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1、1（2008 年江西卷理科第 21 题）21（本小题满分 12 分）1证明：（1）设1122(,),(,)A x yB xy，由已知得到120y y，且22111xy，22221xy，设切线的方程为：11()yyk xx由1122()1yyk xxxy 得2221111(1)2()()10kxk ykx xykx 从而 2222211114()4(1)()4(1)0kykxkykxk,解得11xky 因此的方程为：111y yx x 同理的方程为：221y yx x 又0(,)P m y在PAPB、上，所以1011y ymx，2021y ymx 即点1122(,),(,)A x yB xy都在
2、直线01y ymx上 又1(,0)Mm也在直线01y ymx上,所以三点AMB、共线（2）垂线AN的方程为：11yyxx ，由110yyxxxy 得垂足1111(,)22xyxyN，设重心(,)G x y 所以11111111()321(0)32xyxxmxyyy 解得1139341934xymxyxmy 由22111xy 可得11(33)(33)2xyxymm即2212()39xym为重心所在曲线方程 2（2008 年山东卷理科第 22 题）解：（）证明：由题意设221212120(2)22xxA xB xxxM xppp，由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp
3、因此直线MA的方程为102()xypxxp，直线MB的方程为202()xypxxp 所以211102()2xxpxxpp，222202()2xxpxxpp 由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx 所以AMB，三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当02x 时，将其代入、并整理得：2211440 xxp，2222440 xxp，所以12xx，是方程22440 xxp的两根，因此124xx，2124x xp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp 由弦长公式得2221212241()4116 16ABkxxx xpp 又4 10AB，所
4、以1p 或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xy（）解：设33()D xy，由题意得1212()C xxyy，则CD的中点坐标为12312322xxxyyyQ，设直线AB的方程为011()xyyxxp，xOAByPMxmN由点在直线AB上，并注意到点121222xxyy，也在直线AB上，代入得033xyxp若33()D xy，在抛物线上，则2330322xpyx x，因此30 x 或302xx即(0 0)D，或20022xDxp，（1）当00 x 时，则12020 xxx，此时，点(02)Mp，适合题意（2）当00 x，对于(0 0)D，此时2212022xxCxp，2212022CDx
5、xpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾 对于20022xDxp，因为2212022xxCxp，此时直线CD平行于轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00 x 时，不存在符合题意的点 综上所述，仅存在一点(02)Mp，适合题意 3（2007 年江苏卷理科 19 题）解：（1）设过 C点的直线为ykxc，所以20 xkxc c，即20 xkxc，设A1122,x yB xy，=11,x y，22,OBxy，因为2OA OB，所以 12122x xy y，即12
6、122x xkxckxc，221212122x xk x xkc xxc 所以222ck ckc kc，即220,cc所以21cc 舍去（2）设过 Q的切线为111yykxx，/2yx，所以112kx，即2211111222yx xxyx xx，它与yc 的交点为 M11,22xccx，又21212,2222xxyyk kPc，所以 Q,2kc，因为12x xc,所以21cxx，所以 M12,222xxkcc,所以点 M和点 Q重合，也就是 QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q,2kc，因为 PQ轴，所以,2PkPy 因为1222xxk，所以 P 为 AB 的中点
7、。4（2005 年江西卷理科 22 题）解：（1）设切点 A、B坐标分别为)(,(),(0121120 xxxxxx和，切线 AP 的方程为：;02200 xyxx 切线 BP 的方程为：;02211xyxx 解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP 所以APB的重心 G的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy 所以243GGpxyy，由点 P 在直线 l上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即（2）方法 1：因为).41,(),41,2(),41,(21110102
8、00 xxFBxxxxFPxxFA 由于P 点在抛物线外，则.0|FP,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP 同理有,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP AFP=PFB.方法 2：当,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为)0,2(1x，则 P 点到直线AF的距离为：,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线 即.041)41(1121xyxxx 所以 P 点到直线 BF的距离为：2|
9、412|)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd 所以 d1=d2，即得AFP=PFB.当001xx时，直线 AF的方程：,041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即 直线 BF的方程：,041)41(),0(041411121121xyxxxxxxy即 所以 P 点到直线 AF的距离为：2|41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd，同理可得到 P 点到直线 BF的距离2|012xxd，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB 5（2006
