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1、 1 高考中的数列最后一讲（内部资料勿外传）1 已知数列an、bn、cn 满足（1）设 cn=3n+6，an 是公差为 3 的等差数列当 b1=1 时，求 b2、b3的值；（2）设，求正整数 k，使得对一切 nN*，均有 bnbk；（3）设，当 b1=1 时，求数列bn 的通项公式 2设an是公比为正数的等比数列 a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn 3已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a1为 a（aR）设数列的前 n 项和为 Sn，且，成等比数列（）求数列an的通项公式及 Sn；（）记 An=
2、+，Bn=+，当 a 2 时，试比较 An与 Bn的大小 4已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前 n 项和 5成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、b4、b5（I）求数列bn的通项公式；（II）数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn+是等比数列 6 在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n 1（I）求数列an的通项公式；（）设 bn=tanan tanan+1，求数列bn的前 n 项和
3、 Sn 2 7.设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6及 a1；（）求 d 的取值范围 8已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4（）求数列an的通项公式；（）设 bn=（4an）qn1（q 0，nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 9已知数列an满足 a1=0，a2=2，且对任意 m、nN*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求 a3，a5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；（3）设 cn=（an+1an）qn1（q 0，
4、nN*），求数列cn的前 n 项和 Sn 10已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且 a1，a3，a9成等比数列（）求数列an的通项；（）求数列2an的前 n 项和 Sn 11已知数列an满足，nN（1）令 bn=an+1an，证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式 12等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN*，点（n，Sn），均在函数 y=bx+r（b0）且 b 1，b，r 均为常数）的图象上（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时，记 bn=nN*求数列bn的前 n 项和 Tn 13（本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足：37a，5726aa，na的前
5、n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=211na(nN*)，求数列 nb的前 n 项和nT 3 14已知数列an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式 an=（nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 15设数列an的通项公式为 an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数 m，bm是使得不等式 an m成立的所有 n 中的最小值（）若，求 b3；（）若 p=2，q=1，求数列bm的前 2m 项和公式；16已知数列xn的首项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN*，p，q 为
6、常数），且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列xn前 n 项和 Sn的公式 17设数列an的前 n 项和为 Sn=2an2n，（）求 a1，a4（）证明：an+12an是等比数列；（）求an的通项公式 18在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前 n 项和 Sn；（）求数列an的前 n 项和 Tn 19已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前 n 项和 Sn 4 20.在数列na中，10a，且对任意*kNkN，21221,kkkaaa成等差数列，其公差为kd。()若kd=2k，证明21222,kkkaaa成等比数列（*kN）；
7、()若对任意*kN，21222,kkkaaa成等比数列，其公比为kq.设1q1.证明11kq是等差数列；21.设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列 nb是等比数列（II）求数列na的通项公式。22.设数列 na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（）证明：当2b 时，12nnan是等比数列；（）求 na的通项公式 23.数列an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式；（II）2462naaaa的值.5 1已知数列an、bn、cn满足（1）设 cn=3n+6，
8、an是公差为 3 的等差数列当 b1=1 时，求 b2、b3的值；（2）设，求正整数 k，使得对一切 nN*，均有 bn bk；（3）设，当 b1=1 时，求数列bn的通项公式 专题：计算题；分类讨论。分析：（1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列bn的通项公式，最后综合即可 解答：解：（1）an+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=8（2）an+1an=2n7，bn+1bn=，由 bn+1bn0，解
9、得 n 4，即 b4b5b6；由 bn+1bn0，解得 n 3，即 b1b2b3b4 k=4（3）an+1an=（1）n+1，bn+1bn=（1）n+1（2n+n）bnbn1=（1）n（2n1+n1）（n 2）故 b2b1=21+1；b3b2=（1）（22+2），bn1bn2=（1）n1（2n2+n2）bnbn1=（1）n（2n1+n1）当 n=2k 时，以上各式相加得 bnb1=（222+2n2+2n1）+12+（n2）+（n1）=+=+bn=+当 n=2k1 时，=+（2n+n）=+6 bn=点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目
10、2（2011 重庆）设an是公比为正数的等比数列 a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn 分析：（）由an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用 a1=2，a3=a2+4 可求得 q，即可求得an的通项公式（）由bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+（n1）2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前 n 项和公式即可求得数列an+bn的前 n 项和 Sn 解答：解：（）设an是公比为正数的等比数列 设其公比为 q，q0 a3=a2+4，a1=2 2q2=2q+4 解得 q=2
