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1、-第三节 洛伦兹变换式 教学容:1.洛伦兹变换式的推导;2.狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓;重点难点:狭义相对论时空观的主要结论。根本要求:1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导;2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念;3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导 22211cvcvxttzzyycvvtxx 或 22211cvcxvttzzyycvt vxx 据狭义相对论的两个根本假设来推导洛仑兹变换式。1.时空坐标间的变换关系 作为一条公设,我们认为时间和空间都是均匀的,因此时空坐标间的变换必须是
2、线性的。对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标(*,y,z,t)、(*,y,z,t),因 S 相对于 S以平行于*轴的速度v作匀速运动,显然有y=y,z=z。在S系中观察S系的原点,*=0;在 S系中观察该点,*=-vt,即*+vt=0。因此*=*+vt。在任意的一个空间点上,可以设:*=k*+vt,k是比例常数。同样地可得到:*=k*-vt=k*+(-v)t 根据相对性原理,惯性系S系和 S系等价,上面两个等式的形式就应该一样除正、-负号,所以k=k。2.由光速不变原理可求出常数k 设光信号在 S 系和 S系的原点重合的瞬时从重合点沿*轴前进,则在任一瞬时t或t,光信号到达点在 S 系和 S
3、系中的坐标分别是:*=ct,*=ct,则:由此得到22211cvvcck。这样,就得到21cvvtxx,21cvt vxx。由上面二式,消去*得到221cvcvxtt;假设消去*得到221cvcxvtt,综合以上结果,就得到 洛仑兹变换,或 洛仑兹反变换 可见洛仑兹变换是两条根本原理的直接结果。3.讨论 1可以证明,在洛仑兹变换下,麦克斯韦方程组是不变的,而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象,而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用围。2当|v/c|1时,洛仑兹变换就成为伽利略变换,亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形低速
4、极限。四、相对论速度变换公式 洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系,根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。设物体在 S、S系中的的速度分别为zyxuuu,,zyxuuu,,根据洛仑兹变换式可得:因因此此:222111cvcvudtcvdtvut dxdxx,即:21cvuvuuxxx 因y=y,z=z,有dy=dy,d z=dz则2211cvcvudtdyt dydx,即-2211cvucvuuxyy。同理:2211cvucvuuxzz 因此得相对论的速度变换公式:21cvuvuuxxx、2211cvucvuuxyy、2211cvucvuuxzz 其逆变换为:21cuvv
5、uuxxx、2211cuvcvuuxyy、2211cuvcvuuxzz。讨论 1当速度u、v远小于光速c时,即在非相对论极限下,相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式vuuxx。2利用速度变换公式,可证明光速在任何惯性系中都是c。证明:设 S系中观察者测得沿*方向传播的一光信号的光速为c,在 S 系中的观察者测得该光信号的速度为:ccvcvcux21,即光信号在 S 系和 S系中都一样。第四节 狭义相对论的时空观 一、一、同时的相对性 1.概念 狭义相对论的时空观认为:同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件,在另一个惯性系中不一定是同时的。例如:在地球上不同地方同时出生
6、的两个婴儿,在一个相对地球高速飞行的飞船上来看,他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车,速度向右,在车厢正中放置一灯P。当灯发出闪光时:S系的观察者认为,闪光相对他以一样速率传播,因此同时到达 A、B 两端;S系地面上的观察者认为,A与光相向运动v、c反向,B与光同向运动,所以光先到达 A 再到达B,不同时到达。结论:同时性与参考系有关这就是同时的相对性。假设两个事件 P1和 P2,在 S 系和S系中测得其时空坐标为:由洛伦兹变换得:-在 S 系和S系中测得的时间间隔为12tt和t2-t1,它们之间的关系为:可见,两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔,一般来说是不相等的。2
7、.讨论 1在S系中同时发生:t2=t1,但在不同地点发生,12xx,则有:这就是同时的相对性。2在 S 系中同时发生:t2=t1,而且在一样地点发生,12xx,则有:即在S系中同时同地点发生的两个事件,在S系中也同时同地点发生。3事件的因果关系不会颠倒,如人出生的先后 假设在S系中,t时刻在*处的质点经过t时间后到达xx处,则由:得到 因为vc,uc,所以t与t同号。即事件的因果关系,相互顺序不会颠倒。4上述情况是相对的。同理在 S系中不同地点同时发生的两个事件,在S 系看来同样也是不同时的。5当cv时,tt,回到牛顿力学。二、长度收缩洛伦兹收缩 假设一刚性棒 AB 静止于 S系中12xxl,
8、在 S 系中同时ttt21测量得12xxl。由洛伦兹坐标变换式:得:即 21cvll 1.固有长度 观察者与被测物体相对静止时,长度的测量值最大,称为该物体的固有长度或原长,用l0表示。即 2.洛伦兹收缩长度缩短 观 察 者 与 被 测 物 体 有 相 对 运 动 时,长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的21cv倍,即物体沿运动方向缩短了,这就是洛伦兹收缩长度缩短。讨论:1长度缩短效应具有相对性。假设在S系中有一静止物体,则在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短,同理有 即看人家运动着的尺子变短了。2当vc时,有ll-三、时间膨胀时间延缓 由洛伦兹变换得22121212
9、1cvcxxvtttt,事件P1、P2在S系中的时间间隔为12ttt,事件P1、P2在S系中的时间间隔为12ttt。如果在 S系中两事件同地点发生,即12xx,则有:1.固有时间原时的概念 在*一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔,叫固有时间原时。用0表示,且:201cvt。2.时间膨胀 在 S 系看来:0t,称为时间膨胀。3.讨论 1时间膨胀效应具有相对性。假设在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为t称为原时,则同理有 就好象时钟变慢了,即看人家运动着的钟变慢了。2当vc时,有tt 3实验已证实 子,介子等根本粒子的衰变,当它们相对实验室静止和高速运动时,其寿命完全不同。例
10、1:在惯性系 S 中,有两个事件同时发生,在xx 轴上相距m.31001 处,从另一惯性系 S中观察到这两个事件相距m3100.2。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少.解:由 题 意 知,在S系 中,12tt,即012ttt,mxx312100.1。而在 S系看来,时间间隔为12ttt,空间间隔为mxx312100.2。由洛伦兹坐标变换式得:由1式得代入2式得-sct63331077.510310310223 例 2:半人马星座星是离太阳系最近的恒星,它距地球为16103.4m。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座星之间。假设宇宙飞船的速度为 0.999 c,按地球上的时钟计算,飞船往返一次需多少时间.如以飞船上的时钟计算,往返一次的时间又为多少.解:以地球上的时钟计算:a91087.28a为annual之首字母;假设以飞船上的时钟计算:原时,因为所以得282999.011087.21cvtt