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1、高三数学复习模拟测试题（含答案）试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合11Axx，2log1Bxx，则AB=()A11xx B11xx C01xx D01xx 2.已知2122izi，则z ()A22 B2 C2 D2 2 3已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线20 xy上，则2cossin 2()A35 B45 C0 D1 4 湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源.综合实践活动课上，小王要从青海湖西湖千岛湖纳
2、木错等 10 个湖泊中随机选取 3 个进行介绍，则青海湖与纳木错至少有一个被选中的概率为()A34 B815 C514 D14 5已知方程22111xykk表示双曲线，则实数 k 的取值范围是()A（1，1）B（0，+）C0，+）D（，1）（1，+）6 通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准 GB17740-1999地震震级的规定规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值max/TA进行测定，计算公式如下lg/T1.66lg3.5maxMA（其中为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0
3、.01，则震中距大约为()A58 B78 C98 D118 7已知A，B，C，D在球O的表面上，ABC为等边三角形且其面积为3 34，AD 平面ABC，2AD，则球O的表面积为()A B2 C4 D8 8关于函数 2cossin2f xxx，在下列论断中，不正确的是（）A f x是奇函数 B f x在,12 3上单调递减 C f x在,2 2 内恰有2个极值点 D f x在0,上的最大值为3 38 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分 9数据显示，全国城镇非私营单位就业人员
4、平均工资在 2011 年为 40000 元，到了 2020 年，为 97379 元，比上年增长 7.6%.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（）2011-2020 年城镇非私营单位就业人员年平均工资及增速 A2011 年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长 B工资增速越快，工资的绝对值增加也越大 C与 2011 年相比，2019 年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多 D2018 年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破 90000 元 10“关于 x 的不等式220 xaxa对xR 恒成立”的一个必要不充分条件是（）A01a B01a C102a D0a 11已知
5、直线8x是函数 f(x)=sin(2x+)（0）的一条对称轴，则（）A()8f x是偶函数 B38x是 f（x）的一条对称轴 Cf(x)在,82 上单调递减 Dy=f(x)与()sin(2)4g xx的图象关于直线4x对称 12分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可循的.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C，D，使得14ACDBAB，以 CD 为边在线段 AB 的上方作一个正六边形，然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 EF 做相同的操作，
6、得到图 3 中的图形；依此类推，得到第 n 个图形.记第 n 个图形（图 1 为第 1 个图形）中的所有线段长的和为nS，现给出有关数列 nS的四个结论，其中正确的有（）A数列 nS是等比数列 B数列 nS是递增数列 C存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有4040nS D存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有4040nS 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中 16 题第一空 2 分，第二空 3 分 13已知函数 f x的图象关于直线y轴对称，当0 x 时，()2xef xxe，则曲线()yf x在点(1,1)处的切线方程是_ 14已知210012101
7、01111aaaxxxax，则8a _ 15已知函数22()log1f xxx，若对任意的正数a，b，满足()(32)0f afb，则31ab的最小值为_.16已知平面向量,a b c，满足：|2a，1b|=，1a b，21()02cabc，则|ab_，|ac的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，且11a，24a，当2n时，2nSn是1nS与131nS的等差中项.（1）求证：nan是等比数列；（2）求nS 18.（本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的
8、对边分别为 a，b，c，设向量,ma c，cos,cosnCA.（1）若/mn，3ca，求 A；（2）若3 sinm nbB，4cos5A，B为锐角，求cosC的值 19.（本小题满分 12 分）数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9 9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行每一列每一个粗线宫（3 3）内的数字均含 19，不重复。数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独 APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：x（天）1 2 3 4 5 6 7 y（秒）
9、990 990 450 320 300 240 210 现用byax作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100 天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？（2）小明和小红在数独 APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜 4 局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为34，已知在前 3 局中小明胜 2 局，小红胜 1 局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中1iitx）71iiit y t 72217iitt 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据11,u v，22,u v，,nnu v，其回
