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1、锐角三角函数知识点总结与复习锐角三角函数知识点总结与复习直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题1 1、勾股定理：直角三角形两直角边、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边的平方和等于斜边c的平方。的平方。a2b2 c22 2、如下图，在、如下图，在 RtRtABCABC 中，中，C C 为直角，为直角，则则A A 的锐角三角函数为的锐角三角函数为(A A 可换成可换成B)B)：A斜边c邻 边B对a边C正弦正弦定定义义sin A表达式表达式取值范围取值范围关关系系A的对边asin A c斜边0 sinA1(A A 为锐角为锐角)sinA cosBcosAsinBsin
2、2A cos2A 1tan A cot Bcot A tan B1(倒数倒数)tan A cot A余弦余弦cos A A的邻边b0 cosA1cos A c斜边(A A 为锐角为锐角)正切正切A的对边atanA 0tan A tan A bA的邻边(A A 为锐角为锐角)A的邻边bcotA 0cot A cot AaA的对边(A A 为锐角为锐角)余切余切tanAcotA13 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。弦值。由AB 90sin A cosB得B 90A4 4、任意锐角
3、的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正cosAsinBsin A cos(90 A)cos A sin(90 A)切值。切值。tan A cot Bcot A tan B由AB90得B90Atan A cot(90 A)cot A tan(90 A)5 5、0 0、3030、4545、6060、9090特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(重要重要)三角函数三角函数0 03030454560609090sin cos 0 01 10 0不存在不存在12222232121 10 0不存在不存在0 03
4、233tancot1 11 13333 6 6、正弦、余弦的增减性：、正弦、余弦的增减性：当当 0 09090时，时，sinsin随随的增大而增大，的增大而增大，coscos随随的增大而减小。的增大而减小。7 7、正切、正切、余切的增减性：余切的增减性：当当 0 0 9090时，时，tantan随随的增大而增大，的增大而增大，cotcot随随的增大而减小。的增大而减小。一、知识性专题一、知识性专题专题专题 1 1：锐角三角函数的定义：锐角三角函数的定义例例 1 1在在 RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，BCBC1 1，ABAB2 2，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()A
5、()AsinsinA A分析分析 sin sinA A331 B BtantanA A C CcoscosB B D DtantanB B32223BC1BCBC1，tantanA A，coscosB B故选故选 D.D.322ABACAB3例例 2 2在在ABCABC中，中，C C9090，coscosA A,则则 tantanA A等于等于；分析分析在在 RtRtABCABC5中，设中，设ACAC3 3k k，ABAB5 5k k，则，则BCBC4 4k k，由定义可知，由定义可知 tantanA ABC4k4AC3k33BC3故填故填5AB5分析分析在在 RtRtABCABC中，中，BC
6、BCAB2 AC252 423 3，sinsinA A0 0例例 3 3（1212 哈尔滨）哈尔滨）在在 RtRtABCABC 中，中，C=90C=90，AC=4AC=4，AB=5AB=5，则则 sinBsinB 的值是的值是；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故对边比邻边，故 sinB=sinB=4.5AD例例 4 4（20122012 内江）内江）如图如图 4 4 所示，所示，ABCABC 的顶点是正方形网格的格点，的顶点是正方形网格的格点，则则 sinAsin
7、A 的值为的值为；ABC图 4BC图 4【解析】欲求【解析】欲求 sinAsinA，需先寻找，需先寻找A A 所在的直角三角形，而图形中所在的直角三角形，而图形中A A 所在的所在的ABCABC 并不并不是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接 CDCD（如下图所示）（如下图所示），恰好可证得，恰好可证得 CDCDABAB，于是有，于是有 sinAsinA25CD5AC102 20 0例例 5(20125(2012 宁波宁波)，RtRtABC,ABC,C=90C=90,AB=6,cosB=,AB=6,cosB=,则则 BCBC 的长为的长为；
