《隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形--2024届高考数学拓展含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形--2024届高考数学拓展含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1 若椭圆C：x2a+2+y2a=1(a0)的蒙日圆为x2+y2=6，则a等于()A.1B.2C.3D.42(2023烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，PAB的面积S的最小值为()A.43B.2C.4D.4 23 已知在平面直角坐标系Oxy中，A(-2,0)，动点M满足|MA|=2|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A.-5，5B.-6，6C.-7，7D.-2 2，2 24 抛物线上任意两点
2、A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PFAB.若经过抛物线 y2=4x 的焦点的一条弦为 AB，“阿基米德三角形”为 PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=05(多选)(2023廊坊模拟)如图，PAB为阿基米德三角形抛物线x2=2py(p0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A.若弦AB过焦点，则ABP为直角三
3、角形且APB=90B.点P的坐标是x1+x22，x1x22C.PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0D.PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形-2024届高考数学拓展26(多选)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点直线l的方程为bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是()A.C的蒙日圆的方程为x2+y2=3b2B.对直线l上任意一点P，PA PB 0C.记点A到直线l的距离为d，则d-AF2的最小值为4 33bD.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则
4、矩形MNGH面积的最大值为6b27抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.已知A(-2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2=4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为8(2023赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：x2a2+y2=1(a1)上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为9(2023开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2=2py(p0)的两条切线PA，PB
5、，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若APPB，证明：直线AB经过点 0，p2；(2)若分别记PMN，ABQ的面积为S1，S2，求S1S2的值310已知圆O：x2+y2=5，椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；作PQAB于点Q，求证：|QF1|+|QF2|是定值11(2023合肥模拟)
6、已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆x23+y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(-2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)求证：对于圆上的任意点A，都有l1l2成立；求AMN面积的取值范围412定义椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的“蒙日圆”的方程为x2+y2=a2+b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e=12.(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2
7、，证明：k1k2为定值13已知抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值1隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1若椭圆C：x2a+2+y2a=1(a0)的蒙日圆为x2+y2=6，则a等于()A.1B.2C.3D.4【答案】B2(2023烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，PAB的面积S的最小值为()A.43B.2C.4D.4 2【答案】C3已知在平面直角坐标系O
8、xy中，A(-2,0)，动点M满足|MA|=2|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A.-5，5B.-6，6C.-7，7D.-2 2，2 2【答案】C4抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PFAB.若经过抛物线 y2=4x 的焦点的一条弦为 AB，“阿基米德三角形”为 PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=0【
9、答案】A5(多选)(2023廊坊模拟)如图，PAB为阿基米德三角形抛物线x2=2py(p0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A.若弦AB过焦点，则ABP为直角三角形且APB=902B.点P的坐标是x1+x22，x1x22C.PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0D.PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)【答案】ACD【解析】由题意设A x1，x212p，B x2，x222p，x1b0)的离心率为22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点直线l
10、的方程为bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是()A.C的蒙日圆的方程为x2+y2=3b2B.对直线l上任意一点P，PA PB 0C.记点A到直线l的距离为d，则d-AF2的最小值为4 33bD.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2【答案】AD【解析】对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x=a，y=b，Q(a，b)在蒙日圆上，蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，由e=ca=1-b2a2=22得a2=2b2，C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2，A正确；对于B，由l方程知l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，P(b，a)在圆 x2+y2=3b2上
11、，当 A，B 恰为过 P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA PB=0，B错误；对于C，A在椭圆上，|AF1|+|AF2|=2a，d-|AF2|=d-(2a-|AF1|)=d+|AF1|-2a；当F1Al时，d+|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，又F1到直线l的距离d=|-bc-a2-b2|a2+b2=|-b2-2b2-b2|3b=4 33b，(d-|AF2|)min=4 33b-2a，C错误；对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2+y2=12b2，4矩形MNGH
12、的面积S=xyx2+y22=6b2(当且仅当x=y=6b时取等号)，即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确7抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.已知A(-2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2=4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为【答案】-1838(2023赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：x2a2+y2=1(a1)上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为【
13、答案】0，63【解析】根据题意可得，圆x2+y2=a2+1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线 3x+4y-10=0与圆x2+y2=a2+1相离时，APB恒为锐角，故a2+1|0+0-10|32+422=4，解得1a20)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若APPB，证明：直线AB经过点 0，p2；(2)若分别记PMN，ABQ的面积为S1，S2，求S1S2的值【答案】(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx+b，由x2=2py，y=kx+b，
