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1、新高考新高考 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专项小测复习专项小测 20“1720“171919 题题“二选一理“二选一理专项小测专项小测(二十二十)“17“171919 题“二选一题“二选一时间：时间：4545 分钟分钟总分值：总分值：4646 分分1717(12(12 分分)数列数列 a an n 中，中，a a1 12 2，(n n1)(1)(a an n1 1a an n)2(2(a an nn n1)1)(1)(1)求求a a2 2，a a3 3的值；的值；(2)(2)数列数列 a an n 的通项公式是的通项公式是a an nn n1 1，a an nn n2 2
2、1 1，a an nn nn n中的一个，中的一个，设数列设数列 的前的前n n项和项和2 21 1a an nT Tn n为为S Sn n，a an n1 1a an n 的前的前n n项和为项和为T Tn n，假设，假设 360360，S Sn n求求n n的取值范围的取值范围思路分析：思路分析：(1)(1)根据条件，分别令根据条件，分别令n n1 1，n n2 2，求得求得a a2 2，a a3 3的值的值(2)(2)根据根据a a2 26 6 判断出数列的判断出数列的通项公式为通项公式为a an nn nn nn n(n n1)1)，利用裂项求和，利用裂项求和2 2T Tn n法求得法
3、求得S Sn n的值，的值，利用累加法求得利用累加法求得T Tn n的值，的值，根据根据 S Sn n360360 列不等式，解不等式求得列不等式，解不等式求得n n的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)(n n1)(1)(a an n1 1a an n)2(2(a an nn n1)1)，-2-2-n n3 3a an n1 1a an n2 2，n n1 11 13 3a a2 2a a1 12 26 6，1 11 12 23 3a a3 3a a2 22 212.12.2 21 1(2(2 分分)(4(4 分分)(2)(2)由数列由数列 a an n 的通项公式是的通项公式是a an
4、nn n1 1，a an nn n1 1，a an nn nn n中的一个，和中的一个，和a a2 26 6 得数列得数列 a an n 的通项公式是的通项公式是a an nn nn nn n(n n1)1)，所以，所以2 22 22 21 1a an n1 11 11 1，n n n n1 1 n nn n1 1 1 1 1 11 1 1 1 a a1 1a a2 2a an n 2 2 2 23 3 1 11 11 1 1 11 1 1 1 1 1，n n1 1 n nn n1 1 1 1S Sn n1 1.n n1 1(8(8 分分)(a a2 2a a1 1)(a a3 3a a2 2
5、)(a an n1 1a an n)a an n1 1a a1 1，a an nn n(n n1)1)，-3-3-(a a2 2a a1 1)(a a3 3a a2 2)(a an n1 1a an n)n n3 3n n，即即T Tn nn n3 3n n.2 22 2(10(10 分分)T Tn n由由 360360，得，得n n2 24 4n n3573570 0，S Sn n解得解得n n1717 或或n n21.21.n n是正整数，是正整数，所求所求n n的取值范围为的取值范围为n n1717，且，且n n是正整是正整数数1818(12(12 分分)在四棱锥在四棱锥P PABCDA
6、BCD中，中，ABABCDCD，ABAB2 2CDCD2 2BCBC2 2ADAD4 4，DABDAB60，60，AEAEBEBE，PADPAD为正三为正三角形，且平面角形，且平面PADPAD平面平面ABCDABCD.(12(12 分分)(1)(1)求二面角求二面角P PECECD D的余弦值；的余弦值；(2)(2)线段线段PCPC上是否存在一点上是否存在一点M M，使异面直线，使异面直线-4-4-6 6DMDM和和PEPE所成角的余弦值为所成角的余弦值为？假设存在，指出？假设存在，指出8 8点点M M的位置；假设不存在，请说明理由的位置；假设不存在，请说明理由解：解：设设O O是是ADAD中
7、点，中点，PADPAD为正三角形，那为正三角形，那么么POPOADAD，平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD，POPO平面平面ABCDABCD，又又ADADAEAE2 2，DABDAB60，所以60，所以ADEADE为正三角形，为正三角形，OEOEADAD.建立如下图空间直角坐标系建立如下图空间直角坐标系O Oxyzxyz，那么，那么P P0 0，0 0，3 3，E E0 0，3 3，0 0C C2 2，3 3，0 0，D D 1 1，0 0，0 0，(0(0，3 3，于是于是PCPC(2 2，3 3，3)3)，PEPE 3)3)，DPDP(1,0(1,0，3)3)(1)(1)设平面设