8、3 3【解析】【解析】cosB=cosB=BCBC2 2=，又，又AB=6AB=6BC=4BC=4ABAB3 3例例 6 6（20122012 贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形 ABCABC 中，锐角中，锐角的邻边与对边的比的邻边与对边的比叫做角叫做角的余切，的余切，记作记作 ctanctan,即即 ctanctan=解下列问题：（解下列问题：（1 1）ctan30ctan30=；（2 2）如图，已知）如图，已知 tanA=tanA=角的邻边AC，根据上述角的余切定义，根据上述角的余切定义，角的对边BC3，其中A，其中A 为锐角，试求为锐角，试求 ctanA
9、ctanA4的值的值【分析】【分析】（1 1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它，然后在计算出其它22 题图边长，边长，根据余切定义进而求出根据余切定义进而求出 ctan30ctan30（2 2）由由 tanA=tanA=。3为了计算方便，为了计算方便，可以设可以设 BC=3 AC=4BC=3 AC=44，根据余切定义就可以求出根据余切定义就可以求出 ctanActanA 的值的值【解析】【解析】（1 1）设）设 BC=1,BC=1,=30=30AB=2AB=2由勾股定理得：由勾股定理得：AC=AC=3ctan
10、30ctan30=设设 BC=3 AC=4BC=3 AC=4ctanActanA=3AC=3(2)(2)tanA=tanA=4BCAC4=BC31C C扩大为原来的扩大为原来的 3 3 倍倍 D D不能确定不能确定3例例 7 7（20122012 山东滨州）山东滨州）把ABC把ABC 三边的长度都扩大为原来的三边的长度都扩大为原来的 3 3 倍，倍，则锐角则锐角 A A 的正弦函数的正弦函数值（值（）A A不变不变 B B缩小为原来的缩小为原来的【解析】【解析】因为因为ABCABC 三边的长度都扩大为原来的三边的长度都扩大为原来的 3 3 倍所得的三角形与原三角形相似，倍所得的三角形与原三角形
11、相似，所以锐所以锐角角 A A 的大小没改变，所以锐角的大小没改变，所以锐角 A A 的正弦函数值也不变的正弦函数值也不变【答案】选【答案】选 A A例例 8 8（20122012 湖南）观察下列等式湖南）观察下列等式sin30=sin30=cos60=cos60=sin45=sin45=cos30=cos30=2 22 2cos=45=cos=45=sin60=sin60=根据上述规律，计算根据上述规律，计算 sinsin a+sina+sin（90（90a a）=2 22 2解析：根据可得出规律，即解析：根据可得出规律，即 sinsin a+sina+sin（90（90a a）=1=1，继
12、而可得出答案，继而可得出答案2 22 22 22 2答案：解：由题意得，答案：解：由题意得，sinsin 30+sin30+sin（9030）（9030）=1=1；sinsin 45+sin45+sin（9045）（9045）=1=1；2 22 22 22 2sinsin 60+sin60+sin（9060）（9060）=1=1；故可得；故可得 sinsin a+sina+sin（90（90a a）=1=1故答案为：故答案为：1 1点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外外 s
13、insin a+sina+sin（90（90a a）=1=1 是个恒等式，同学们可以记住并直接运用是个恒等式，同学们可以记住并直接运用例例 9(20129(2012 山东德州山东德州)为了测量被池塘隔开的为了测量被池塘隔开的A A，B B两点之间的距离，根据实际情况，作出两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中如下图形，其中AB BE，EF BE，AFAF交交BEBE于于D D，C C在在BDBD上有四位同学分别测量上有四位同学分别测量出以下四组数据：出以下四组数据：BCBC，ACBACB；CDCD，ACBACB，ADBADB；EFEF，DEDE，BDBD；DEDE，DCDC，BCBC
14、能能根据所测数据，求出根据所测数据，求出A A，B B间距离的有哪间距离的有哪组组2 22 2FA AE ED DF F【解析】对于，可由公式【解析】对于，可由公式 AB=BCAB=BCtantanACBACB 求出求出 A A、B B 两点间的距离；对于，可设两点间的距离；对于，可设 ABABC CB Bxx，BD=BD=，BD-BC=CDBD-BC=CD，可解出，可解出 ABAB对于，易知对于，易知tanACBtanADBDEBDDEFDEFDBADBA，则，则，可求出，可求出 ABAB 的长；对于无法求得，故有、三组【点的长；对于无法求得，故有、三组【点EFAB的长为的长为 x x，则，