10、归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniiu vnu vunu，vu 20（本小题满分 12 分）在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD 平面SBC，SBSC，M 是BC的中点.1ABSM，2BC.（1）求证；AMSD；（2）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；（3）在线段SD上是否存在点 P，使得面AMP 面SCD，若存在，求:SP SD的值；若不存在，说明理由 21（本小题满分 12 分）已知长度为 3的线段的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P满足2BPPA，记动点 P 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C的方程；（2）设
11、曲线 C与 y轴的正半轴交于点 D，过点 D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线 C于M，N 两点，连接 MN，试判断直线 MN是否经过定点若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由.22（本小题满分 12 分）已知函数()e21xf xax（1）讨论函数()f x的单调性；（2）证明：对任意的1a，当0 x 时，()()f xxae x 答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C B A B A C D B 1解：2log102Bxxxx，01AxxB，故选：C 2 解：2122izi，22222221221iiiziii ，221
12、12z 故选：B 3解：由题意可得，tan2，故222222122cos2sincos12tan3cossin2cossin1tan512 .故选：A 4 解：从 10 个湖泊中任选 3 个的选法有310C120（种），青海湖与纳木错只有 1 个被选中的选法有1228C C56（种），青海湖与纳木错都被选中的选法有2128C C8（种）.故所求事件的概率568812015P.故选：B 5解：方程22111xykk表示双曲线110kk 11k 故选：A 6解：由题意，max4.8,(/)0.01MA T，代入lg/T1.66lg3.5maxMA可得4.8lg0.01 1.66lg3.5，1.66
13、lg4.83.523.3 3.3lg1.9881.66，1.98821010100 因此震中距是接近 100 但小于 100 的数，结合选项，震中距大约为 98，故选：C 7 由等边三角形ABC面积为3 34可得3AB，设ABC外接圆1O半径为 r，则直径22sin60ABr，r=1，如图，AD平面 ABC，则1/OOAD，易知OAD是等腰三角形，1112OOAD，球O半径2212RrOO，248SR，故选：D.8 函数 2cossin2f xxx的定义域为R 由 22cossin2cossin2fxxxxxf x，故 f x是奇函数，A 正确；由 22cossin 22coscos 22co
14、ssinsin 22coscos3fxxxxxxxxxx 则32coscos0888f，又,812 3，f x在,12 3上不是单调递减，则 B 错；设,2 2x ，令 0fx，得6x，且当,26x 时 0fx；当,6 6x 时 0fx；当,6 2x 时 0fx；f x在,2 2 内恰有2个极值点，则 C 正确；设0,x，令 0fx，得1235,626xxx，由于3 368f，02f，53 368f，0f f x在0,上的最大值为3 38，故 D 正确故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9 解：对选项 A：由图可知，201
15、1 年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长，只是每年增速有变化，故选项 A 正确；对选项 B：工资增速越快，工资的绝对值增加也越大，这是错误的，工资的绝对值的增加还与上一年的工资水平有关系，故选项 B 错误；对选项 C：根据数据 2019 年全国城镇非私营单位就业人员平均工资为973791.07690500元，故 C 正确；对选项 D：根据数据 2018 年全国城镇非私营单位就业人员平均工资为973791.0761.09882423元，全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破 90000 元应为 2019 年，故 D 错误.故选：AC.10解：关于x的不等式220 xaxa的解集
16、为R，函数2()2f xxaxa的图象始终在x轴上方，即0，2(2)40aa，解得01a，又|01aa是|01aa的真子集，|01aa是|0a a的真子集，“01a”和“0a”是“关于x的不等式220 xaxa的解集为R”的必要不充分条件故选：BD 题 号 9 10 11 12 答 案 AC BD ACD BD 11 解：直线8x是函数 f(x)=sin(2x+)（0）的一条对称轴，2,Z82kk（0），4，即()sin(2)4f xx，()sin(2)cos282f xxx，是偶函数，故 A 正确；由 2x+4=2k（kZ），解得 x=28k（kZ），f（x）的对称轴方程为 x=28k（kZ
17、），而 x=38不能满足上式，故 B 错误；当5,2,82424xx，此时函数 f（x）单调递减，故 C 正确；显然，()sin(2)4f xx与()sin(2-)4g xx的图象关于直线4x对称，故 D 正确.故选：ACD.12 解：由题意，得图 1 中线段AB的长度为a，即1Sa；图 2 中正六边形的边长为2a，则211422aSSSa；图 3 中的最小正六边形的边长为4a，则32244aaSSS；图 4 中的最小正六边形的边长为8a，则433482aaSSS.由此可得，1322nnnaSSn，nS为递增数列，但不是等比数列，即 A 错误，B 正确；1213213222nnnnaaSSSS
18、SSSSaaa 11121124151212nnaaaaa，即存在最大的正数808a，使得对任意的正整数n，都有4040nS，即 D 正确，C 错误.故选：BD 三、填空题：每小题5分，满分20分，其中16题第一空2分，第二空3分 13 y=x ；14 180 ；15 6 ；16 3；71 17,22 13 解：函数 f x的图象关于直线y轴对，故()f x为偶函数，令0 x，则0 x，从而()()2xef xfxxe，因此(1)1f ，()2xefxe，则切线斜率为(1)121f ，因此切线方程为11yx，则yx，故答案为：yx 14 解：1010121xx，其展开式的通项公式为 10101