11、或 q=1 q0 q=2 an的通项公式为 an=22n1=2n（）bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 bn=1+（n1）2=2n1 数列an+bn的前 n 项和 Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n22 3（2011 浙江）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a1为 a（aR）设数列的前 n 项和为 Sn，且，成等比数列（）求数列an的通项公式及 Sn；（）记 An=+，Bn=+，当 a 2 时，试比较 An与 Bn的大小 分析：（）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 d，则数列的通项公式和前 n 项的和可得 （）利用（）的 an和 Sn，代入不等式，利用裂项
12、法和等比数列的求和公式整理 An与 Bn，最后对 a0 和 a0两种情况分情况进行比较 解答：解：（）设等差数列an的公差为 d，由（）2=，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为 d 0，所以 d=a1=a 所以 an=na，Sn=（）解：=（）An=+=（1）=2n1a，所以=，7 Bn=+=（1）当 n 2 时，2n=Cn0+Cn1+Cnnn+1，即 11 所以，当 a0 时，AnBn；当 a0 时，AnBn 4（2011 辽宁）已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前 n 项和 分析：（I）根据等差数列的通项公式化简 a2=0
13、和 a6+a8=10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作，然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作，后，利用 an的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到数列的前 n 项和的通项公式 解答：解：（I）设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得，解得：，故数列an的通项公式为 an=2n；（II）设数列的前 n 项和为 Sn，即 Sn=a1+，故 S1=1，=+，当 n1 时，得：=a1+=1（+）=1（1）=，所以 Sn=，8 综上，数列的前 n 项和
14、 Sn=是一道中档题 5（2011 湖北）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、b4、b5（I）求数列bn的通项公式；（II）数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn+是等比数列 分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5d，5+d，代入等比数列中可求 d，进一步可求数列bn的通项公式（II）根据（I）及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn，要证数列Sn+是等比数列即可 解答：解：（I）设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，a+d 依题意，得 ad+a+a+d=15，解得 a=5 所以bn中的
15、依次为 7d，10，18+d 依题意，有（7d）（18+d）=100，解得 d=2 或 d=13（舍去）故bn的第 3 项为 5，公比为 2 由 b3=b1 22，即 5=4b1，解得 所以bn是以 首项，2 为公比的等比数列，通项公式为（II）数列bn的前和 即，所以，因此是以 为首项，公比为 2 的等比数列 点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识，同时考查基本运算能力 6（2011 安徽）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘积计作 Tn，再令 an=lgTn，n 1（I）求数列an的通项公式；（
16、）设 bn=tanan tanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 分析：（I）根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，我们易得这 n+2 项的几何平均数为 10，故 Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn的每一项拆成的形式，进而得到结论 解答：解：（I）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，又这 n+2 个数的乘积计作 Tn，9 Tn=10n+2 又an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n
17、1（II）bn=tanan tanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=，Sn=b1+b2+bn=+=点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这 n+2 项的几何平均数为 10，是解答本题的关键 7（2010 浙江）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6及 a1；（）求 d 的取值范围 解答：解：（）由题意知 S6=3，a6=S6S5=8 所以 解得 a1=7 所以 S6=3，a1=7；解：（）因为 S5S6+15=0，所以（5a1+10d）（6a1
18、+15d）+15=0，即 2a12+9da1+10d2+1=0 故（4a1+9d）2=d28 所以 d2 8 故 d 的取值范围为 d 2或 d 2 8（2010 四川）已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4（）求数列an的通项公式；（）设 bn=（4an）qn1（q 0，nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 分析：（1）设an的公差为 d，根据等差数列的求和公式表示出前 3 项和前 8 项的和，求的 a1和 d，进而根据等差数列的通项公式求得 an（2）根据（1）中的 an，求得 bn，进而根据错位相减法求得数列bn的前 n 项和 Sn 解答：解：（1）设an的公差为 d
19、，由已知得 解得 a1=3，d=1 故 an=3+（n1）（1）=4n；（2）由（1）的解答得，bn=n qn1，于是 Sn=1 q0+2 q1+3 q2+（n1）qn1+n qn 10 若 q 1，将上式两边同乘以 q，得 qSn=1 q1+2 q2+3 q3+（n1）qn+n qn+1 将上面两式相减得到（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn 于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+n=所以，Sn=9（2010 四川）已知数列an满足 a1=0，a2=2，且对任意 m、nN*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求 a3，a5；（2）设 bn=a2n