15、则 BC=BC=评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AAAA，SASSAS，SSSSSS，两直角三，两直角三角形相似的判定还有角形相似的判定还有 HLHL例例 1010（20122012 江苏泰州江苏泰州 1818）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A A、B B、C C、D D 都都在这些小正方形的顶点上，在这些小
16、正方形的顶点上，ABAB、CDCD 相交于点相交于点 P P，则，则 tantanAPDAPD 的值是的值是【解析】【解析】要求要求 tantanAPDAPD 的值，只要将的值，只要将APDAPD 放在直角三角形中，故过放在直角三角形中，故过 B B 作作 CDCD 的垂线，然的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可【答案】作【答案】作 BMBMCDCD，DNDNABAB 垂足分别为垂足分别为 M M、N N，则，则 BM=DM=BM=DM=210，易得：，易得：DN=DN=，设，设 PM=xPM
17、=x，10210PNDN25PN则则 PD=PD=-x-x，由，由DNPDNPBMPBMP，得：，得：，即，即x x，由，由10，PN=PN=PMBMx5222DNDN+PN+PN=PD=PD，得得：2 22 22 2112 2222 2+x x=(=(-x)-x)，解解得得：x x1 1=，x x2 2=2（舍舍去去），tantan105242BMAPD=APD=2=2=2PM24例例 1111.（20112011 江苏苏州）如图，在四边形江苏苏州）如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，E E、F F 分別是分別是 ABAB、ADAD 的中点，若的中点，若 EF=2EF=2，BC=5BC
18、=5，CD=3CD=3，则则 tanCtanC 等于等于分析：分析：根据三角形的中位线定理即可求得根据三角形的中位线定理即可求得 BDBD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得BCDBCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解解答：解答：解：连接解：连接BDBDE E、F F 分別是分別是 ABAB、ADAD 的中点的中点BD=2EF=4BD=2EF=4BC=5BC=5，CD=3CD=3BCDBCD 是直是直4角三角形角三角形tanC=tanC=3例例 1212（20112011 山东日照）在山东日照）
19、在 RtABCRtABC 中，C=90，把A中，C=90，把A 的邻边与对边的比叫做A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作的余切，记作 cotA=cotA=b则下列关系式中不成立的是（则下列关系式中不成立的是（）a2 22 2A AtanAcotA=1tanAcotA=1B BsinA=tanAcosAsinA=tanAcosA C CcosA=cotAsinAcosA=cotAsinAD Dtantan A+cotA+cot A=1A=1解答：解答：解：根据锐角三角函数的定义，得解：根据锐角三角函数的定义，得A A、tanAcotA=、tanAcotA=a baa ba=1=1，关系式成立；，
20、关系式成立；B B、sinA=sinA=，tanAcosA=，tanAcosA=，关系式成立；，关系式成立；b acb ccb2 2a bba2 22 22 2，关系式成立；，关系式成立；D D、tantan A+cotA+cot A=A=（）+（）1，1，abc ac2 22 2C C、cosA=cosA=，cotAsinA=，cotAsinA=关系式不成立关系式不成立 故选故选 D D 点评：点评：本题考查了同角三角函数的关系本题考查了同角三角函数的关系（1 1）平方关系：平方关系：sinsin A+cosA+cos A=1A=1（2 2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值
21、等于这个角的正弦与余弦的）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即比，即 tanA=tanA=sin A或或 sinA=tanAcosA（sinA=tanAcosA（3 3）正切之间的关系：tanAtanB=1）正切之间的关系：tanAtanB=1cosB，例例 1313（2011贵港）（2011贵港）如图所示，如图所示，在ABC在ABC 中，中，C=90，C=90，ADAD 是是 BCBC 边上的中线，边上的中线，BD=4BD=4，AD=2AD=2则则 tanCADtanCAD 的值是的值是解解 答答：解解：ADAD是是BCBC边边 上上 的的 中中
