高中数学教案抛物线.pdf

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1、抛物线抛物线一、一、知识网络知识网络二、高考考点二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。三、知识要点三、知识要点（一）定义与推论（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点 M 的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设 为抛物线 上任意一点，则设 为抛

2、物线 上任意一点，则其它情形从略。（二）标准方程与几何性质（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点 F 到准线 l 的距离为 p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2 倍.2.几何性质对于抛物线（1）范围：这条抛物线在 y 轴右侧，且

3、向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于 x 轴对称 轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点 O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率：（抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式1）顶点在原点，以 x 轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；顶点在原点，以 y 轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；（2）顶点在，对称轴垂直 y 轴的抛物线方程为：，其焦点参数；顶点在，对称轴垂直 x 轴的抛物线方程为：，其焦点

4、参数；2.抛物线的焦点弦设 且 PQ 为抛物线 的一条经过焦点的弦.（1）弦端点同名坐标的关系（推导上述命题的副产品：，其中 k 为直线 PQ 的斜率）（2）焦点弦长公式（）。（）设直线 PQ 的倾斜角为，则故有：（3）的面积公式：；（4）焦点半径 与 的关系（定值）（四）直线与抛物线（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式的考察：直线与抛物线交于不同两点直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交四、抛物线经典例题四、抛物线经典例题例例 1 1、（1）抛物线 的

5、焦点坐标为；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点 F 的距离为 5，则抛物线方程为；（3）经过抛物线 的对称轴上一点 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，若 A 点纵坐标为，则 B 点纵坐标为.分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入当 时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；当 时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；综上可知，不论 a 的正负如何，总有焦点坐标为.（2）这里.注意到焦点半径 在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。注意到点 A 在 x 轴下方，因此，（）当抛物线焦点在x 轴正

6、半轴上时，设抛物线方程为，则又点 A 在抛物线上，则 由，得：或由得：p=9 或 p=1抛物线方程为：或（）当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，且仿（）解得 p=1 或 p=9抛物线方程为 或（）当抛物线焦点在y 轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，p=4此时抛物线方程为 于是综合（）、（）、（）抛物线方程为 或 或.（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级经过抛物线 的对称轴上一定点 作抛物线的弦 AB，若设，寻找点 A、B 的同名坐标之间的联系。设弦 AB 所直线方程为 由与 联立，消去 x：（）应用上述结论，当a=p，时，由得 B 的纵坐标为4p例例 2 2、已

7、知抛物线，点 A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到 A、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点 A 和焦点 F 在抛物线的异侧时，由三角形性质得，解得 p=2 或 p=6。注意到 p=6 时，抛物线方程为，此时若 x=2，则，与点 A 所在区域不符合；当 p=2 时，抛物线方程为，当 x=2 时，符合此时的情形。（2）当点 A 和焦点 F 在抛物线的同侧时（如图），作MN准线 l 于点 N，得

8、，解得易验证抛物线 符合此时情形。于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A 所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2）导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A 在什么位置，总得 成立，本题进行的检验是必要的.例例 3 3、经过抛物线 的焦点作弦 AB.（1）若弦 AB 被焦点 F 分成的线段之比为 3：1；求该弦所在直线的方程；（2）求证：直线 AB 不会是这条抛物线任意一条弦CD 的垂直平分线.分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.解：（1）设 由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线

9、AB 方程为将代入消去 x 得：由韦达定理得：又由题意得（或）由得：将代入解得：所求直线方程为：或.（2）证明：由题意抛物线焦点，准线；假设直线 AB 为弦 CD 的垂直平分线.则 注意到 C，D 两点在抛物线上 过 C，D 分别作 于 G，于 H，则又有由、知，即四边形 CDHG 为矩形 轴 轴这与直线 AB 与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线 AB 不是弦 CD 的垂直平分线。点评：（）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB 被焦点F 分成的线段比为 3：1（或）；二是以 为基础构造并寻觅出 和 的关系式，从而为利用式创造了条件.（）对于（2）等否定性命题，常常用

