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1、解直角三角形的应用解直角三角形的应用一选择题（共一选择题（共 5 5 小题）小题）1如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（）AB50米C米D50 米100 米2如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB的坡度 i=1：，则坝底 AD 的长度为（）A26 米B28 米C30 米D46 米3如图 1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图 2 是侧面示意图已知自动扶梯 AB 的坡度为 1：，AB 的长度是 13 米，MN 是二楼楼顶，MNP
2、Q，C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角为 42，则二楼的层高 BC 约为（精确到米，sin42，tan42）（）A米B米C米D米4如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的A处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方向上，则 B、C 之间的距离为（）A20 海里B10海里C20海里D30 海里二填空题（共二填空题（共 5 5 小题）小题）5如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A 处测得广告牌 B 点、C 点的
3、仰角分别为 52、35，则广告牌的高度 BC 为_米（精确到米）（sin35，cos35，tan35；sin52，cos52，tan52）6长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了_m7为解决停车难的问题，在如图一段长 56米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位（）8如图，河流两岸 a、b 互相平行，点 A、B 是河岸 a 上的两座建筑物，点 C、D是河岸 b 上的两点，A、B 的距离约为 200 米某人在河岸 b 上的点 P 处测得APC=75，B
4、PD=30，则河流的宽度约为_米三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题）9图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成 30的夹角，示意图如图 2在图 2 中，每个菱形的边长为 10cm，锐角为 60（1）连接 CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求 A，B 两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：，）10如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度她先在山脚下点 E 处测得山顶A的仰角是 30，然后，她沿着坡度是 i=1：1（即 tanCED=1）的斜坡步行 15 分钟抵达 C 处，此
5、时，测得 A点的俯角是 15已知小丽的步行速度是 18 米/分，图中点 A、B、E、D、C 在同一平面内，且点 D、E、B 在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度（参考数据：，结果精确到米）11如图 1 所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2，晾衣架伸缩时，点 G 在射线 DP 上滑动，CED 的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于 20cm，且 AH=DE=EG=20cm（1）当CED=60时，求 C、D 两点间的距离；（2）当CED 由 60变为 120时，点 A 向左移动了多少 cm（结果精确到）（3）设 DG=xcm，当CED 的变化范围为 601
6、20（包括端点值）时，求 x 的取值范围（结果精确到）（参考数据，）12如图是某通道的侧面示意图，已知 ABCDEF，AMBCDE，AB=CD=EF，AMF=90，BAM=30，AB=6m（1）求 FM 的长；（2）连接 AF，若 sinFAM=，求 AM 的长13一艘观光游船从港口 A以北偏东60的方向出港观光，航行 80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间（温馨提示：sin53，cos53）解直角三角形的应用练习题解直角三
7、角形的应用练习题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 5 5 小题）小题）1（2012 襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD如图，已知小明距假山的水平距离 BD 为 12m，他的眼镜距地面的高度为，李明的视线经过量角器零刻度线 OA 和假山的最高点 C，此时，铅垂线 OE 经过量角器的 60刻度线，则假山的高度为（）A（4+）mB（12+）mC（4+）mD4m考点：分析：解解直角三角形的应用根据已知得出 AK=BD=12m，再利用 tan30=，进而得出 CD 的长解：BD=12 米，李明
8、的眼睛高 AB=米，AOE=60，答：DB=AK，AB=KD=米，CAK=30，tan30=解得 CK=4=，（米），+=（4+）米即 CD=CK+DK=4故选：A点本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出 tan30=解答是解答评：此题的关键2（2014 随州）如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（）A100 米B50米C米D50 米考点：专题：分解直角三角形的应用几何图形问题过 B 作 BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根据等角对析：等边可得 B
9、C=AC，然后再计算出CBM 的度数，进而得到 CM 长，最后利用勾股定理可得答案解解：过 B 作 BMAD，答：BAD=30，BCD=60，ABC=30，AC=CB=100 米，BMAD，BMC=90，CBM=30，CM=BC=50 米，BM=CM=50米，故选：B点此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明 AC=BC，掌握直角三角形的评：性质：30角所对直角边等于斜边的一半3（2014 衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12米，斜坡 AB 的坡度 i=1：，则坝底 AD 的长度为（）A26 米B28 米C30 米D46 米考点：专题：分析：解解直角