22、线线，BD=4BD=4，CD=BD=4CD=BD=4，在在RtACDRtACD中中，AC=AC=2=2，tanCAD=，tanCAD=2=2故选故选 A A例例 1414（20112011 烟台）烟台）如果如果ABCABC中，中，sinsinA A=cos=cosB B=2，则下列最确切的结论是则下列最确切的结论是（）A.A.ABCABC2是直角三角形是直角三角形B.B.ABCABC是等腰三角形是等腰三角形 C.C.ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 D.D.ABCABC是锐角三是锐角三角形角形解：sinA=cosB=解：sinA=cosB=2，A A=B B=45，=45，ABCA
23、BC是等腰直角三角形故选是等腰直角三角形故选 C C2例例 1515（20112011 四四川川）如如图图所所示示，在在数数轴轴上上点点A A所所表表示示的的数数x x的的范范围围是是（）3sin30 xsin6023C C、tan30 xtan452A A、B B、cos30 xD D、3cos4523cot45 xcot302解答：解答：故选故选D D同步练习同步练习 1 1（20112011 甘肃）如图，甘肃）如图，A A、B B、C C三点在正方形网格线的交点处，若将三点在正方形网格线的交点处，若将ACBACB绕着点绕着点BCAA A逆时针旋转得到逆时针旋转得到ACACB B，则，则
24、tanBtanB的值为的值为CB解答解答：解：过：解：过C C点作点作CDCDABAB，垂足为，垂足为D D根据旋转性质可知，根据旋转性质可知，BB=B B在在 RtRtBCDBCD中，中，tanB=tanB=CDCD：BDBD=11，tan，tanBB=tan=tanB B=332 2（20112011 甘肃兰州）点甘肃兰州）点M M（sin60sin60，cos60cos60）关于）关于x x轴对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是解：sin60=解：sin60=3311，cos60=，cos60=，点，点M M（，）点）点 P P（m m，n n）关于）关于x x轴对轴对222231，）故选
25、）故选 B B22称点的坐标称点的坐标 P（P（m m，-n n），），M M关于关于x x轴的对称点的坐标是（轴的对称点的坐标是（3 3（20112011 广东）已知：45广东）已知：45A A90，则下列各式成立的是（90，则下列各式成立的是（）A A、sinAsinA=cosA=cosAB B、sinAsinAcosAcosAC C、sinAsinAtanAtanAD D、sinAsinAcosAcosA解答：解答：解：45解：45A A90，根据90，根据sinsin45=45=coscos45，45，sinAsinA 随角度的增大而增大，随角度的增大而增大，cosAcosA随角度的增
26、大而减小，当随角度的增大而减小，当A A45时，45时，sinAsinAcosAcosA，故选：，故选：B B4 4、（2011宜昌）教学用直角三角板，边（2011宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cmAC=30cm，C=90，tanBAC=，C=90，tanBAC=长为长为cmcm解：在直角三角形解：在直角三角形ABCABC 中，根据三角函数定义可知：中，根据三角函数定义可知：tantanBAC=BAC=3，则边，则边 BCBC 的的3BC，又，又AC=30cmAC=30cm，tantanACBAC=BAC=33，则，则 BC=ACtanBC=ACtanB BAC=30AC=30=10=1
27、03cmcm故选故选 C C335 5、（20112011 福建莆田）如图，在矩形福建莆田）如图，在矩形ABCDABCD中，点中，点E E在在ABAB边上，沿边上，沿CECE折叠矩形折叠矩形ABCDABCD，使，使点点B B落在落在ADAD边上的点边上的点F F处，若处，若ABAB=4=4，BC=BC=5 5，则，则tantanAFEAFE的值为的值为解答：解答：解：四边形解：四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，A A=B B=D D=90=90，CDCD=ABAB=4=4，ADAD=BCBC=5=5，由题意得：由题意得：EFCEFC=B B=90=90，CFCF=BCBC=5=5，AFEA
28、FE+DFCDFC=90=90，DFCDFC+FCDFCD=90=90，DCFDCF=AFEAFE，在，在RtRtDCFDCF中，中，CFCF=5=5，CDCD=4=4，DFDF=3=3，3DFtantanAFEAFE=tantanDCFDCF=DC46 6、（20122012 连云港）连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片将如图所示的矩形纸片 ABCDABCD 沿过沿过点点 B B 的直线折叠，使点的直线折叠，使点 A A 落在落在 BCBC 上的点上的点 E E 处，还原后，再沿过点处，还原后，再沿过点E E 的直线折叠，使点的直线