8、平面PECPEC的法向量为的法向量为n n1 1(x x，y y，z z)由由PCPCn n1 10 0，PEPEn n1 10 0 得一个法向量得一个法向量n n1 1(0,1,1)(0,1,1)，-5-5-平面平面EDCEDC的一个法向量为的一个法向量为n n2 2(0,0,1)(0,0,1)设二面角设二面角P PECECD D的平面角为的平面角为，那么，那么1 12 2|cos|cos|cos|cosn n1 1，n n2 2.2 22 2由图知由图知为锐角，所以二面角为锐角，所以二面角P PECECD D的的2 2余弦值为余弦值为.2 2(2)(2)设设PMPMPCPC(0(01)，那
9、么1)，那么PMPM(2 2，3 3，3 3)，DMDMDPDPPMPM(1(12 2，3 3，3 3 3 3)，PEPE(0(0，3 3，3)3)，所以，所以|cos|cosDMDM，PEPE|6|63|3|6 6|，2 26 6 101010104 48 8|DMDMPEPE|1 12 2解得解得 或或，所以存在满足题设的点，所以存在满足题设的点M M，3 33 3且点且点M M为线段为线段PCPC的三等分点的三等分点1919(12(12 分分)为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将-6-6-DMDMPEPE举行数学建模竞赛该竞赛共有举行数学建模竞赛该
10、竞赛共有 6060 名学生参加，名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下图他们成绩的频率分布直方图如下图(1)(1)估计这估计这 6060 名参赛学生成绩的中位数；名参赛学生成绩的中位数；(2)(2)为了对数据进行分析，将为了对数据进行分析，将 6060 分以下的成分以下的成绩定为不合格，绩定为不合格，6060 分以上分以上(含含 6060 分分)的成绩定为的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这6060 名学生中选取名学生中选取 1010 人，然后从这人，然后从这 1010 人中抽取人中抽取 4 4人参加座谈会，人参加座谈会，记记为抽取的
11、为抽取的 4 4 人中成绩不合格人中成绩不合格的人数，求的人数，求的分布列与数学期望；的分布列与数学期望；(3)(3)这这 6060 名学生的数学建模竞赛成绩名学生的数学建模竞赛成绩Z Z服从服从正态分布正态分布N N(，)，其中其中可用样本平均数近可用样本平均数近似代替，似代替，可用样本方差近似代替可用样本方差近似代替(同一组数据同一组数据用该区间的中点值作代表用该区间的中点值作代表)，假设成绩在，假设成绩在 4646 分以分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛总分上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛总分值为值为 100100 分，分，估计此次竞赛受到奖励的人数估计此次竞赛受到奖励的人
12、数(结果结果-7-7-2 22 2根据四舍五入保存整数根据四舍五入保存整数)参考数据：参考数据：P P(Z Z)0.682)0.682 7，7，P P(2 2 Z Z2 2)0.954 5，)0.954 5，P P(3 3 Z Z3 3)0.997 3.)0.997 3.解：解：(1)(1)设中位数为设中位数为x x，那么，那么 0.005200.005200.015200.01520(x x60)0.0260)0.020.50.5，解得，解得x x6565，所以这所以这 6060 名参赛学生成绩的中位数为名参赛学生成绩的中位数为 65.65.(3(3 分分)(2)(2)结合频率分布直方图和分
13、层抽样的方法结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的可知，抽取的1010 人中合格的人数为人中合格的人数为(0.01(0.010.02)20100.02)20106 6，不合格的人数为，不合格的人数为 10106 64.4.由题意可知由题意可知的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.C C1 1C C C C那么那么P P(0)0)，P P(1)1)4 4C C1414C C10102 23 31 18 8C C2 2C C3 3C C4 44 46 64 4C C6 6，P P(2)2)4 4，P P(3)3)4 4，P P(2121C C10107 7C C
14、101035354 46 64 410101 14 43 36 6C C1 14)4).C C210210所以所以的分布列为的分布列为4 44 44 41010-8-8-0 01 12 23 34 41 18 83 34 41 1P P1414 21217 73535 2102101 18 8所以所以的数学期望的数学期望E E()0011141421213 34 41 1565622 3344.7 735352102103535(8(8 分分)(3)(3)由由 题题 意意 可可 得得，(300.005(300.005 500.015500.0157 700.02900.01)2000.0290