10、 年全国卷 2 理科第 21题）解：()由已知条件，得 F(0，1)，0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由AFFB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1x21y1(y21)将式两边平方并把 y114x12，y214x22代入得 y12y2 解、式得 y1，y21，且有 x1x2x224y24，抛物线方程为 y14x2，求导得 y12x 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y12x1(xx1)y1，y12x2(xx2)y2，即 y12x1x14x12，y12x2x14x22 解出两条切线的交点 M的坐标为(x1x22，x1x24)(x1x22，1)4分 所以FM AB(x
11、1x22，2)(x2x1，y2y1)12(x22x12)2(14x2214x12)0 所以FM AB为定值，其值为 07 分()由()知在ABM中，FMAB，因而 S12|AB|FM|FM|(x1x22)2(2)214x1214x2212x1x24 y1y212(4)4 12 1 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B到抛物线准线 y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y2212(1)2 于是 S12|AB|FM|(1)3，由 12知 S4，且当 1 时，S取得最小值 4 广东模考试题 19.（本小题满分 14 分）2010届广州二模(1)解:设点、的坐标分别为11,x y、22,xy，、分
12、别是抛物线在点、处的切线，直线的斜率111x xxkyp，直线的斜率222x xxkyp.12ll,（资料来源：数学驿站）121k k ,得212x xp.2 分、是抛物线上的点,221212,.22xxyypp 直线的方程为21112xxyxxpp,直线的方程为22222xxyxxpp.由21112222,2,2xxyxxppxxyxxpp 解得12,2.2xxxpy 点的纵坐标为2p.4 分 lFOyxEDB1A1BA(2)证法 1：为抛物线的焦点，0,2pF.直线AF的斜率为21221111122202AFxppyxppkxxpx，直线BF的斜率为22222222222202BFxppy
13、xppkxxpx.2222121222AFBFxpxpkkpxpx6 分 22222112122xxpxxppx x 2121212122x xxxpxxpx x 221212122pxxpxxpx x.AFBFkk.、三点共线.8 分 证法 2：为抛物线的焦点，0,2pF.2221111,222xpxpAFxxpp ，2222222,222xpxpBFxxpp .221222112112222222122222pxpxx xxxppxpxx xxxp,6 分/AFBF.、三点共线.8 分 证法 3：设线段AB的中点为,则的坐标为1212,22xxyy.抛物线的准线为:2pl y .作11,A
14、Al BBl,垂足分别为11,A B.由(1)知点的坐标为12,22xxp,DEl.DE是直角梯形11AA B B的中位线.1112DEAABB.6 分 根据抛物线的定义得:11,AAAFBBBF,111122DEAABBAFBF.ADDB,为线段AB的中点,12DEAB.1122ABAFBF,即ABAFBF.、三点共线.8 分(3)解:不存在.证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为，依题意得,MAAD MBBD，且MAMB，由12ll，得ADBD.四边形MADB是正方形.ADBD.10 分 点的坐标为3,12，12 p,得2p.把点3,12的坐标代入直线,得211131422xxx
15、解得14x 或11x ,点的坐标为4,4或11,4.同理可求得点的坐标为4,4或11,4.由于、是抛物线上的不同两点，不妨令11,4A,4,4B.2231125112416AD,22312544124BD.13 分 ADBD,这与ADBD矛盾.经过、两点且与、都相切的圆不存在.14 分 18.(本题满分13分)2009韶关一模 解：（I）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N为焦点，:2L y 为准线的抛物线上2 分 因为抛物线焦点到准线距离等于 4 所以圆心的轨迹是28xy（II）解法一：由已知(0,2)N，11221122(,),(,).,(,2)(,2),A x yB xyANNBxyxy设
16、由即得 故 121212(2)2xxyy 将（1）式两边平方并把2212221218,8yyyxyx代入得 （3）解（2）、（3）式得2,221yy，且有.16822221yxxx 8 分 抛物线方程为.41,812xyxy求导得 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 ,)(41,)(41222111yxxxyyxxxy2211221111,.4848yx xxyx xx即121212(,)(,2)282xxx xxxQ解出两条切线的交点的坐标为11 分),()4,2(211221yyxxxxABNO所以0)8181(4)(2121222122xxxx 所以ABNQ为定值，其值为 0.13
17、 分 解法二：由已知N（0，2）1122(,),(,).,A x yB xyANNBA N B设由知三点共线,ABx直线与 轴不垂直:2.AB ykx设 22,1.8ykxyx由可得28160 xkx，1621xx 8 分 后面解法和解法一相同 20（本小题满分 14分）2010 年深圳市高三年级第二次调研考试数学 解：（1）设椭圆的方程为 22221(0)xyabab，半焦距为.由已知条件，得)1,0(F，222231cbaacb 解得 1,2ba.所以椭圆的方程为：1422 yx.分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为 1 kxy，11221
18、2(,),(,)()A x yB xyxx，由yxkxy412消去并整理得 2440 xkx，421xx.分 抛物线的方程为241xy，求导得12yx，过抛物线上、两点的切线方程分别是)(21111xxxyy，)(21222xxxyy，即 2114121xxxy，2224121xxxy，解得两条切线、的交点的坐标为)4,2(2121xxxx，即)1,2(21 xxM，分 122121(,2)(,)2xxFM ABxx yy0)4141(2)(2121222122xxxx MFAB.分（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线1y上，又直线1y与椭圆有唯一交点，故的坐标为)1,0(M，设过点且与抛物线相切的切线方程为：)(21000 xxxyy，其中点),(00yx为切点.令1,0yx得，)0(214110020 xxx，解得20 x或20 x ，分 故不妨取)1,2(),1,2(BA，即直线BA过点.综上所述，椭圆上存在一点)1,0(M，经过点作抛物线的两条切线AM、BM（、为切点），能使直线BA过点.此时，两切线的方程分别为1yx 和1 xy.分 抛物线与切线AM、BM所围成图形的面积为 222320011142(1)2()41223Sxxdxxxx.分