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1、精选优质文档-倾情为你奉上高考中的数列最后一讲（内部资料勿外传）1已知数列an、bn、cn满足（1）设cn=3n+6，an是公差为3的等差数列当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切nN*，均有bnbk；（3）设，当b1=1时，求数列bn的通项公式2设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn3已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR）设数列的前n项和为Sn，且，成等比数列（）求数列an的通项公式及Sn；（）记An=+，Bn=+，当a2时，试比较An与Bn的大小
2、4已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和5成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（I） 求数列bn的通项公式；（II） 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列6在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n1（I）求数列an的通项公式；（）设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn7.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6
3、+15=0（）若S5=5，求S6及a1；（）求d的取值范围8已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4（）求数列an的通项公式；（）设bn=（4an）qn1（q0，nN*），求数列bn的前n项和Sn9已知数列an满足a1=0，a2=2，且对任意m、nN*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；（3）设cn=（an+1an）qn1（q0，nN*），求数列cn的前n项和Sn10已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列（）求数列an的通项；（）求数列2an的前n项和Sn11
4、已知数列an满足，nN（1）令bn=an+1an，证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式12等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0）且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=nN*求数列bn的前n项和Tn13（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和14已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn15设数列an
5、的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；16已知数列xn的首项x1=3，通项xn=2np+np（nN*，p，q为常数），且成等差数列求：（）p，q的值；（）数列xn前n项和Sn的公式17设数列an的前n项和为Sn=2an2n，（）求a1，a4（）证明：an+12an是等比数列；（）求an的通项公式18在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前n项和Sn；（）求数列an的前n项和Tn19已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证
6、明：数列是等比数列；（）求数列的前n项和Sn20.在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为。()若=2k，证明成等比数列（）；()若对任意，成等比数列，其公比为.设1.证明是等差数列；21.设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。22. 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式23.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （II）的值.1已知数列an、bn、cn满足（1）设cn=3n+6，an是公差为3的等差数列当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，求正整数k，
7、使得对一切nN*，均有bnbk；（3）设，当b1=1时，求数列bn的通项公式专题：计算题；分类讨论。分析：（1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列bn的通项公式，最后综合即可解答：解：（1）an+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=8（2）an+1an=2n7，bn+1bn=，由bn+1bn0，解得n4，即b4b5b6；由bn+1bn0，解得n3，即b1b2b3b4k=4（3）an+1an=（1）n+
8、1，bn+1bn=（1）n+1（2n+n）bnbn1=（1）n（2n1+n1）（n2）故b2b1=21+1；b3b2=（1）（22+2），bn1bn2=（1）n1（2n2+n2）bnbn1=（1）n（2n1+n1）当n=2k时，以上各式相加得bnb1=（222+2n2+2n1）+12+（n2）+（n1）=+=+bn=+当n=2k1时，=+（2n+n）=+bn=点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目2（2011重庆）设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列a
9、n+bn的前n项和Sn分析：（）由an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得an的通项公式（）由bn是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n1）2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列an+bn的前n项和Sn解答：解：（）设an是公比为正数的等比数列设其公比为q，q0a3=a2+4，a1=22q2=2q+4 解得q=2或q=1q0q=2 an的通项公式为an=22n1=2n（）bn是首项为1，公差为2的等差数列bn=1+（n1）2=2n1数列an+bn的前n项和Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n223（20
10、11浙江）已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR）设数列的前n项和为Sn，且，成等比数列（）求数列an的通项公式及Sn；（）记An=+，Bn=+，当a2时，试比较An与Bn的大小分析：（）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得（）利用（）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a0和a0两种情况分情况进行比较解答：解：（）设等差数列an的公差为d，由（）2=，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d0，所以d=a1=a所以an=na，Sn=（）解：=（）An=+=（1）=2n1a，所以=，Bn
11、=+=（1）当n2时，2n=Cn0+Cn1+Cnnn+1，即11所以，当a0时，AnBn；当a0时，AnBn4（2011辽宁）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和分析：（I）根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作，然后给两边都除以2得另一个关系式记作，后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列的前n项和的通项公式解答：解：（I）设等
12、差数列an的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列an的通项公式为an=2n；（II）设数列的前n项和为Sn，即Sn=a1+，故S1=1，=+，当n1时，得：=a1+=1（+）=1（1）=，所以Sn=，综上，数列的前n项和Sn=是一道中档题5（2011湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（I） 求数列bn的通项公式；（II） 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列bn的通项公式（II）根据（I
13、）及等比数列的前 n项和公式可求Sn，要证数列Sn+是等比数列即可解答：解：（I）设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d依题意，得ad+a+a+d=15，解得a=5所以bn中的依次为7d，10，18+d依题意，有（7d）（18+d）=100，解得d=2或d=13（舍去）故bn的第3项为5，公比为2由b3=b122，即5=4b1，解得所以bn是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（II）数列bn的前和即，所以，因此是以为首项，公比为2的等比数列点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力6（2011安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2
14、个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n1（I）求数列an的通项公式；（）设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn的每一项拆成的形式，进而得到结论解答：解：（I）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又这n+2个数的乘积计作Tn，Tn=10n+2又an
15、=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n1（II）bn=tanantanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=，Sn=b1+b2+bn=+=点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键7（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0（）若S5=5，求S6及a1；（）求d的取值范围解答：解：（）由题意知S6=3，a6=S6S5=8所以解得a1=7所以S6=3，a1=7；解：（）因为S5S6+15=0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+
16、15=0，即2a12+9da1+10d2+1=0故（4a1+9d）2=d28所以d28故d的取值范围为d2或d28（2010四川）已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4（）求数列an的通项公式；（）设bn=（4an）qn1（q0，nN*），求数列bn的前n项和Sn分析：（1）设an的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得an（2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列bn的前n项和Sn解答：解：（1）设an的公差为d，由已知得解得a1=3，d=1故an=3+（n1）（1）=4n；（2）由（1）的解答得，bn