10、反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.例例 4 4、如图，已知抛物线 的焦点为 F，直线 l 过定点 A(4,0)，且交抛物线于 P、Q 两点。（1）若以 PQ 为直径的圆经过原点，求p 的值；（2）在（1）的条件下，若，求动点 R 的轨迹方程。分析：注意到直线l 过定点 A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q 坐标“既设又解”。解：（1）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为把代入抛物线方程 得由题意：恒成立且 由题设得、代入得：此时 p=2当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x=4，将 x=4 代入抛物线方程 得：.由 得此时亦 p

11、=2于是综合以上讨论得 p=2.（2）解法一（既设又解）：设动点R 坐标为（x,y），由（1）知 p=2，F(1,0)由 得：由、得：由、消去参数得：当直线 l 垂直于 x 轴时，有，从而点 满足因此，所求动点 R 的轨迹方程为.解法二（设而不解）：由（1）所设.得：又两式组合得：，即当 时得：注意到 得 四边形 PRQF 为平行四边形.线段 PQ 与 FR 互相平分设 FR 中点为 M，由得再注意到 P、Q、M、A 四点共线由、得：而当 时，适合式于是可知，所求动点R 的轨迹方程为.点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件几何意义，便可导出动点 R 的条件，的几何意义

12、以及 P、Q、M、A 四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。例例 5 5、直线 l 与抛物线 交于 A、B 两点，O 为原点，且有.（1）求证：直线 l 恒过一定点；（2）若，求直线 l 的斜率的取值范围.（3）设抛物线焦点为 F，试问：角 能否等于？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，试说明理由。分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B 坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入.解：（1）设，则有由 得 注意到这里，由得：，故由得，（）当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其方程为，将其与抛物线方程 联立，消去 x 得：由题意：且由，得：直线 l 的方程为，可见

13、直线 l 过定点(2,0)。（）当 轴时可得，直线l 方程为，亦过定点(2,0)。综上可得，直线l 恒过定点(2,0)。（2）由（1）得：由 得：所求 k 的取值范围为（3）设，则有又而由抛物线定义知：，将，代入解得：，这与 且 矛盾。并注意到当 轴时，综上可知，。点评：若直线与抛物线 交于不同两点 A、B，且，则弦 AB 具有与焦点弦相似的性质：（）弦端点同名坐标之积为定值：（）直线 AB 经过抛物线的轴上一定点.例例 6 6、已知抛物线.设 AB 是抛物线上不重合的两个任意点，且，（O 为坐标原点）（1）若，求点 M 的坐标；（2）试求动点 M 的轨迹方程。分析：注意到这里解题头绪的繁多，

14、故考虑对 A、B 坐标“既设又解”或“解而不设”，以“求解”来化解解题的难度。解：设，则且.由 得解法一（既设又解）：由 得又故得由、得（或）于是再由已知条件得此时点 M 坐标为(4p,0).（2）设动点 M(x,y)，则由 得又由得：由、得：整理得：所求动点 M 的轨迹方程为.解法二（对 A、B 坐标解而不设）：由题意，设直线 OA 的方程为，则直线 OB：.设 M(x,y)，得由解得由 解得由 得（1）由 得：，即当 时或 时，均由得点；（2）注意到，由得消去参数 k，得 即所求动点 M 的轨迹方程为.点评：（1）本题已知条件：，四边形 OAMB 为矩形.（2）对解法一、解法二进行比较：（

15、）对交点坐标“解而不设”思路简捷，过程明朗，通俗易懂。因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。（）细细品味，解法一中对 A、B 坐标的“既设又解”，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的“只设不解”有着明显不同。其中，前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交点坐标之后，解“直线方程与曲线方程联立的方程组”，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B 坐标之后，解的是“关于所设交点坐标的等式所成的方程组”，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的“既设又解”，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。五、高考真题五、高考真题