14、消去y并整理得x2-2pkx-2pb=0，有x1x2=-2pb，5令抛物线C：x2=2py在点A处切线方程为y-y1=t(x-x1)，由y-y1=t(x-x1)，x2=2py，消去y并整理得x2-2ptx+2ptx1-2py1=0，则有=4p2t2-4(2ptx1-2py1)=4p2t2-4(2ptx1-x21)=0，解得t=x1p，同理，抛物线C：x2=2py在点B处切线斜率为x2p，因为APPB，则有x1px2p=-2pbp2=-1，解得b=p2，所以直线AB：y=kx+p2恒过定点 0，p2.(2)解由(1)知，切线PA的方程为y-y1=x1p(x-x1)，整理得y=x1px-y1，同理
15、切线PB的方程为y=x2px-y2，设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y=x0px-y0，而点P(m，n)，即有n=x1pm-y1，n=x2pm-y2，因此直线AB的方程为y=mpx-n，有|AB|=1+mp2|x1-x2|，点Q(x0，y0)到直线AB的距离是d2=mpx0-y0-n1+mp2，则S2=12|x1-x2|mpx0-y0-n，由py=x0 x-py0，py=x1x-py1，解得点M的横坐标xM=x0+x12，6同理点N的横坐标xN=x0+x22，有|MN|=1+x0p2|x1-x2|2，点P(m，n)到直线MN的距离d1=mpx0-n-y01+x0p2，则S1=14|x1
16、-x2|mpx0-y0-n，所以S1S2=12.10已知圆O：x2+y2=5，椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；作PQAB于点Q，求证：|QF1|+|QF2|是定值【答案】(1)解：由题意得a2=b2+c2，2 5-c2=2 2，2b2a=1，解得a=2，b=1，c=3，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)解设P(x0，y0)，则过P的切线方程为y-y0=
17、k(x-x0)，且x20+y20=5，由x24+y2=1，y-y0=k(x-x0)，化简得(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，由=0，得(4-x20)k2+2x0y0k+1-y20=0，设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，7则k1k2=1-y204-x20=1-y204-(5-y20)=-1，又直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为-12.证明当切线PA，PB的斜率都存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线PA，PB的方程为y-yi=ki(x-xi)，i=1,2并由得(4-x2i)k2i+2xiyiki+1-y2i=0，i=1,2，(*)又点
18、A，B在椭圆上，得x2i4+y2i=1，i=1,2代入(*)，得 2yiki+xi22=0，即ki=-xi4yi，i=1,2，切线PA，PB的方程为xix4+yiy=1，i=1,2，又切线过P点，则xix04+yiy0=1，i=1,2，所以直线AB的方程为x0 x4+y0y=1，由PQAB得直线PQ方程为y-y0=4y0 x0(x-x0)，联立直线AB方程x0 x4+y0y=1，解得xQ=4x0(1+3y20)x20+16y20=45x0，yQ=y0(1+3y20)x20+16y20=15y0，由x20+y20=5得Q点轨迹方程为516x2+5y2=1，且焦点恰为F1，F2，故|QF1|+|Q
19、F2|=245=85=8 55，当切线PA，PB的斜率有一个不存在时，如PB斜率不存在，则B(2,0)，P(2,1)，A(0,1)，直线AB的方程为y=-12x+1，PQ的方程为y-1=2(x-2)，可解得Q85，15，Q点也在椭圆516x2+5y2=1上，若B(-2,0)，同理可得8综上得|QF1|+|QF2|=8 55，为定值11(2023合肥模拟)已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆x23+y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(-2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)求证：对于圆上的任意点A，都有l1l2成立；求AMN面积的
20、取值范围【答案】(1)解：设直线的方程为y=k(x+2)，代入椭圆x23+y2=1，消去y，可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0，由=0，可得k2-1=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1=-1，k2=1，直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2.(2)证明当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，l1与椭圆只有一个公共点，其方程为x=3，当l1的方程为x=3 时，此时l1与圆的交点坐标为3，1，l2的方程为y=1(或y=-1)，l1l2成立，同理可证，当l1的方程为x=-3 时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且
21、m2+n2=4，设方程为y=k(x-m)+n，代入椭圆方程，可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0，由=0化简整理得(3-m2)k2+2mnk+1-n2=0，m2+n2=4，(3-m2)k2+2mnk+m2-3=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，l1l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1l2成立解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，MANA，MN是圆的直径，|MA|=2d2，|NA|=2d1，d21+d22=|OA|2=4，AMN面积为S=12|MA|NA|=2d1d2，9S2=4d21d22=4d21(4-d21)=-4(d
22、21-2)2+16，d211,3，S212,16，S2 3，412定义椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的“蒙日圆”的方程为x2+y2=a2+b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e=12.(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1k2为定值【答案】(1)解：由题意知2a=4，e=ca=12，c=1，b2=3，椭圆C的标准方程为x24+y23=1，“蒙日圆”E的方程为x2+y2=4+3=7，即x2+y2=7.
23、(2)证明当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y=kx+m，则由y=kx+m，x24+y23=1，消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，m2=3+4k2，由y=kx+m，x2+y2=7，消去y得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k20，设M(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=-2mk1+k2，x1x2=m2-71+k2，k1k2=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x210=k
24、2m2-71+k2+km-2mk1+k2+m2m2-71+k2=m2-7k2m2-7，m2=3+4k2，k1k2=m2-7k2m2-7=3+4k2-7k23+4k2-7=-34，当切线MA的斜率不存在且为零时，k1k2=-34成立，k1k2为定值13已知抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值【答案】解：(1)易得圆的圆心M(0，-4)，抛物线C的焦点为F 0，p2，|FM|=p2+4，F与圆M：x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为
25、p2+4-1=4，解得p=2.(2)抛物线C的方程为x2=4y，即y=x24，对该函数求导得y=x2，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1)，即y=x1x2-y1，即x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0，由于点P为这两条直线的公共点，则x1x0-2y1-2y0=0，x2x0-2y2-2y0=0，点A，B的坐标满足方程x0 x-2y-2y0=0，直线AB的方程为x0 x-2y-2y0=0，联立x0 x-2y-2y0=0，y=x24，可得x2-2x0 x+4y0=0，由根与系数的关系可得x1+x2=2x0，11x1x2=4y0，|AB|=1+x022(x1+x2)2-4x1x2=1+x022 4x20-16y0=(x20+4)(x20-4y0)，点P到直线AB的距离为d=|x20-4y0|x20+4，SPAB=12|AB|d=12(x20+4)(x20-4y0)|x20-4y0|x20+4=12(x20-4y0)32，x20-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y20-12y0-15=-(y0+6)2+21，由已知可得-5y0-3，当y0=-5时，PAB的面积取最大值122032=20 5.