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1、考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 1 页 共 6 页 中国民航大学 高等数学（2)期末试卷（B 班）B卷答案及评分标准 一.选择题（每题 3 分，共 15 分）1.设(,)f x y具有一阶连续偏导数，若23(,)f x xx，224(,)2xfx xxx，则2(,)yfx x A (A)3xx；(B）2422xx;(C）25xx;(D)222xx。解：选 A。23(,)f x xx 两边对 x 求导：222(,)(,)23xyfx xfx xxx，将 224(,)2xfx xxx 代入得 242222(,)3yxxxfx
2、 xx,故 23(,)yfx xxx。2已知dyyxxbydxxyaxy22233sin1cos为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为 C (A)2 和 2；（B）3 和 3；（C)2 和2;（D)3 和3；解：选 C.xyaxyyPxyxbyxQcos236cos22 2,2ab 3.设为曲面 z=2（x2+y2）在 xoy 平面上方的部分，则zdSI=D 2202220412)(rrdrrrdA；202220412rdrrrdB；202202rdrrdC；202220412rdrrrdD 。解：选 D。202220412rdrrrdI。考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数
3、学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 2 页 共 6 页 4。设有直线410:30 xyzLxy ，曲面222zxyz在点（1,1，1)处的切平面，则直线L与平面的位置关系是：C （A)L ;（B)/L；（C)L ；(D)L与斜交。解:选 C。L 的方向向量 1 1 44,4,21 1 0ijks，曲面222(,)0F x y zxyzz在点（1，1,1）处的切平面的法向量(1,1,1),2,2,1FFFnxyz。由于/ns，因此L .5。设12),(22yxyyxyxf,则下面结论正确的是 B (A)点(21,21）是(,)f x y 的驻点且为极大值点；(B)点（21，21
4、）是极小值点；(C)点（0，0）是(,)f x y 的驻点但不是极值点；(D)点（0，0）是极大值点。解:选 B.二.填空题（每题 3 分,共 15 分)1设)ln(xyz ,则 zzxyxy 。解：)ln(1xy或z1。2函数)(22yxyeu，则 du 。解：du dyyxxydxeyxy223222。3。曲线4422yxzy在点（2，4,5）处的切线方程 .考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 3 页 共 6 页 解：切线方程150412zyx。4设L是圆周x2+y2=a2(a0)负向一周，则曲线积分Ldyyxydxyx
5、x3223=_.解：曲线积分Ldyyxydxyxx322324a.5交换二次积分的次序：2210),(yydxyxfdy=。解：2210),(yydxyxfdy=222021010),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx.三.求解下列各题(每题 8 分，共 16 分）1设),sin(22yxyefzx，f具有二阶连续偏导数，求yz及yxz2。解：212cosyffyeyzx （2 分）212sinxffyexzx （2 分）22211211122cos22cossincosyfyefxyfyefyefyeyxzxxxx （2 分）22211221114cos2sin2cossincosxy
6、fyexfyfyeyyeffyexxxx 221211214sincos2cossincosxyffyyyxefyyefyexxx (2 分）2设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数,(,)zz x y 是由方程(,)0 x yFz z 所确定的隐函数，试求表达式 zzxyxy。解法一:方程(,)0 x yFz z 两端对x求导：11222120 xxxzxzyzzFFFzzzxFyF，同理可求，212 yzFzxFyF(6 分）zzxyzxy。（2 分）解法二：令(,)(,)x yu x y zFz z,则 1211 ,xyuFuFzz,1221+,zuxFyFz 考试日期:2007 年
7、 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 4 页 共 6 页（3 分）于是，112 xxzuzFzuxFyF，212 yyzuzFzuxFyF (3 分)zzxyzxy （2 分）四计算下列各题(每题 8 分，共 32 分）1计算积分yxyxdxdyyxI22。解：极坐标：令 cos ,sinxryr,则 cossin02434)cos(sindrrdI (3 分)d4434)cos(sin31 （2 分）2)2sin2sin1(312434d (3 分）2计算三重积分zdv，其中为曲面222yxz及22yxz所围成的闭区域.解：联立的两曲面方程,得交
8、线：122 yx,)1(z；投影柱面:122 yx;在xoy面的投影域为：1:22 yxDxy)0(z,用柱面坐标：,2,20,1022rzrr （2 分)zdvdzrdrdz2221020rrzdzrdrd （2 分)42102212rrrdr （2 分）12721053drrrr (2 分）3计算曲线积分Lxxdyyedxyye8cos8sin，其中 L 是由点 A（a，0）到点O（0,0）的上半圆周)0,0(22ayaxyx 解：设 8cos,8sinyexQyyexPxx，由格林公式得到考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟
9、 第 5 页 共 6 页 88coscosyeyeyPxQxx288cos8sinadxdydxdyyPxQyedxyyeDDOALxx（4 分）OADOAOALdxdyyPxQI208adxdyD （4 分）4计算dSzyx)(，其中曲面为球面2222azyx上)0(ahhz的部分。解：曲面的方程为z=22yxa，其在xoy坐标面上的投影区域D为：2222hayx，22)()(1yxzz=22yxaa，（3 分）dSzyx)(=Ddyxaayxayx2222)(=Ddyxayxa222)(+Dad (3 分）由 积 分 区 域 和 被 积 函 数 的 对 称 性 得Ddyxayxa222)(
10、=0,且Dhaaa)(d22,所以dSzyx)(=)(22haa。（2 分)五（8 分）求幂级数 11()nnnxn 的和函数，并求数项级数 211 1()2nnnn 的和.解：211111nnnnnnnxnxxnn (2 分）1111nnnnxnxxn 1011()xnnnnxxxdx （2 分)011(1)11xxdxxx 2ln(1)(11)(1)xxxx，（2 分）考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 6 页 共 6 页 取 12x ，得 211 1()2ln22nnnn。（2 分）六(8 分）求解微分方程 )21(2
11、3xeyyyx 。解：对应齐次微分方程的特征方程为：0232 rr （2 分）故特征根 2,121rr，从而齐次微分方程的通解为：xxeCeCy221 （2 分）令非齐次方程特解为：)(*BAxxeyx 代入方程解得 1 BA，于是特解为)1(*xxeyx （2 分)则原方程通解为：1(221*xxeeCeCyyyxxx 。（2 分）七（6 分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为 10 万元/件、9 万元/件，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为22400230.01(33)Cxyxxyy（万元),又已知两种产品的总产量为 100 件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各
12、为多少时企业获得最大利润。解：因为企业获得的总利润G应为总收入109Rxy与总成本C之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：22max109400230.01(33).100Gxyxyxxyystxy （3 分)这是有条件极值问题，利用 Lagrange 乘数法，令 22(,)109400230.01(33)(100)L x yxyxyxxyyxy 求L对各个变量的偏导数，并令它们都等于 0,得 1020.060.010930.060.010100 xyLxyLyxLxy （3 分)解上述方程组得到唯一驻点(70,30)，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为 70 件，产品乙产量为 30 件时企业获得最大利润.