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1、1/6 课 题 圆的知识结合中考题型讲解 教学目标 1理解直线和圆相交，相切，相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的判定和性质。2 掌握切线的判定和性质，并能应用它们证明有关问题。3.会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。重点、难点 切线定理是重点也是难点 直线和圆的位置关系是重点 考点及考试要求 1 在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。2 由直线和圆的三种位置关系可以直观的得到圆心到
2、直线的距离d与圆半径r的数量关系：教学内容 知识框架 一、基本内容及应注意的问题：1 在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。2 由直线和圆的三种位置关系可以直观的得到圆心到直线的距离d与圆半径r的数量关系：(1)直线l和相交dr，(2)直线l和相切dr，(3)直线l和相离dr；这三个结论，既可以作为直线和圆的各种位置关系的判定，又可作为性质。3 直线和圆的位置关系既可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来区分，两种方式
3、是一致的。1 对于切线的判定定理，必须分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则便不是圆的切线。2 切线的性质有一个定理和两个推论，其中定理用途较广泛，必须熟练掌握。实际上，(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心。这三个条件中，知道任意两个，就可以得出第三个。3 在运用切线的判定和性质定理时，常常需要添加辅助线，一般规律为：(1)已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应交待直线和圆相切于哪一点，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，从而得出“切线垂直于半径”的结论。(2)要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某
4、一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。7 判定一条直线是圆的切线有三种方法：(1)和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心距离等于该圆半径的直线是圆的切线；(3)过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2/6 其中(1)是切线的定义；(2)和(3)本质相同，表达形式不同。解题时，可根据题目的特点选择适当的判定方法。8 切线的性质主要有如下五个：(1)切线和圆有且只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于该圆的半径；(3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过
5、切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。其中，(1)是切线的定义；(2)是判定方法的逆命题；(3)、(4)、(5)即为课本上的性质定理及其推论。9 任意三角形都有且只有一个内切圆（因为圆心是唯一确定的，半径只有一个定长），而任意多边形不一定有内切圆。1 三角形的内心是用“三角形的内切圆的圆心”来定义的，由于三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。考点一：典型例题 例题：例1 已知：如图（1）AB 是O 的直径，CBAB，AC 交O 于 E，D 是的 BC 的中点，求证：直线 DE 是O 的切线。证明：连结 OE、
6、BE，AB 是O 的直径，AEB=90O，BEAC，则BEC=90O，又D 是 BC 的中点，DE=BD=12BC，DBE=DEB OE=OB OBE=OEB 因此：DBE+OBE=DEB+OEB 即：OED=OBD BCAB 即：OBD=90O OED=90O 则 DE 是O 的切线。评析：(1)此例是由直径、圆周角、直角三角形斜边上的中线、切线的判定等知识构成的命题。(2)证一条直线是圆的切线,常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点时，作过这点的半径转证直线垂直于这条半径；直线和圆的公共点的位置未知时，过圆心作到直线的距离，转证此距离等于圆的半径。此例显然用的是第一种方法。（3）此题的分