16、（一）选择题（一）选择题（1 1）已知双曲线（）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.分析：抛物线 的准线为对于双曲线有：由，得：由得于是：，应选 D.（2 2）设抛物线 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.B.-2，2 C.-1，1 D.-4，4分析：抛物线 的准线方程为点 Q 坐标为（-2，0）由题意，设直线 l 的方程为代入 得：可知，k=0 符合已知条件；当 时，由得由，得应选 C.（3 3）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A

17、.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有无穷多条 D.不存在分析：抛物线 的焦点 F（1，0）.若直线 轴，则 A、B 横坐标之和等于 2，与题意不合，故 AB 不垂直于 x 轴，于是由抛物线关于 x 轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B.（二）解答题（二）解答题1.1.设 两点在抛物线 上，l 是 AB 的垂直平分线.（1）当且仅当 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；（2）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.分析：从线段 AB 的垂直平分线的性质切入（1）直线 l 经过 F又 l 为弦 AB 的垂线平分线，问题由此可以突破（2）以 A、B

18、 关于直线 l 对称的条件突破难点。解：（1）抛物线焦点 即，即当且仅当 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F.（2）设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程为可设直线 AB 的方程为代入 得：由题意得：且又设弦 AB 的中点为，解得：，即：注意到，由得：由得：即直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围为点评：利用 解出的范围，再利用直线 l 经过弦 AB 的中点导出 b 与 m 的关系式，则由导出 b 的取值范围便呼之欲出了。2.2.抛物线 C 的方程为，过抛物线 C 上一点 作斜率为 的两条直线分别交抛物线C 于 两点（P、A、B 三点互不相同），且满足（，且）.（1）求抛物线

19、 C 的焦点坐标和准线方程；（2）设直线 AB 上一点 M，满足，证明：线段 PM 的中点在 y 轴上；（3）当 时，若点 P 坐标为（1，-1），求 为钝角时，点 A 的纵坐标 的取值范围.分析：（）对于（2），为采用向量的坐标公式，通过直线方程去求解或表示点A、B 坐标。因此，解（2）由写出斜率为 的直线方程切入，从求解A、B 坐标突破（对A、B坐标既设又解）；（）对于（3），为钝角，故仍从推导 A、B 以及入手.解：（1）抛物线方程 这里的焦点参数，焦点坐标为，准线方程为（2）由题设知直线 的方程为与抛物线方程 联立解得当 时，同理，设点 M 坐标为，则由 以及、得又，即线段 PM 的中

20、点在 y 轴上.（3）当 时，由点 P（1，-1）在抛物线 上得.由（2）得，注意到 为钝角而，当 时，从而；当 时，从而于是综合、得所求 的取值范围为点评：对于本题而言，第（2）小题的处理至关重要，在这里，利用点P 坐标和斜率，首先建立起直线 的方程，而后与抛物线方程联立，导出 与 的关系式，则获知 与 的关系式，便一蹴而就，于是再利用题设条件推导点M 的横坐标与 的关系便有八分胜算了。3.3.在平面直线坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点 O 的不同两点 A、B 满足（如图）（1）求 的重心 G 的轨迹方程；（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.分析：注意到

21、抛物线方程 的简单以及 重心公式的结构，容易首先对 A、B 坐标“设而不解”；其次是“解而不设”.其实，若注意到 的表达式，则“解而不设”会更胜一筹。解：（1）设直线 OA 的方程为，将其与抛物线方程 联立，解得又由，设直线 OB 的方程为，同理解得设 的重心为，则由三角形重心坐标公式（推导从略）得注意到，由，消去参数 得即所求 的重心 G 的轨迹方程为（2）设 的面积为 S，由 得当且仅当 时取等号.（当且仅当 时取得）的面积存在最小值，且最小值为1.点评：对有关直线与曲线的交点“解而不设”，使解题的脉胳清晰，前途明朗，解题的技术含量较低。因此，对于方程简单的抛物线与直线相交问题，应注意适时

