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1、.1/7 北师大版数学 八年级上册知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即222cba 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a,b,c 有关系222cba,那么这个三角形是直角三角形.3、勾股数：满足222cba的三个正整数,称为勾股数.4、常用勾股数：3、4、5 6、8、10 9、12、15 15、20、25 7、24、25 5、12、13 8、15、17 9、40、41 5、解立体图形上两点之间的最短距离问题 1将立体图形展成平面图形 2根据两点之间线段最短确定最短路线 3最后以上面的最短路线为边构造直角三角形,利用勾股
2、定理解决 圆柱表面蚂蚁吃面包：勾股定理：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方 6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边 7、折叠问题的常用方法：折叠前后的图形全等.然后一边是 x 另一边是关于 x 的代数式 第二章 实数 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：1无限不循环小数；2开方开不尽的数,如32,7等 3,或化简后含有 的数,如3+8 等；4有特定结构的数,如 0.10100100015某些三角函数值,如 sin60o等 3、算数平方根 平方根 立方根 X2=a X2=a X3
3、=a x 两个值,一正一负 记做 X=a x=a x=3a.2/7 平方根性质：一个正数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.立方根性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.4、二次根号下有意义的条件：根号下是非负数,即0 5、开平方：求一个数 a 的平方根的运算叫开平方,求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方.a叫做被开方数.6、实数的倒数、相反数和绝对值与有理数的意义是一致的 7、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大；两个负数,绝对值大的反而小.2、实
4、数大小比较的几种常用方法 1数轴比较：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.2求差比较：设 a、b 是实数,2求商比较法设 a、b 是两正实数,;1;1;1babababababa 4绝对值比较法：设 a、b 是两负实数,则baba.5平方法：设 a、b 是两负实数,则baba22.8、算术平方根有关计算二次根式 1、含有二次根号；被开方数 a 必须是非负数.2、性质：1)0,0(babaab)0,0(baabba 2)0,0(bababa )0,0(bababa 9、最简二次根式：运算结果若含有a形式,必须满足：1被开方数的因数是整数,因式是整式；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因
5、式 10、非负数的情况：根号下,平方,绝对值.例如 11、常用的平方与立方 11=121,12=144,13=169,14=196,15=225,16=256,17=289,18=324,19=361,20=400,21=441,25=625 2 的立方 8 3 的立方 27 4 的立方 64 5 的立方 125 6 的立方 216.3/7 12、常用的开二次根式自己填好 8=18=32=50=12=27=48=20=24=28=80=第三章 位置与坐标 1、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据.2、平面直角坐标系 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系.其中,水平的
6、数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方向；x 轴和 y轴统称坐标轴.它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面.3、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.注意：x 轴和 y 轴上的点坐标轴上的点,不属于任何一个象限.4、点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上 x 轴、y 轴对应的数a,b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对a,b叫做点 P 的坐标.点的坐标用a,
7、b表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有,分开,横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有序实数对,当ba 时,a,b和b,a是两个不同点的坐标.平面内点的与有序实数对是一一对应的.5、各象限内点的坐标的特征 点 P第一象限0,0yx+点 P第二象限0,0yx-+点 P第三象限0,0yx-点 P第四象限0,0yx+-6、坐标轴上的点的特征 点 P在 x 轴上0 yx 轴上的点纵坐标为 0 点 P在 y 轴上0 xy 轴上的点横坐标为 0 点 P既在 x 轴上,又在 y 轴上x,y 同时为零,即点 P 坐标为0,0即原点 7、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P在第一、三象限夹角
8、平分线上 x 与 y 相等直线 y=x 点 P在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数直线 y=-x 8、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同.平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同.9、关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征.4/7 关于 x 轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点 P x,y 关于 x 轴的对称点为 Px,-y 关于 y 轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点 P x,y 关于 y 轴的对称点为 P-x,y 总述,关于哪个轴对称哪个坐标不变,另一个坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反