17、=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+（n1）qn1+nqn若q1，将上式两边同乘以q，得qSn=1q1+2q2+3q3+（n1）qn+nqn+1将上面两式相减得到（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn于是Sn=若q=1，则Sn=1+2+3+n=所以，Sn=9（2010四川）已知数列an满足a1=0，a2=2，且对任意m、nN*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；（3）设cn=（an+1an）qn1（q0，nN*），求数列cn的前n项和Sn分析：（1）欲求a3，a5只需令m
18、=2，n=1赋值即可（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1bn，和等差数列的定义即可证明（3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求cn的前n项和Sn解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3a1+8=20（2）当nN*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8即bn+1bn=8所以bn是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知bn是首项为b1=a3a1=6，公差为8的等差数列则bn=8n2，即a2n+1a
19、2n1=8n2另由已知（令m=1）可得an=（n1）2那么an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1当q=1时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当q1时，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以q，可得qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减得（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2所以Sn=2综上所述，Sn=点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法10（2010陕西）已知an是公差不为零的等差数列，a1=
20、1，且a1，a3，a9成等比数列（）求数列an的通项；（）求数列2an的前n项和Sn分析：（I）由题意可得a32=a1a9=a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项an（II）由（I）可得，代入等比数列的前n项和公式可求Sn解答：解（）由题设知公差d0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得=，解得d=1，d=0（舍去），故an的通项an=1+（n1）1=n；（）由（）知2a_n=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+12点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用11（2009陕西）已知数列an满足
21、，nN（1）令bn=an+1an，证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得bn是以1为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出bn的通项公式，当n2时，利用an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以nN，an都成立解答：解：（1）证b1=a2a1=1，当n2时，所以bn是以1为首项，为公比的等比数列（2）解由（1）知，当n2时，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+1+（）+=，当n=
22、1时，所以12.(2009山东)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则相减,得所以13（2010、山东）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。14（2009湖北）已知数列an是一个公差大于
23、0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn分析：（1）设等差数列an的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an（2）令cn=，则有an=c1+c2+cn，an+1=c1+c2+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，得2a1+7d
24、=16由a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求得得d=2，a1=1或d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减得an+1an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1an=2cn+1=2，即cn=2（n2），即当n2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握15（2009北京）设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）
25、数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；解答：解：（）由题意，得，解，得成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7（）由题意，得an=2n1，对于正整数m，由anm，得根据bm的定义可知当m=2k1时，bm=k（kN*）；当m=2k时，bm=k+1（kN*）b1+b2+b2m=（b1+b3+b2m1）+（b2+b4+b2m）=（1+2+3+m）+2+3+4+（m+1）=16（2008浙江）已知数列xn的首项x1=3，通项xn=2np+np（nN*，p，q为常数），且成等差数列求：（）p，q的值
26、；（）数列xn前n项和Sn的公式分析：（）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（nN*，p，q为常数），且成等差数列建立关于p的方求得p，进而求得q（）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案解答：解：（）x1=3，2p+q=3，又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x3=2x4，3+25p+5q=25p+8q，联立求得 p=1，q=1（）由（1）可知xn=2n+nSn=（2+22+2n）+（1+2+n）=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力17（2008四川）设数列an的前n项和为Sn=2an2n
27、，（）求a1，a4（）证明：an+12an是等比数列；（）求an的通项公式考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。专题：计算题；证明题。分析：（）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（）由已知得an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n即为等比数列；（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）2n1即可解答：解：（）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1得an+1=
28、sn+2n+1所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40（）由题设和式知an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n所以an+12an是首项为2，公比为2的等比数列（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）2n1点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力18（2008四川）在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前n项和Sn；（）求数列an
29、的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和。专题：计算题。分析：（）由题设条件得，由此可知（）由题设条件知，再由错位相减得，由此可知（）由得由此可知Tn=2Sn+2a12an+1=解答：解：（）由条件得，又n=1时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列从而，即（）由得，两式相减得：，所以（）由得所以Tn=2Sn+2a12an+1=点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答19（2008陕西）已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前n项和Sn考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。专题：计算题。分析：（1）化简构造新的数列 ，进而证明数列是
30、等比数列（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和Sn解答：解：（）由已知：，（2分），又，（4分）数列是以为首项，为公比的等比数列（6分）（）由（）知，即，（8分）设，则，由得：，（10分）又1+2+3+（12分）数列的前n项和：（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法20. (2010、天津)（本小题满分14分）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为。()若=2k，证明成等比数列（）；()若对任意，成等比数列，其公比为.设1.证明是等差数列；【解析】（）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由
31、=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。21. （2009全国卷理）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 10分22.（2008四川卷） 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解 由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得23.（2005北京）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （II）的值.解：（I）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为专心-专注-专业