29、折叠，使点 A A 落落在在 BCBC 上的点上的点 F F 处，这样就可以求出的角的正切值是处，这样就可以求出的角的正切值是D DC CF FE EA AB B【答案】设【答案】设 AB=x,AB=x,则则 BE=x,BE=x,在直角三角形在直角三角形 ABEABE 中，用勾股定理求出中，用勾股定理求出 AE=EF=AE=EF=2x,x,于是于是 BF=BF=（2+1+1）x.x.在直角三角形在直角三角形 ABFABF 中，中，tantanFAB=FAB=BF(2 1)x=2+1=+1=.选选 B B。ABx7 7、（、（20122012 福州）如图福州）如图1515，已知，已知ABCABC
30、，AB=AC=1AB=AC=1，A=36A=36，ABCABC 的平分线的平分线 BDBD 交交 ACAC 于点于点D D，则，则 ADAD 的长是的长是，cosAcosA 的值是的值是 .（结果保留根号）（结果保留根号）解析：由已知条件，可知解析：由已知条件，可知BDCBDC、ADBADB 是等腰三角形，且是等腰三角形，且 DA=DB=BCDA=DB=BC，可证，可证BDCBDCABCABC，则有则有BCDCx1 x，设，设 BC=xBC=x，则，则 DC=1-xDC=1-x，因此，因此,即x2 x1 0，解方程得，解方程得，ACBC1x5 1 5 15 1,x2（不合题意，舍去），即（不合
31、题意，舍去），即 AD=AD=；又；又2225 15 1115 1,答案：答案：2445 15 122x1ABcosA=cosA=2AD8 8、（20122012 南京）如图，将南京）如图，将4545的的AOBAOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O O 与尺下与尺下沿的端点重合，沿的端点重合，OAOA 与尺下沿重合与尺下沿重合.OB.OB 与尺上沿的交点与尺上沿的交点 B B 在尺上的读书恰为在尺上的读书恰为 2 2 厘米，若按相厘米，若按相同的方式将同的方式将 3737的的AOCAOC 放置在该刻度尺上，则放置在该刻度尺上，则 OCOC 与尺上沿的
32、交点与尺上沿的交点 C C 在尺上的读数为在尺上的读数为0 00 00 0厘米厘米.（结果精确到厘米，参考数据（结果精确到厘米，参考数据 sin37sin37,cos37,cos37,tan37,tan37）B1O2C34A解析：由于解析：由于AOB=45AOB=45，B B 点读书为点读书为 2 2 厘米，则直尺的宽为厘米，则直尺的宽为2 2 厘米，解直角三角形得点厘米，解直角三角形得点C C 的的0 0读数为读数为 2 2tan37tan37 2 2厘米厘米.答案：答案：9 9、（、（20122012湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据湖南张家界）黄岩岛是我
33、国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中其中A=A=D=90D=90，AB=BC=15AB=BC=15 千米，千米，CD=CD=3 2千千米，请据此解答如下问题：（米，请据此解答如下问题：（1 1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据23 1.736 2.45）（）（2 2）求求ACDACD 的余弦值的余弦值.ADBC【解答】（【解答】（1 1）结）结 ACAC，AB=BC=15AB=BC=15 千米，千米，B=90B=90，BAC=BAC=ACB=45ACB=
34、45，AC=15AC=152千米千米.又又D=90D=90，AD=AD=AC2CD2(15 2)2(3 2)2=12=123（千米）（千米）周长周长=AB+BC+CD+DA=30+3=AB+BC+CD+DA=30+32+12+123=30+=30+5555（千米）（千米）.面积面积=S=SABCABC+S+SADCADC=11225151515+15+121233 32=+18+186157157（平方千米）（平方千米）.222（2 2）coscosACD=ACD=CD3 21.AC15 251010、（、（20122012 甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（甘肃兰州）
35、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1 1），虚线为），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（越高；如图（2 2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角1减至减至2，这样楼梯，这样楼梯占用地板的长度由占用地板的长度由 d d1 1增加到增加到 d d2 2，已知，已知 d d1 1=4=4 米，米，1 40，236，楼梯占用地板的，楼梯占用地板的长度增加了多少米（计算结果精确到米。参考数据：长度增
36、加了多少米（计算结果精确到米。参考数据：tan40tan40=，tan36tan36=）第 22 题图d2解析：解析：根据在根据在 RtRtACBACB 中，中，AB=dAB=d1 1tantan1 1=4tan40=4tan40，在在 RtRtADBADB 中，中，AB=dAB=d2 2tantan2 2=d=d2 2tan36tan36，即可得出即可得出 d d2 2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度解：由题意可知可得，解：由题意可知可得，ACB=ACB=1 1，ADB=ADB=2 2在在 RtRtACBACB 中，中，AB=dAB=d1 1tanta