22、的运用这一策略。4.4.如图，设抛物线 的焦点为 F，动点P 在直线 上运动，过点P 作抛物线 C 的两条切线PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求 的重心 G 的轨迹方程；（2）证明：分析：注意到这里的PA、PB 为切线，并且抛物线方程简单，故考虑对 A、B 坐标“设而不解”；对于（2），由于（1）中已经设出并表示出 A、B、P 的坐标，故首选以证明两角的余弦值相等突破。解：（1）设切点由 得：切线 PA 的方程为 切线 PB 的方程为 由，联立解得点P 坐标。设 的重心坐标为，解得：即注意到点 P 在直线 l 上，代入得：，即：所求 的重心 G 的轨迹方程为.（2）

23、由（1）知，又，且，点评：在此证明习题的过程中，将有关点的坐标或向量的坐标分别代入目标式两边，乃是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处。因此，当目标式两边中有同一量时，可考虑暂时保持这一量不变，而率先变化其余部分；“保留相同部分，变形不同部分”，这是用计算的方法证明等式成立的基本技巧。请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用。5.5.已知动圆过定点 且与直线 相切，其中 p0.（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 和 ，当 、变化且 +为定值 时，证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。分析：

24、（1）定点，直线，得由直线与圆相切的充要条件知，动圆圆心 M 到定直线 l的距离等于圆的半径，据此，可运用“直接法”，也可运用“定义法”求动圆圆心轨迹方程。（2）注意到这里最终须写出直线 AB 的方程，又直线 OA、OB 的方程易求，从而 A、B坐标易解，故可优先选择对点A、B 的坐标“解而不设”。解：（1）设动圆圆心，定点，由动点 M 到定点 F 和定直线 l 距离相等，且定点不在定直线上由抛物线定义知，动点M 的轨迹 C 是以定点 为焦点，直线 为准线的抛物线动点 M 的轨迹 C 的方程是：（2）设直线 OA 的方程为，直线 OB 的方程为，则，.由解得：，由解得：（）直线 AB 的斜率：

25、直线 AB 的方程为：即注意，由解直线 AB 的方程为：即 又注意到这里 为定值，由知直线AB 恒过定点（）讨论：当 时，从而，由直线 AB 的方程为，此时直线 AB 恒过定点（2p，0）当，即 时，这里 不合，于是综合以上讨论可知，当 时，直线AB 恒过定点（-2p，0）；当 时，直线 AB 恒过定点点评：运用这一策略解题，其难度在于由到的凑项；当时，为将直线AB 过定点和建立联系，首先在直线 AB 的方程的常数项部分凑出，则前一部分自然随之变为，于是方程摇身一变成为方程，直线AB 经过的定点便暴露在我们的视野之中了。6.6.给定抛物线，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交

26、于 A、B 两点.（1）设 l 的斜率为 1，求 与 夹角的大小；（2）设，若，求 l 在 y 轴上截距的变化范围.分析：当 与 的夹角为，以求 的值切入。注意到（1）的目标与（2）的条件，故考虑对交点 A、B 的坐标“既设又解”，以取“设”与“解”的两者之中，简化求解过程。解：（1）抛物线 C 的焦点 F（1，0），直线 l 的方程为设，与 的夹角为，将代入抛物线方程 得：由题设知，为这一方程的不等实根，显然成立由违达定理得 由、解 与 夹角的大小为（2）设直线 l 的方程为，。由 得显然成立且由题设 得即又由、解得于是将代入 得：解得：当解 在4，9上为增函数即 由得或或因此，直线 l 在 y 轴上的截距 的取值范围为点评：对于（2），利用向量的坐标由 导出，是沟通 与 A、B 坐标的联系，进而通过式导出 k 与 关系。