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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三节 洛伦兹变换式 教案 内容：1. 洛伦兹变换 式的推导；2. 狭义相对论 的时空观：同时 性的相对性、长度的收缩和时间 的延缓；重点 难点：狭义相对论时 空观的主要结论 ；基本 要求：1. 明白洛伦兹 坐标变换和速度 变换的推导；2. 明白狭义相 对论中同时性的 相对性以及长度收缩和时间延缓 概念；3. 懂得牛顿力 学中的时空观和 狭义相对论中的时空观以及两者 的差异；三、洛伦兹坐标变换的推导x1xvt2或xxtv2vc1vcyyvxc22yyv xc2zzzztttt21vc1vc据狭义相对论的两个基本假设 来推导洛仑兹变换式；1. 时
2、空坐 标间的变换关系 作为 一条 公 设, 我们 认 为 时间 和空 间都是 匀称的, 因 此 时空 坐标 间的变 换必需是 线 性 的；对于任意大事 P 在 S 系 和 S系 中 的 时 空 坐 标 x, y , z,t、x,y,z,t,因 S 相 对 于 S 以平行于 x 轴的速度 v 作 匀速 运动,明显有 y=y, z= z；在 S 系 中 观看 S 系的 原 点 , x=0 ； 在 S系 中 观 察 该 点, x=-vt,即 x+ vt= 0；因此 x= x + vt；在任意的一个 空间点上,可以 设：x=k（x + vt）,k 是比例常数 ；同样地可得到 ：x= k（x-vt） =
3、 k（x+-vt）依据相对性原 理,惯性系 S 系和 S系 等价,上面两个 等式的形式就 应当相同（除正 、负号 ）,所以 k= k；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.由光速不变原理可求出常数 k 设 光信号在 S 系和 S系 的原点重合的瞬 时从重合点沿 x 轴前进, 那么在任一瞬时 t（ 或 t）,光信号 到达点在 S系和 S系中的坐标分 别是：x= ct, x= ct,就：x xc2ttk2xvtxtvk2ctvttctvk2ttc2v2由此 此 得 得 到kccv2112vc2；这样 ,就得到xxvt2,
4、xxtv1vct1vc2；由上面 二式,消去 x得到ttvxc22；如消去 x 得到tv xc21vc1vc2,综合以上 结果,就得 到洛仑兹变 换,或洛仑兹反 变换xxvtx1xvt2vc1vc2yyyyzzzzttvxc22ttv xc21vc1vc2可见 洛仑兹变换是 两条基本原理的 直接结果；3. 争论（1）可以证明,在洛 仑兹变换下,麦 克斯韦方程组是 不变的,而牛 顿力学定律就要 改 变； 故麦克斯韦方 程组能够用来 描 述高速运动 的电磁现象, 而牛顿力学不 适用描述高速 现象, 故它有肯定的 适用范畴；（2）当 |v/c|1 时,洛仑 兹变换就成为伽 利略变换,亦 即后者是前者
5、 在低速下的极 限 情形 ；故牛顿力学 仅是相对论力学 的特别情形低速极限；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、相对论速度变换公式 洛仑兹变换是 大事的时空坐 标在不同惯性 系之间的关系 ,依据洛仑兹 变换可以得到 狭 义相 对论的速度变 换公式；设物体在 S、 S系中的的速度 分别为ux,uy,uz,ux,uy,uz,依据洛仑 兹变换 式可得：因xd xdxvdtdxdtvdtuxvdt,c2即：1vc21vc21vc2dtdtvdxc2dt1vuxc2vu1vc21vc2d xuxvdtdt1vuxc2此：d
6、t1vc21vc2uxvu1vuxc2xz=z , 有dy= dy,dz=dz就dydydt1因yy=y,dt1vc2, 即y1xvc2；同 理：uzuz1vc2uu1vuc21vuxc2因此 得相对论的速 度变换公式：ux1uxxv2、uyuy1xvc2、uzuz1xvc2c1vuc21vuc2vu其逆 变换为：ux1uxv、uyuy21vc2、v uxc21v uxc2uzuz1vc；xc21v u争论（1）当 速度 u、v 远小于 光速 c 时, 即在非相对论极 限下,相对论 的速度变换公式 即名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - -
7、 - - - - 转化 为伽利略速度 变换式uxuxv；（2）利 用速度变换公 式,可证明光速 在任何惯性系中都是 c ；证明：设 S系 中观看者测得沿 x 方向传播的一光信号 的光速为 c,在 S 系中的观看 者测得 该光 信号 的速度 为：ux1cvcv2c,即 光信 号在S 系和 S系中 都 相c同；一、一、第四节狭义相对论的时空观同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的；即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个大事,在另一个惯性系中不肯定是同时的；例如：在地球上不同地方同时诞生的两个婴儿,在一个相对地球高速飞行的飞船上来看,他们不肯定是同时诞生的；如图设 S 系为一列长
8、高速列车,速度向右,在车厢正中放置一灯 灯发出闪光时：S 系的观看者认为,闪光相对他以相同速率传播,因此同时到达P ；当A、B 两端；S 系 （地面上）的 观看者认为,A 与 光相向运动（v、c 反向）, B 与光同向运动 ,所以 光先到达 A 再到达 B,不同时 到达；结论：同时性 与参考系有关 这就是同时的相对性；假设两个大事 P1 和 P2,在 S 系和 S 系中测得其 时空坐标为：S：x 1,y 1,z 1,t 1,x 2,y 2,z 2,t 2名师归纳总结 S：x 1,y 1,z 1,t 1,x 2,y2,z 2,t2第 4 页,共 8 页由洛伦兹变换 得：- - - - - - -