19、01021211rrrrrrrCxCx，令8r，则88104180aC，故答案为：180.15解：210 xx 恒成立，函数()f x的定义域为R，22221()()loglog101f xfxxxxx ，()f x为奇函数，又221()log1f xxx，当0 x 时，2()logf xt在(0,)上单调递增，211txx在(0,)上单调递减，221()log1f xxx 在(0,)上单调递减，则22()log1f xxx 在(,0)上单调递减，又()f x在0 x 处连续，()f x在R上单调递减，()(32)0f afb，()(23)f afb，2 3ab ，即32ab，311 311
20、99(3)6333622babaababababab，当且仅当9baab，即1a，13b 时，等号成立，31ab的最小值为 6.故答案为：6.16 由题可知：22224 1 2 13abababa b，由cos,2 1 cos,1a baba ba b，1cos,2a b，又,0,180 a b,60a b，如图OAa，OBb，设1,0b，则1,3a，,cx y，1,3A，10B,，1,31,00,3ab，由21()02cabc 可得221302xyy，即223124xy，c对应的点,C x y的轨迹是以30,2M为圆心，12r 的圆，2213xyac 表示圆上的点到定点1,3A 的距离，22
21、371 0322AM，max172AaMrc，min712AaMrc，则71 17,22ac，故答案为：3；71 17,22.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.（本小题满分 10 分）解：（1）由已知可得，当2n时，112 231nnnSnSS，即1143212nnnSSSnn，即1133212nnnnSSSSnn，13212nnaann，（由1nnnaSS得出），1312nnanann，又当1n 时，12312aa，数列nan是首项为 2，公比为 3 的等比数列；（2）由（1）知123nnan，123nnan，0121123231232
22、23323nnnSaaaan 01212 3333123nn 211312311322nnn nnn.18.（本小题满分 12 分）解：,ma c，cos,cosnCA，/mn，coscosaAcC，由正弦定理边角互化得 sincossincosAACC，即sin2sin2AC，,0,A C，AC或2AC,3ca，2AC，2B，在RtABC中，3tan3aAc，6A.（2）解：,ma c，cos,cosnCA，3 sinm nbB coscos3 sinaCcAbB，由正弦定理得sincossincossinsinsin3sinsinACCAA CBBBB，0,sin0BB，1sin3B，4c
23、os0,0,5AA，30,sin25AA，0,2B，2 3cos3B，132 3438 3coscossinsincoscos353515CABABAB 19.（本小题满分 12 分）解：（1）由题意，1(990990450320300240210)5007y，令1tx，设y关于t的线性回归方程为ybta，则71722118457 0.37 50010000.5577iiiiit yt ybtt，则500 1000 0.37130a.1000130yt，又1tx，y关于x的回归方程为1000130yx，故100 x 时，140y.经过 100 天训练后，每天解题的平均速度y约为 140 秒.（
24、2）设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行 4 局就有胜负.当2X 时，小明4:1胜，339(2)4416P X；当3X 时，小明4:2胜，123339(3)144432P XC；当4X 时，小明4:3胜，21333327(4)1444256P XC.小明最终赢得比赛的概率为99272431632256256.20（本小题满分 12 分）（1）由于SBSC，M 是BC的中点，所以SMBC，由于平面ABCD 平面SBC且交线为BC，所以SM 平面ABCD.以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,2,0AMSD，1
25、,1,0,1,1,1,0AMSDAM SD，所以AMSD.（2）1,1,1AS ，0,2,0C，1,0,0,0,1,1CDCS，设平面SCD的法向量为,mx y z，则00m CDxm CSyz ，故可设0,1,1m.设直线SA与平面SCD所成角为，则26sin332m ASmAS.（3）设01SPttSD，1,1,0AM ，APOPOASPSOOA ,0,1,11,0,01,1,1tSDOSOAt ttttt，设平面AMP的法向量为111,nx y z，则111110111n AMxyn APtxtytz ，故可设21,1,1tnt，若面AMP 面SCD，则231110,113ttm ntt
26、t.所以存在点P使面AMP 面SCD，此时:1:3SP SD.21（本小题满分 12 分）解：（1）设,0,0,P x yA mBn，由2BPPA，,22,2x ynmxymxy，即222xmxyny.323mxny.又|3AB，229mn.从而229994xy.曲线C的方程为2214xy；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为ykxb 由22440ykxbxy，消去y得222(14)8440kxkbxb，设1122,M x yN x y则2121222844,1414kbbxxx xkk 因为DMDN，0,1D，则1b,1122,1,1DMx yDNxy,所以1212110D
27、M DNx xyy，又1122ykxbykxb，化为 2212121110kx xk bxxb 所以2222224 1181101414kbk b bbkk 1b，所以22224 118101414kbk bbkk得35b ，所以直线MN方程为35ykx，过定点30,5；综上所述：直线 MN 经过定点30,5 22（本小题满分 12 分）解：（1）解：e2xfxa.当0a 时，0fx，函数 f x在 R 上单调递增；当0a 时，由 0fx解得2lnxa，由 0fx解得2lnxa.故 f x在2,lna上单调递增，在2ln,a上单调递减.综上所述，当0a 时，f x在 R 上单调递增；当0a 时，f x在2,lna上单调递增，在2ln,a上单调递减.（2）证明：()fxxae x，变形为120,xexexaaxa 令 12xexm xexaaxa，则 211xxaexmxax 则1a 时，110 xxaexex ，则当01x时，0mx，m x单调递减；则当1x 时，0mx，m x单调递增；所以 10m xm，即120,xexexaaxa