20、+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；（3）设 cn=（an+1an）qn1（q 0，nN*），求数列cn的前 n 项和 Sn 分析：（1）欲求 a3，a5只需令 m=2，n=1 赋值即可（2）以 n+2 代替 m，然后利用配凑得到 bn+1bn，和等差数列的定义即可证明（3）由（1）（2）两问的结果可以求得 cn，利用乘公比错位相减求cn的前 n 项和 Sn 解答：解：（1）由题意，令 m=2，n=1，可得 a3=2a2a1+2=6 再令 m=3，n=1，可得 a5=2a3a1+8=20（2）当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可得 a2n+3+a2n1=2a2n+1+8 于
21、是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8 即 bn+1bn=8 所以bn是公差为 8 的等差数列（3）由（1）（2）解答可知bn是首项为 b1=a3a1=6，公差为 8 的等差数列 则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2 另由已知（令 m=1）可得 an=（n1）2 那么 an+1an=2n+1=2n+1=2n 于是 cn=2nqn1 当 q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当 q 1 时，Sn=2 q0+4 q1+6 q2+2n qn1 两边同乘以 q，可得 qSn=2 q1+4 q2+6 q3+2n qn 上述两式相减得（1q）Sn=2（1+q+
22、q2+qn1）2nqn 11=22nqn=2 所以 Sn=2 综上所述，Sn=点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法 10（2010 陕西）已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且 a1，a3，a9成等比数列（）求数列an的通项；（）求数列2an的前 n 项和 Sn 分析：（I）由题意可得 a32=a1 a9=a9，从而建立关于公差 d 的方程，解方程可求 d，进而求出通项 an（II）由（I）可得，代入等比数列的前 n 项和公式可求 Sn 解答：解（）由题设知公差
23、 d 0，由 a1=1，a1，a3，a9成等比数列得=，解得 d=1，d=0（舍去），故an的通项 an=1+（n1）1=n；（）由（）知2a_n=2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n=2n+12 点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式，属于基本公式的简单运用 11（2009 陕西）已知数列an满足，nN（1）令 bn=an+1an，证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式 分析：（1）先令 n=1 求出 b1，然后当 n 2 时，求出 an+1的通项代入到 bn中化简可得bn是以 1 为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）
24、找出 bn的通项公式，当 n 2 时，利用 an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）代入并利用等比数列的前 n 项和的公式求出即可得到 an的通项，然后 n=1 检验也符合，所以 nN，an都成立 解答：解：（1）证 b1=a2a1=1，当 n 2 时，所以bn是以 1 为首项，为公比的等比数列 12（2）解由（1）知，当 n 2 时，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+1+（）+=，当 n=1 时，所以 12.(2009山东)等比数列na 的前 n 项和为nS，已知对任意的nN ，点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像
25、上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2时，记 1()4nnnbnNa 求数列 nb的前n项和nT 解:因为对任意的nN,点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为na 为等比数列,所以1r ,公比为b,所以1(1)nnabb（2）当 b=2时，11(1)2nnnabb,1111144 22nnnnnnnba 则234123412222nnnT 3451212341222222nnnnnT 相减,得23451212111112222222
26、nnnnT 31211(1)112212212nnn12311422nnn 所以113113322222nnnnnnT 13 13（2010、山东）（本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=211na(nN*)，求数列 nb的前 n 项和nT【解析】（）设等差数列 na的公差为 d，因为37a，5726aa，所以有 112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114
27、n(n+1)=111(-)4n n+1，所以nT=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列 nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。14（2009 湖北）已知数列an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式 an=（nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 分析：（1）设等差数列an的公差为 d，分别表示出 a2a6=55，a2+a7=16 联立方程求得 d 和 a1进而根据等差数列通项公式求得 an（2）令 cn=，则有 an=c1+c2+cn，an+1
28、=c1+c2+cn+1两式相减得 cn+1等于常数 2，进而可得 bn，进而根据 b1=2a1求得 b1则数列bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b1 解答：解：（1）设等差数列an的公差为 d，则依题意可知 d0 由 a2+a7=16，得 2a1+7d=16 由 a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 由 联立方程求得 得 d=2，a1=1 或 d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令 cn=，则有 an=c1+c2+cn an+1=c1+c2+cn+1 两式相减得 14 an+1an=cn+1，由（1）得 a1=1，an+1a
29、n=2 cn+1=2，即 cn=2（n 2），即当 n 2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时，b1=2a1=2 bn=于是 Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26 点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握 15（2009 北京）设数列an的通项公式为 an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数 m，bm是使得不等式 an m 成立的所有 n 中的最小值（）若，求 b3；（）若 p=2，q=1，求数列bm的前 2m 项和公式；解答：解：（）由题意，得，解，得 成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即 b3=7 （）