9、精选学习资料 - - - - - - - - - t 1t1vx 1c2,t2t21vx 2c2c2c21vv在 S 系和 S 系 中测得的时间间 隔为t21t 1和（t2-t1）,它们之间的关系为：t 1vx 2x 1c2t2t 1t2vc2可见 ,两个彼此间 作匀速运动的惯 性系中测得的时间间隔,一般来 说是不相等的；2. 争论（1）在 S系中 同时发生：t2= t1, 但在不同地点 发生,x 2x 1,就有：t2t 1vx 1x 2cc21v2这就 是同时的相对 性；（2）在 S 系中同 时发 生：t2=t1, 而且在相同 地点发生,x 2x 1, 就有：t 1x 2t2t 1t2t 1
10、1x 2x 1vc20,t2t12vcx 1x2x 1vt2t10,x2x 11vc2即在 S系中同时同地 点发生的两个事 件,在 S 系中 也同时同地点发 生；（3）大事的 因果关系不会颠倒,如人诞生 的先后假设在 S系中, t 时刻在 x 处的质点经过t 时间后到 达xx处,就由：tt1xvc2vc2得到ttxvc2t1uvc2ux1vc21vc2t由于 vc,uc,所以 t与 t 同 号；即大事的因 果关系,相互次序不会颠倒；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）上述情形 是相对的；同理 在 S 系中不 同地
11、点同时发生 的两个大事,在 S 系看 来同样也是不 同时的；（5）当vc时 ,tt,回 到牛顿力学；二、长度收缩（洛伦兹收缩）得假 设一刚性棒 AB 静止于 S 系中lx 2x 1,在 S 系中同 时t 1t2t测 量x 2x 2vt 22lx 2x 1；由 洛伦兹坐标变换 式：x 1x 1vt 12,1vc1vc得：即x 2lx 1x 2cx 1vt2t 1x 2vx 12v1vc21cl121. 固有长度 观看者与被测物体相对静止时,长度的测量值最大,称为该物体的固有长度（或原长）,用l0 表示；即l01vc2l2. 洛伦兹收缩（长度缩短）观 察 者 与 被 测 物 体 有 相 对 运 动
12、 时 , 长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的1vc2倍,即物体沿运动方向缩短了,这就是洛伦兹收缩（长度缩短）；争论：（1）长 度缩短效应具 有相对性；如在 S 系中有一静止 物体,那么在 S 系中观看者 将 同时 测量得该物体 的长度沿运动方 向缩短,同理有ll1vc2即看 人家运动着的 尺子变短了；名师归纳总结 （2）当 v c 时,有ll第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、时间膨胀（时间延缓）2t 2 t 1 t 2 t 1 v x 22 x 1 c由洛伦兹变换得 1 v c,大事 P1、P2在 S 系中的 时间
13、间隔为 t t 2 t 1,大事 P1、P2 在 S 系中的时间间隔 为 t t 2 t 1；假如 在 S 系中两事 件同地点 发生,即 x 2 x 1,就有：t t 2 t 1 t 2 t 12 t21 v c 1 v c1. 固有时间（原时）的概念在某一惯性系 中同一地点先 后发生的两事 件之间的时间 间隔,叫固有 时间（原时） ；用0 表示,且 ：t10c2；v2. 时间膨胀在 S 系看来：t0,称 为时间膨胀；3. 争论（1）时 间膨胀效应具 有相对性；如 在 S 系中同一地点 先后发生两事 件的时间间隔 为 t （称为原时）, 就同理有t1tc2就好象时钟变慢了,即 看人家运动着的
14、钟变慢了；v（2）当 v c 时,有tt（3）实 验已证明 子 , 介子等基本粒 子的衰变,当它 们相对试验室静 止和高速运动 时,其寿命完全 不同；名师归纳总结 例 1: 在 惯 性 系 S 中 , 有 两 个 事 件 同 时 发 生 , 在 x轴 上 相 距第 7 页,共 8 页1 . 0103m处 , 从 另 一 惯 性 系S中 观 察 到 这 两 个 事 件 相 距2. 0103m；问由 S系测得此两大事的时间间隔为多少？解 ： 由 题 意 知 , 在S系 中 ,t2t 1, 即tt2t10,x2x 1.1010 3m；而在 S 系看来,时间间隔为tt2t 1,空间 间- - - -
15、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隔为x 2x 12 .010 3m；由洛伦兹坐标变 换式得：x 2 x 1 x 2 x 1 v t 22 t 1 x 2 x 12 11 v c 1 v ct 2 t 1 v2 x 2 x 1t t 2 t 1 c21 v cc v21 x 1v c x 22 c v2 x 1 x 2 22 1 2 1 2v 1 x 2 x 12 c 1 1 3c由（ 1）式得 x 2 x 1 4 233 3 3 10 6t 2 10 3 5 . 77 10 s代入 （2）式 得 2 c 3 1016例 2: 半人马星座 星是离太阳系最近的恒星,它距地球为 4 . 3 10 m；设有一宇宙飞船自地球来回于人马星座 星之间；如宇宙飞船的速度为 0.999 c ,按地球上的时钟运算,飞船来回一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算,来回一次的时间又为多少？名师归纳总结 解： 以地球上的时 钟运算：ts243.316 1011vc2第 8 页,共 8 页v0.9998 102.871089a（a 为 annual 之首字母） ；如以 飞船上的时钟 运算：（原时） ,由于tt所以 得tt1vc22 . 878 1020 . 9991. 28107s0 . 4a- - - - - - -