15、0.01)206464，2 2(30(30 64)64)2 20.10.1 (50(50 64)64)2 20.30.3 (70(70 64)64)0.40.4(90(9064)64)0.20.2324324，那么，那么1818，由由Z Z服从正态分布服从正态分布N N(，)，得，得P P(64(641818Z Z646418)18)P P(46(4682)82)(1(1 0.6827)0.6827)0.158650.15865，2 22 22 22 2P P(Z Z45)0.692745)0.69270.1580.158 65650.8410.841 3535，所以此，所以此次竞赛受到奖励的
16、人数为次竞赛受到奖励的人数为600.841 3550.600.841 3550.(12(12 分分)(二二)选考题：共选考题：共 1010 分，请考生在第分，请考生在第 2222、2323-9-9-两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分第一题计分2222 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程(10(10 分分)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，曲线中，曲线C C1 1的参数方的参数方 x xt tcoscos，程为程为 y yt tsinsin(t t为参数且为参数且t t0 0，x xcoscos，0
17、0，)曲线曲线C C2 2的参数方程为的参数方程为 2 2 y y1 1sinsin (为参数，且为参数，且，)，以，以O O为极点，为极点，2 2 2 2x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C C3 3的极的极 坐标方程为坐标方程为1 1coscos 0 0，曲线，曲线C C4 42 2 的极坐标方程为的极坐标方程为coscos1.1.(1)(1)求求C C3 3与与C C4 4的交点到极点的距离；的交点到极点的距离；(2)(2)设曲线设曲线C C1 1与与C C2 2交于交于P P点，点，C C1 1与与C C3 3交于交于Q Q 点，当点，当在在 0
18、 0，上变化时，求上变化时，求|OPOP|OQOQ|的的2 2 最大值最大值-10-10-解：解：(1)(1)联立曲线联立曲线C C3 3，C C4 4的极坐标方程的极坐标方程 1 1coscos，0 0，2 2 coscos1 1，2 21 1 5 5得得1 10 0，解得，解得，2 21 1 5 5(舍去舍去)，2 21 1 5 5即交点到极点的距离为即交点到极点的距离为.2 2(5(5 分分)(2)(2)由题意得曲线由题意得曲线C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为 ，0 0，0 0，2 2 曲线曲线C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为2sin2sin，0 0，2 2 联立两方程得
19、联立两方程得2sin2sin，0 0，2 2 即即|OPOP|2sin2sin，0 0，.2 2 -11-11-曲线曲线C C1 1与曲线与曲线C C3 3的极坐标方程联立，得的极坐标方程联立，得 1 1coscos，0 0，即，即|OQOQ|1 12 2 coscos，0 0，2 2 所以所以|OPOP|OQOQ|1 12sin2sincoscos1 15sin(5sin()，其中其中的终边经过点的终边经过点(2,1)(2,1)，当当2 2k k，k kZ Z 时，时，|OPOP|OQOQ|2 2取得最大值为取得最大值为 1 1 5.5.(10(10 分分)2323 选修选修 4 45 5：
20、不等式选讲：不等式选讲(10(10 分分)f f(x x)|x x1|1|axax1|.1|.(1)(1)a a1 1 时，求不等式时，求不等式f f(x x)3)3 的解集；的解集；(2)(2)假设假设f f(x x)3)3x x的解集包含的解集包含 1,11,1，求求a a的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)a a1 1，f f(x x)|x x1|1|x x1|1|-12-12-2 2x x，x x1，1，2 2，1 1x x1 1，2 2x x，x x1 1，3 33 3f f(x x)3，那么)3，那么x x 或或x x，2 22 2 3 33 3所以不等式的解集为所以不等式的解
21、集为 x x|x x 或或x x2 22 2.(5(5 分分)(2)(2)f f(x x)3)3x x的解集包含的解集包含 1,11,1，即为，即为f f(x x)3)3x x在在 1,11,1上恒成立上恒成立当当x x 1,11,1，f f(x x)|x x1|1|axax1|1|1 1x x|axax1|1|，故故f f(x x)3)3x x即为即为 1 1x x|axax1|31|3x x，即即|axax1|2，1|2，所以2所以2axax12，312，3axax1.1.33 1 1 a a1，1，又因为又因为x x 1,11,1，3131a a1，1，所以所以a a 1,11,1(10(10 分分)-13-13-14-14-