10、三角形的应用-坡度坡角问题几何图形问题先根据坡比求得 AE 的长，已知 CB=10m，即可求得 AD解：坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：，答：AE=18 米，BC=10 米，AD=2AE+BC=218+10=46 米，故选：D点此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握评：情况，将相关的知识点相结合更利于解题4（2014 西宁）如图 1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图 2 是侧面示意图已知自动扶梯 AB 的坡度为 1：，AB 的长度是 13 米，MN 是二楼楼顶，MNPQ，C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端
11、A 处测得 C 点的仰角为 42，则二楼的层高 BC 约为（精确到米，sin42，tan42）（）A米B米C米D米考点：专题：分解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题几何图形问题延长 CB 交 PQ 于点 D，根据坡度的定义即可求得 BD 的长，然后在直角CDA 中析：利用三角函数即可求得 CD 的长，则 BC 即可得到解解：延长 CB 交 PQ 于点 D答：MNPQ，BCMN，BCPQ自动扶梯 AB 的坡度为 1：，=设 BD=5k 米，AD=12k 米，则 AB=13k 米AB=13 米，k=1，BD=5 米，AD=12 米在 RtCDA 中，CDA=90，CA
12、D=42，CD=ADtanCAD12米，BC米故选：D点本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三评：角形5（2014 临沂）如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方向上，则 B、C 之间的距离为（）A20 海里B10海里C20海里D30 海里考点：专题：分解直角三角形的应用-方向角问题几何图形问题如图，根据题意易求ABC 是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求 BC 的析：长度解解：如图，ABE=15，
13、DAB=ABE，答：DAB=15，CAB=CAD+DAB=90又FCB=60，CBE=FCB，CBA+ABE=CBE，CBA=45在直角ABC 中，sinABC=，BC=20海里故选：C点本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解题的难点是推知ABC 是等评：腰直角三角形二填空题（共二填空题（共 5 5 小题）小题）6（2009 仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A 处测得广告牌 B点、C 点的仰角分别为 52、35，则广告牌的高度 BC 为米（精确到米）（sin35，cos35，tan35；sin52，cos52，tan52）考点：专题：分图中有两个直角三角形ABD、ACD，
14、可根据两个已知角度，利用正切函数定应用题；压轴题解直角三角形的应用-仰角俯角问题析：义，分别求出 BD 和 CD，求差即可解解：根据题意：在 RtABD 中，有 BD=ADtan52答：在 RtADC 中，有 DC=ADtan35则有 BC=BDCD=6（）=（米）点评：7（2009 安徽）长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形考点：专题：分析：解解直角三角形的应用-坡度坡角问题压轴题利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可解：由题意知：平滑前梯高为 4s
15、in45=4=答：平滑后高为 4sin60=4升高了 2（点评：）m本题重点考查了三角函数定义的应用8（2014 宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位（考点：专题：分如图，根据三角函数可求 BC，CE，由 BE=BC+CE 可求 BE，再根据三角函数可求调配问题解直角三角形的应用）析：EF，再根据停车位的个数=（56BE）EF+1，列式计算即可求解解解：如图，BC=sin45=米，米，答：CE=5sin45=5BE=BC+CE，EF=sin45=（56）+1=+
16、116+1=17（个）故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位故答案为：17点考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为米，评：数学问题加以计算9（2014 十堰）如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70方向上，轮船从 A处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观测灯塔 C 位于北偏西 25方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是24海里（结果精确到个位，参考数据：考点：专题：分作 BDAC 于点 D，在直角ABD 中，利用三角函数求得 BD 的长，然后在直角几何图形问题，）解直角三角形的应用-方向角问题
17、析：BCD 中，利用三角函数即可求得 BC 的长解解：CBA=25+50=75答：作 BDAC 于点 D则CAB=（9070）+（9050）=20+40=60，ABD=30，CBD=7530=45在直角ABD 中，BD=ABsinCAB=20sin60=20在直角BCD 中，CBD=45，则 BC=BD=10=1010=24（海里）=10故答案是：24点本题主要考查了方向角含义，正确求得CBD 以及CAB 的度数是解决本题的关评：键10（2014 抚顺）如图，河流两岸 a、b 互相平行，点 A、B 是河岸 a 上的两座建筑物，点 C、D 是河岸 b 上的两点，A、B 的距离约为 200 米某人
18、在河岸 b 上的点P 处测得APC=75，BPD=30，则河流的宽度约为100米考点：专题：分过点 P 作 PEAB 于点 E，先求出APE 及BPE、ABP 的度数，由锐角三角函几何图形问题解直角三角形的应用析：数的定义即可得出结论解解：过点 P 作 PEAB 于点 E，答：APC=75，BPD=30，APB=75，BAP=APC=75，APB=BAP，AB=PB=200m，ABP=30，PE=PB=100m故答案为：100点本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关评：键三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题）11（2014 南昌）图 1 中的中国结挂件是由
19、四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成 30的夹角，示意图如图 2在图 2 中，每个菱形的边长为 10cm，锐角为 60（1）连接 CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求 A，B 两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：考点：分（1）连接 DE根据菱形的性质和角的和差关系可得CDE=BED=90，再根据，）解直角三角形的应用析：平行线的判定可得 CD，EB 的位置关系；（2）根据菱形的性质可得 BE，DE，再根据三角函数可得 BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解解解：（1）猜想 CDEB答：证明：连接 DE中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个