37、n1 1=4tan40=4tan40，在在 RtRtADBADB 中，中，AB=dAB=d2 2tantan2 2=d=d2 2tan36tan36，得得 4tan404tan40=d=d2 2tan36tan36，d d2 2=，答：楼梯占用地板的长度增加了米，答：楼梯占用地板的长度增加了米1111、（20122012 贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道隧道 ABAB，如图，在山外一点，如图，在山外一点 C C 测得测得 BCBC 距离为距离为 200m200m，CAB=54，CBA
38、=30，求隧道，CAB=54，CBA=30，求隧道 ABAB的长的长（参考数据：sin54，cos54，tan54，（参考数据：sin54，cos54，tan54，精确到个位），精确到个位）4tan40，d d2 2-d-d1 1=tan36解析：解析：首先过点首先过点 C C 作作 CDABCDAB 于于 D D，然后在，然后在 RtBCDRtBCD 中，利用三角函数的知识，求得中，利用三角函数的知识，求得BDBD，CDCD 的长，继而在的长，继而在 RtRt中，利用CAB中，利用CAB 的正切求得的正切求得 ADAD 的长，继而求得答案的长，继而求得答案答案：答案：解：过点解：过点 C C
39、 作作 CDABCDAB 于于 DBC=200m，CBA=30，DBC=200m，CBA=30，在在 RtBCDRtBCD 中，中，CD=CD=BC=100mBC=100m，BD=BCcos30=200，BD=BCcos30=200CAB=54，在CAB=54，在 RtACDRtACD 中，中，AD=AD=AB=AD+BD=173+74=247（AB=AD+BD=173+74=247（m m）答：隧道答：隧道 ABAB 的长为的长为 247m247m1212、（20112011 新疆建设兵团）如图，在新疆建设兵团）如图，在ABCABC中，中，A A90（90（1 1）用尺规作图的方法，作）用尺
40、规作图的方法，作出出ABCABC绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转 45后的图形45后的图形ABAB1 1C C1 1（保留作图痕迹）；（保留作图痕迹）；（2 2）若）若ABAB3 3，BCBC5 5，求，求 tantanABAB1 1C C1 1=100=100173（173（m m），74（74（m m），解答：解答：解：（解：（1 1）作）作CABCAB的平分线，在平分线上截取的平分线，在平分线上截取ABAB1 1ABAB，作，作C C1 1A AABAB1 1，在，在ACAC1 1上截上截取取ACAC1 1ACAC，如图所示即是所求如图所示即是所求（2 2）ABAB3 3，BCBC5
41、5，ACAC4 4，ABAB1 13 3，ACAC1 14 4，tantanABAB1 1C C1 1ACAC1 14 4 ABAB1 13 3专题专题 2 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值2 2例例 1 1（20122012，湖北孝感）计算：，湖北孝感）计算：coscos 45+tan30sin60=_45+tan30sin60=_【答案】【答案】1 1-3 8+1-2例例 2 2（20122012 陕西）计算：陕西）计算：2cos 45【解析】原式【解析】原式=20=2-32 2+1=-5 2+1【答案】【答案】-5 2+12例例 3(20123(2012 广安广安)计算：计算：18
42、2()cos45cos45o o+31；23解析：解析：1823 2221()cos4531=2 12323230 0例例 4 4计算计算|3|3|2cos 452cos 45(31)1)解：原式解：原式3 32 221 122 22120072007例例 5 5计算计算9(1)1)cos 60cos 602解：原式解：原式113 3(1)1)3 31 12 2220 0例例 6 6计算计算|2|(cos 60(cos 60tan 30tan 30)8解：原式解：原式21 1 十十2 223 321 11 1 0 0例例 7 7计算计算(|1|1tan 60tan 60|.23 23解：原式解
43、：原式8 81 131 132 210.10.例例 8 8（20122012 呼和浩特）计算：呼和浩特）计算：1|12|21sin45【解析】三角函数、绝对值、乘方【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】【答案】11(2 1)22211|12|212 2 12sin45322 22 2例例 9 9（20112011 天水）计算：天水）计算：sisin n30+30+tantan4444tantan46+si46+sin n60=60=分析：分析：根据特殊角的三角函数值计算根据特殊角的三角函数值计算tanAtanA tantan（90（90A A）=1=1解答：解答：解：原式解：原式=13+1+1