9、数,即点 Px,y关于原点的对称点为 P-x,-y 10、点 P到坐标轴与原点的距离：1点 P到 x 轴的距离等于y2点 P到 y 轴的距离等于x 3点 P到原点的距离等于22yx 11、坐标变化与图形变化的规律：坐标 x,y 的变化 图形的变化 x a 或 y a 被横向或纵向拉长压缩为原来的 a 倍 x a,y a 放大缩小为原来的 a 倍 x -1或 y -1 关于 y 轴或 x 轴对称 x -1,y -1 关于原点成中心对称 x+a 或 y+a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 x+a,y+a 沿 x 轴平移 a 个单位,再沿 y 轴平移 a 个单 第四章 一次函数 1/函数：一般
10、地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量.2、自变量取值 X 围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值 X 围.一般从整式取全体实数,分式分母不为 0、二次根式被开方数为非负数、实际意义几方面考虑.3、由函数关系式画其图像的一般步骤 1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 2描点：以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 3连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.4、正比例函数和一次函数 一次函数的形式bkxyk,b为常数,k0,正比例函数的形
11、式kxy k 为常数,k0正比例函数是特殊的一次函数、一次函数、正比例函数图像的主要特征：.5/7 一次函数bkxy的图像是经过点0,b的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点0,0的直线.5、一次函数的性质和正比例函数的性质 1当 k0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；2当 k0 直线交 y 轴正半轴 b0 直线交 y 轴负半轴 6、一次函数与 y 轴的交点坐标为0,b；一次函数与 x 轴的交点坐标,另 y 等于 0,求出 x的值.即kb,0 7、一次函数与坐标轴围成的三角形面积：21与 x 轴的交点横坐标与 y 轴的交点纵坐标 8、两个一次函数 k1=k2,b1 b2
12、两直线平行 k1k2,b1=b2两直线相交于 y 轴上的点0,b k1k2=-1.两直线垂直 9、直线 y=2x 向上平移三个单位得到 y=2x+3,向下平移三个单位得到 y=2x-3 10、在实际问题的图像常取在第一象限,读图时注意 x 轴 y 轴代表的信息,若图中有两条直线应标注各个直线的名称.11、一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0k、b 为常数,k0的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时,求相应 x 的值 从图象上看,这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值 第五章 二元一次方程组 1、二元一次方程1-5
13、 都为理解内容 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程.2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.3、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.6/7 5、二元一次方程组的解法 1代入消元法2加减消元法 6、一次函数与二元一次方程组的关系：1一次函数与二元一次方程的关系：直线 y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx-y+b=0 的解 2一次函数与二元一次方程组的
14、关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数的图象的交点坐标.当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象直线平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解.7、个位数字为 x 十位数字为 y 的两位数为 10y+x 较大的两位数为 x 较小的两位数 y,将较大的写在左边的四位数是 100 x+y 第六章 数据的分析 1、刻画数据的集中趋势平均水平的量：平均数、众数、中位数 2、平均数 1平均数：x=)(121nxxxn.2加权平均数：x=3、众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数.注意：1众数可能不止一个 2众数是出现次数最多的那个数据而不是次数 4、中位数 1先排列2中间
15、一个数据或最中间两个数据的平均数 注意：奇数个数的中位数,可以把数字加 1,再除以 2.这个位置就是中位数.如 101 个数字,是 101+1 为 102 除以 2.第 51 位的数字,就是 偶数个,直接除以 2 的那位,和它后一位数字的平均数.如 100 个数字,就是 100 除以 2 为50,和 51 位上数字的平均数 5、中位数,众数,平均数如数据有单位那么要加单位.6、刻画数据离散程度的量：极差,方差,标准差.他们越小数据越稳定.7、极差：一组数据最大值-最小值 8、方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数 步骤：1求这组数据的平均数 2个数与平均数的差 3差的平方 4再求平均数 9、
16、标准差：方差的算数平方根.第七章 平行线的证明.7/7 1、.定义与命题理解不用记忆 1.定义 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如一些、大概、差不多等不能在定义中出现.2.命题 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.3.公理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.4.定理 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
17、5.证明 根据题设、定义以与公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.2.为什么它们平行 1.平行判定公理:同位角相等,两直线平行.2.平行判定定理:同旁内互补,两直线平行.3.平行判定定理:同错角相等,两直线平行.3.如果两条直线平行 1.两条直线平行的性质公理:两直线平行,同位角相等;2.两条直线平行的性质定理:两直线平行,内错角相等;3.两条直线平行的性质定理:两直线平行,同旁内角互补.4.三角形和定理的证明 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于 180 5.关注三角形的外角 三角形内角和定理的两个推论:推论 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6、不是命题的情况：疑问句,短语,图的做法.