y2,抛物线 C2：x22py(p0)的焦点在椭圆 C1的顶点上20椭圆 C1：21(0b2)的离心率e 24b(1)求抛物线 C2的方程；(2)若过M(1,0)的直线l与抛物线 C2交于 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2的切线 l1、l2，当 l1l2时，求直线l的方程21已知抛物线 C：y
9、 4x的焦点为F,过点K(1,0)的直线 l与 C 相交于 A、B 两点，点 A关于 x 轴的对称点为 D.28(1)证明：，点F在直线BD上；(2)设FAFB.求BDK的内切圆M的方程920(文)解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距 cc由离心率 e a4b23得，b21.224b2，椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为 x24y.(2)由题知直线 l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为 yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，11yx2，yx，4211切线 l1，l2的斜率分别为 x1，x2，2211当 l1l2时，x1 x21，即
10、 x1x24，22ykx1由得：x24kx4k0，x24y由 (4k)24(4k)0，解得 k0.又 x1x24k4，得 k1.直线 l的方程为 xy10.21解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为 xmy1(m0)(1)将 xmy1(m0)代入 y24x并整理得 y24my40，从而 y1y24m，y1y24y2y14y22x直线 BD 的方程为 yy2(xx2)，即 yy24x2x1y2y1y1y2令 y0，得 x1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上4(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1 因为F
11、A(x11，y1)，FB(x21，y2)，FAFB(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1484m2，84故 84m2，解得 m，93443直线 l的方程为 3x4y30,3x4y30.从而 y2y14m2447，故37y2y1因而直线 BD 的方程为 3x 7y30,3x 7y30.3|t1|因为 KF 为BKD 的角平分线，故可设圆心 M(t,0)，(1t1)，M(t,0)到直线 l 及 BD 的距离分别为，53|t1|，43|t1|3|t1|3|t1|21由得 t 或 t9(舍去)，故圆 M 的半径为 r，5495314x2y2.所以圆 M的方程为99x02xx例 4（I）
12、设切点Qx0，由y，知抛物线在Q点处的切线斜率为0，故所求切线方程为224x02x0y(xx0)422x0 x4即y x242x0216，x0 4所求切线方程为y 2x4因为点P(0，)在切线上所以4 ，x04（II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k 0因直线AC过焦点F(01)，所以直线AC的方程为y kx1y kx1，2x1 x2 4k，点A，C的坐标满足方程组2得x 4kx4 0，由根与系数的关系知x x 4.12x 4y，AC(x1 x2)2(y1 y2)2 1k2(x1 x2)24x1x2 4(1k2)11因为AC BD，所以BD的斜率为，从而BD的方程为y x1kk1 24(1k2)18(1k2)212SAC BD 8(k 2)32同理可求得BD 41 ABCD222k2kkk当k 1时，等号成立所以，四边形ABCD面积的最小值为32