44、+=2=2故答案为故答案为 2 24432a26a 9)例例 1010（2011莱芜）（2011莱芜）若若 a=3a=3tan60，tan60，则则(1=。3a 1a 1解解答答：解解：a=3a=3tan60=3tan60=33，原原式式=3a 1 2a-11113=故答案为：故答案为：23a 1（a-3）a 333 333练习练习 1 1、（、（20112011 浙江）计算：浙江）计算：|1|1|18（5 5）0 0+4cos45.+4cos45.2【解】原式【解】原式=1=1212221+41+4=2220 0练习练习 2 2、（、（20112011 浙江衢州）（浙江衢州）（1 1）计算：
45、）计算：|2|2|（3 3）+2+2c cos45；os45；解答：解答：解：解：（1 1）原式）原式=2122，=12；20 0练习练习 3 3、计算：、计算：20112011 82sin452sin45；原式原式1 12 2221 12；练习练习 3 3、观察下列各式：、观察下列各式：sin 59sin 59sin 28sin 28；0 0coscos1(1(是锐角是锐角)；tan 30tan 30tan 60tan 60tan 90tan 90；tan 44tan 441 1其中成立的有其中成立的有 ()()A A1 1 个个 B B2 2 个个 C C3 3 个个 D D4 4 个个练
46、习练习 3 3、CC提示：提示：sinsin 5959sinsin 2828成立，成立，0 0coscos1(1(是锐角是锐角)成立，成立，tantan3030tantan606033tan 90tan 90，tan 44tan 44tan 45tan 45，即，即 tan 44tan 441 1 3练习练习 4 4、计算、计算 2sin 302sin 30tan 60tan 60tan 45tan 451练习练习 5 5、如图、如图 2828146146 所示，在所示，在ABCABC中，中，A A3030，tantanB B，BCBC10，3则则ABAB的长为的长为2x24xx2 2x4x练
47、习练习 6 6、当、当x xsin 60sin 60时，代数式时，代数式2的值是的值是x 2x 4x 42 x练习练习 7 7、已知、已知 cos 59cos 592424，则，则 sin 30sin 3036362 22 2练习练习 8 8、若、若A A，B B互余，且互余，且 tantanA AtantanB B2 2，则，则 tantanA AtantanB B练习练习 9 9、如图如图 2828147147 所示，所示，在菱形在菱形ABCDABCD中，中，AEAEBCBC于于E E，ECEC1 1，coscosB B5，则这个菱形的面积是，则这个菱形的面积是 .131010已知正方形已
48、知正方形ABCDABCD的边长为的边长为 1 1，若将线段，若将线段BDBD绕着点绕着点B B旋转后，点旋转后，点D D落在落在DCDC延长线上的点延长线上的点D D处，则处，则BADBAD的正弦值为的正弦值为 .1111如图如图 2828148148 所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCDABCD的形状，并使的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于于1212在在ABCABC中，中，B B3030，tantanC C2 2，ABAB2 2，则，则B
49、CBC1313设设为锐角，且为锐角，且x x3 3x x2sin2sin0 0 的两根之差为的两根之差为5则则1414如图如图 2828149149 所示，在所示，在ABCABC中，中，C C9090，点，点D D在在BCBC边上，边上，BDBD4 4，ADADBCBC，3 cos cosADCADC(1)(1)求求DCDC的长；的长；(2)(2)求求 sinsinB B的值的值5练习练习 4 4、2 23 提示：提示：2sin 302sin 30tan 60tan 60tan 45tan 452 22 2131 12 23.21CD1练习练习 5 5、3 33 提示：提示：过点过点C C作作
50、CDCDABAB，垂足为垂足为D D，在在 RtRtBDCBDC中，中，tantanB B，3BD3BDBD3 3CDCD，BCBC10，CDCD(3(3CDCD)(10)，CDCD1 1，BDBD3 3在在RtRtADCADC中，中，tantanA A2 22 22 2CD，ADAD3，ABABADADBDBD3 33.AD2x24xx2 2x4x练习练习 6 6、3 提示：提示：22 2x x，原式，原式 2sin 602sin 603 x 2x 4x 42 x练习练习 7 7、提示：提示：sin 30sin 303636cos 59cos 592424 2 22 22 2练习练习 8 8