30、由题意，得 an=2n1，对于正整数 m，由 an m，得 根据 bm的定义可知 当 m=2k1 时，bm=k（kN*）；当 m=2k 时，bm=k+1（kN*）b1+b2+b2m=（b1+b3+b2m1）+（b2+b4+b2m）=（1+2+3+m）+2+3+4+（m+1）=16（2008 浙江）已知数列xn的首项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN*，p，q 为常数），且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列xn前 n 项和 Sn的公式 分析：（）根据 x1=3，求得 p，q 的关系，进而根据通项 xn=2np+np（nN*，p，q 为常数），且成等差数列建立关于 p 的方求得 p，
31、进而求得 q（）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案 解答：解：（）x1=3，2p+q=3，又 x4=24p+4q，x5=25p+5q，且 x1+x3=2x4，3+25p+5q=25p+8q，联立 求得 p=1，q=1（）由（1）可知 xn=2n+n Sn=（2+22+2n）+（1+2+n）=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力 15 17（2008 四川）设数列an的前 n 项和为 Sn=2an2n，（）求 a1，a4（）证明：an+12an是等比数列；（）求an的通项公式 考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。专
32、题：计算题；证明题。分析：（）令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an，令 n=2 求出 a2，s2得到 a3推出 a4即可；（）由已知得 an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n即为等比数列；（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）2n1即可 解答：解：（）因为 a1=S1，2a1=S1+2，所以 a1=2，S1=2 由 2an=Sn+2n知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1 得 an+1=sn+2n+1 所以 a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=1
33、6，S2=24a4=S3+24=40（）由题设和 式知 an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n 所以an+12an是首项为 2，公比为 2 的等比数列（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）2n1 点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力 18（2008 四川）在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前 n 项和 Sn；（）求数列an的前 n 项和 Tn 考点：数列递推式；数列的求和。专题：计算题
34、。分析：（）由题设条件得，由此可知（）由题设条件知，再由错位相减得，由此可知（）由得由此可知 Tn=2Sn+2a12an+1=解答：解：（）由条件得，又 n=1 时，故数列构成首项为 1，公式为 的等比数列从而，即 16（）由得，两式相减得：，所以（）由得 所以 Tn=2Sn+2a12an+1=点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答 19（2008 陕西）已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前 n 项和 Sn 考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。专题：计算题。分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列（2）根据（1）求
35、出数列的递推公式，得出 an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前 n 项和 Sn 解答：解：（）由已知：，（2 分），又，（4 分）数列是以 为首项，为公比的等比数列（6 分）（）由（）知，即，（8 分）设，则，17 由 得：，（10 分）又 1+2+3+（12 分）数列的前 n 项和：（14 分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法 20.(2010、天津)（本小题满分 14 分）在数列na中，10a，且对任意*kNkN，21221,kkkaaa成等差数列，其公差为kd。()若kd=2k，证明21222,kkkaaa成等比数列（*kN）；()若
36、对任意*kN，21222,kkkaaa成等比数列，其公比为kq.设1q1.证明11kq是等差数列；【解析】（）证明：由题设，可得*4,2121aak kNkk。所以131()().()2121212123aaaaaaaakkkkk=44(1).4 1kk =2k(k+1)由1a=0，得222(1),22,2(1).2122122ak kaakkakkkkk从而 于是1121222221,221212aaaakkkkkkakakaakkkk所以。所以*2,22122kdkkNaaakkk时，对任意成等比数列。（）证法一：（i）证明：由2,2121kaaakk成等差数列，及,22122aaakkk
37、成等比数列，得212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk 当1q1 时，可知kq1，k*N 从而111111,1(2)1111111211kqqqqkkkkqk即 18 所以11qk是等差数列，公差为 1。21.（2009全国卷理）设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列 nb是等比数列（II）求数列na的通项公式。解：（I）由11,a 及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa 由142nnSa，则当2n 时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa 又1
38、2nnnbaa，12nnbb nb是首项13b，公比为的等比数列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa，113224nnnnaa 数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列 1331(1)22444nnann，2(31)2nnan 10分 22.（2008四川卷）设数列 na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（）证明：当2b 时，12nnan是等比数列；（）求 na的通项公式 解 由题意知12a，且21nnnbabS 11121nnnbabS 两式相减得1121nnnnb aaba 即12nnnaba （）当2b 时，由知122nnnaa 于是11 2221 2nnnnnan
39、an 122nnan 又111 210na，所以12nnan是首项为 1，公比为 2 的等比数列。（）当2b 时，由（）知1122nnnan，即11 2nnan 19 当2b 时，由由得 1111122222nnnnnababb 22nnbbab 122nnb ab 因此11112222nnnnab abb 2 12nbbb 得121122222nnnnab bnb 23.（2005北京）数列an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式；（II）2462naaaa的值.解：（I）由a1=1，113nnaS，n=1，2，3，得 211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n 2），得143nnaa（n 2），又a2=31，所以an=21 4()3 3n(n2),数列an 的通项公式为2111 4()23 3nnnan