20、菱形均成 30的夹角，菱形的锐角为 60CDE=6022+30=90，BED=6022+30=90，CDE=BED，CDEB（2）BE=2OE=210cos30=10同理可得，DE=10则 BD=10cm，cm，cm，cm，同理可得，AD=10AB=BD+AD=2049cm答：A，B 两点之间的距离大约为 49cm点此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函评：数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题12（2014 铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE 的长度她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是30
21、，然后，她沿着坡度是 i=1：1（即 tanCED=1）的斜坡步行 15 分钟抵达 C处，此时，测得A点的俯角是15已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C 在同一平面内，且点 D、E、B 在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度（参考数据：考点：，结果精确到米）解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分根据速度乘以时间得出 CE 的长度，通过坡度得到ECF=30，作辅助线析：EFAC，通过平角减去其他角从而得到AEF=45即可求出 AE 的长度解解：作 EFAC，答：根据题意，CE=1815=270 米，tanCED=1，CED=DCE=4
22、5，ECF=904515=30，EF=CE=135 米，CEF=60，AEB=30，AEF=180456030=45，AE=135点米本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线 EFAC，以及坡评：度和坡角的关系13（2014 抚州）如图 1 所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于 20cm，且 AH=DE=EG=20cm（1）当CED=60时，求 C、D 两点间的距离；（2）当CED 由 60变为 120时，点 A 向左移动了多少 cm（结果精确到）（3）设 DG=xcm，当
23、CED 的变化范围为 60120（包括端点值）时，求 x 的取值范围（结果精确到）（参考数据考点：，可使用科学计算器）解直角三角形的应用；菱形的性质分（1）证明CED 是等边三角形，即可求解；析：（2）分别求得当CED 是 60和 120，两种情况下 AD 的长，求差即可；（3）分别求得当CED 是 60和 120，两种情况下 DG 的长度，即可求得 x 的范围解解：（1）连接 CD（图 1）答：CE=DE，CED=60，CED 是等边三角形，CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当CED=60时，AD=3CD=60cm，当CED=120时，过点 E 作 EHCD 于 H（
24、图 2），则CEH=60，CH=HD在直角CHE 中，sinCEH=CH=20sin60=20CD=20cm，=60（cm）=10，（cm），AD=32060=（cm）即点 A 向左移动了；（3）当CED=120时，DEG=60，DE=EG，DEG 是等边三角形DG=DE=20cm，当CED=60时（图 3），则有DEG=120，过点 E 作 EIDG 于点 IDE=EG，DEI=GEI=60，DI=IG，在直角DIE 中，sinDEI=，=10cmDI=DEsinDEI=20sin60=20DG=2DI=20则 x 的范围是：20cmx点本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是 120或 60
25、时，连接菱形的较短评：的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形14（2014 宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知 ABCDEF，AMBCDE，AB=CD=EF，AMF=90，BAM=30，AB=6m（1）求 FM 的长；（2）连接 AF，若 sinFAM=，求 AM 的长考点：专题：分（1）分别过点 B、D、F 作 BNAM 于点 N，DGBC 延长线于点 G，FHDE 延长几何图形问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题析：线于点 H，根据 ABCDEF，AMBCDE，分别解 RtABN、RtDCG、RtFEH，求出 BN、DG、FH 的长度，继而可求出 FM 的长度；（2）在 RtFAM 中，
26、根据 sinFAM=，求出 AF 的长度，然后利用勾股定理求出 AM 的长度解解：（1）分别过点 B、D、F 作 BNAM 于点 N，DGBC 延长线于点 G，FHDE答：延长线于点 H，在 RtABN 中，AB=6m，BAM=30，BN=ABsinBAN=6=3m，ABCDEF，AMBCDE，同理可得：DG=FH=3m，FM=FH+DG+BN=9m；（2）在 RtFAM 中，FM=9m，sinFAM=，AF=27m，AM=即 AM 的长为 18点=18m（m）本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角评：形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用15（2014
27、邵阳）一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60的方向出港观光，航行 80海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间（温馨提示：sin53，cos53）考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：分几何图形问题过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D先解 RtACD 得出 CD=AC=40 海里，再解50，然后根据时间=路程速度即可求出海警析：RtCBD 中，得出 BC=船到大事故船 C 处所需的时间解解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D答：在 RtACD 中，ADC=90，CAD=30，AC=80 海里，CD=AC=40 海里在 RtCBD 中，CDB=90，CBD=9037=53，BC=50（海里），海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：5040=（小时）点本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直评：角三角形是解题的关键