7、析思路：要证 DE 是圆的切线，而 E 在圆上，据圆的切线的定义则 E 是切点，所以应连结 OE，转证 DEOE。例2 已知：如图（2）所示，在直角梯形 ABCD 中，ADCD 于 D，BCCD 于 D，且 AD+CB=AB，以斜腰 AB 为直径作O，求证：CD 是O 的切线。3/6 图（2）分析：要证 CD 是O 的切线，切点在什么位置呢？无法判定，因此应该用证明切线的第二种方法，作圆心到直线的距离 OE，转而证 OE 等于圆的半径。证明：过 O 作 OECD 于 E，ADCD，BCCD AD|OE|BC O 是 AB 中点，则 E 是 CD 中点。OE 是梯形 ABCD 的中位线，OE=1
8、2(AD+BC)又AD+BCAB OE=12AB。则 DC 是O 的切线。例3 如图（3）所示，在直角梯形 ABCD 中，A=B=90O，E 为 AB 上的一点，ED平分ADC，EC 平分BCD。求证：以 AB 为直径的圆与 DC 相切。图（3）分析：要证以 AB 为直径的圆与 DC 相切，只需证 AB 的中点到 DC 的距离等于12AB。证明：过点 E 作 EFCD 于 F。ED 平分ADC DAEA 于 A EA=EF E 为 AB 中点 EFDF 于 F 同理可证：EF=EB EF=12AB 以 AB 为直径的圆与 CD 相切。例4 如图（3）所示，已知ABC 中，以 AB 为直径作O
9、交 BC 于 D，过 D 作O的切线 FE，交 AC 于 E，且 AEDE。求证：AB=AC 图（4）证明：连结 OD DE 切O 于 D，则 ODDE AEDE，ODAC 则C=ODB 4/6 OB=OD B=ODC B=C 则 AB=AC 例5 已知：如图（5）所示，ABC 是O 的内接三角形，BAC 的平分线交于D，过 D 的切线分别交 AB、AC 的延长线于 E、F，求证：BC|EF 证明：连结 OD EF 切O 于 D，EFOD AD 平分BAC BAD=CAD 则 由垂径定理，知：ODBC BCEF 注：此证法运用切线的性质比较灵活巧妙，只要在已知切线时用垂直方法的意识强，则不难想
10、到。例6 如图（6）所示，ABC 三边长为a，b，c，面积为 S，内切圆O 的半径为r，O 与ABC 的三边相切于 D、E、F。求证：rSabc2 分析：要证rSabc2，只需证：Sarbrcr121212。证明：连结 OA、OB、OC O 切ABC 的三边于 D、E、F ODAB，OEBC，OFAC SAOB=12ODAB=12cr 同理可得：SBOC=12ar SAOC=12br S=SAOB+SBOC+SAOC=12()abcr rSabc2 注：若C=90O，则有：rababc。5/6 针对性练习 1 填空题：(1)已知圆的直径为 13cm，直线与圆心的距离为d，当dcm 8时，直线与
11、圆 ；当dcm 65.时，直线与圆 。(2)RtABC 中，C=90O，AC=3cm,BC=4cm，则以 C 为圆心，r cm为半径的圆与 AB 相切；以 C 为圆心，r cm为半径的圆与 AB 相交。(3)若直线与圆的公共点个数不小于 1，则直线与圆的位置关系是 。(4)如图（7），A 为O 的半径 OC 的延长线上一点,且 CA=OC，弦 BC=OC，则 BC=OA，OBA=，BA 与O 的位置关系是 。图(7)图(8)(5)如图（8），已知 AB 是O 的直径，延长AB 到 D，使 BD=OB，DC 切O 于 C，则D=O，C=O。若O 的半径为 R，则 AC=。(6)两个同心圆的半径分
12、别为 1cm和 2cm，大圆的弦 AB 与小圆相切，则 AB=。(7)已知 I 为ABC 的内心，B=50O，则AIC=。(8)等边三角形内切圆半径与外切圆半径之比是 。(9)如图（9），O 内切于 RtABC，C=90，D、E、F 为切点，若AOC=120，则OAC=，B=，若 AB=2cm，ABC 的外接圆半径=cm，内切圆半径=cm。2 选择题(1)设O 半径为r，点 O 到直线 I 的距离为d，若O 与l至多只有一个公共点，则d与r的关系为（）(A)dr (B)dr (C)dr (D)d=r (2)等腰ABC 的腰 AB=AC=4cm，若以 A 为圆心，2cm为半径的圆与 BC 相切，则BAC 的度数为（）(A)30O (B)60O (C)90O (D)120O(3)下列直线中能判定为圆的切线的是（）(A)与圆有公共点的直线。(B)垂直于圆的半径的直线。(C)过圆的半径的外端的直线。(D)到圆心的距离等于该圆的半径的直线。(4)AB 是O 的切线，在下列给出的条件中，能判定 ABCD 的是（）(A)AB 与O 相切于直线 CD 上的点 C。(B)CD 经过圆心 O。(C)CD 是直线。(D)AB 与O 相切于 C，过圆心 O。(5)如图（10），PA、PB 分别切O 于 A、B，P=70O，则C（）(A)70O (B)55O (C)110O (D)140O 6/6