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1、 达标训练 基础巩固 1.在 RtABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值()A.都没有变化 B.都扩大 2 倍 C.都缩小 2 倍 D.不能确定 思路解析：当 RtABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大小不变.答案：A 2.已知 是锐角，且 cos=54，则 sin=()A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由 cos=54，可以设 的邻边为 4k，斜边为 5k，根据勾股定理，的对边为 3k，则 sin=53.答案：C 3.RtABC 中，C=90，ACBC=13，则 cosA=_，tanA=_.思路解析：画出图
2、形，设 AC=x，则 BC=x3，由勾股定理求出 AB=2x，再根据三角函数的定义计算.答案：21，3 4.设、为锐角，若 sin=23，则=_；若 tan=33，则=_.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值 答案：60,30 5.用计算器计算：sin5130+cos4950-tan4610的值是_.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.386 0 6.ABC 中，BAC=90，AD 是高，BD=9，tanB=34，求 AD、AC、BC.思路解析：由条件可知ABC、ABD、ADC 是相似的直角三角形，B=CAD，于是有 tanCAD=tanB=34，所以可以在ABD、ADC 中
3、反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设 AD=4k，BD=3k，则 AB=5k.在 RtABC 中，tanB=34，AC=34AB=320k.BD=9,k=3.所以 AD=43=12，AC=3203=20.根据勾股定理25152022BC.综合应用 7.已知 是锐角，且 sin=54，则 cos(90-)=()A.54 B.43 C.53 D.51 思路解析：方法 1.运用三角函数的定义，把 作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为 435，(90-)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为 45，cos(90-)=54.方法 2.利用三角函数中互余角关系“
4、sin=cos(90-)”.答案：A 8.若 为锐角，tana=3，求sincossincos的值.思路解析：方法 1.运用正切函数的定义，把 作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为 3110，sin=103，cos=101，分别代入所求式子中.方法 2.利用 tan=cossin计算，因为 cos0，分子、分母同除以 cos，化简计算.答案：原式=213131tan1tan1cossincoscoscossincoscos.9.已知方程 x2-5xsin+1=0 的一个根为32，且 为锐角，求 tan.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32，进而可求出 sin
5、=54，然后利用前面介绍过的方法求 tan.解：设方程的另一个根为 x2，则(32)x2=1 x2=32 5sin=(32)+(32)，解得 sin=54.设锐角 所在的直角三角形的对边为 4k，则斜边为 5k，邻边为 3k，tan=3434kk.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图 28.1-13 是某公园(六一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC=2 m，滑梯着地点 B 与梯架之间的距离 BC=4 m.图 28.1-13(1)求滑梯 AB 的长(精确到 0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(ABC)不超过 45属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理
6、可以计算出 AB 的长，其倾斜角ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在 45范围内.解：(1)在 RtABC 中，2242 AB4.5.答：滑梯的长约为 4.5 m.(2)tanB=5.0BCAC,ABC27,ABC2745.所以这架滑梯的倾斜角符合要求.11.四边形是不稳定的.如图 28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出 的值吗？图 28.1-14 思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道 h=b21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出 的度数.解：设原矩形边长分别为 a，b，则面积为 ab，由题意得，平行四边形的
7、面积 S=21ab.又因为 S=ah=a(bsin)，所以21ab=absin，即 sin=21.所以=30.回顾展望 12.(2010 海南模拟)三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.3-15 所示，则 sin 的值是()图 28.1-15 A.43 B.34 C.53 D.54 思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C 13.(2010 陕西模拟)如图 28.1-17，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连接 CD，若O 的半径23r，AC=2，则 cosB 的值是()图 28.1-17 A.23 B.35 C.25 D.32 思路解析：利用BCD=A 计算.
8、答案：D 14.(浙江模拟)在ABC 中，C=90，AB=15，sinA=31，则 BC=()A.45 B.5 C.51 D.451 思路解析：根据定义 sinA=ABBC，BC=ABsinA.答案：B 15.(广西南宁课改模拟)如图 28.3-16，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cosBCD=()图 28.1-16 A.53 B.43 C.34 D.54 思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把B 转移到 RtADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等”，得到ADC=B.答案：B 16.(浙江舟山模拟)课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.
9、1-18，在锐角 的终边 OB 上，任意取两点 P 和 P1，分别过点 P 和 P1做始边 OA 的垂线 PM 和 P1M1，M 和 M1为垂足.我们规定，比值_叫做角 的正弦，比值_叫做角 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：_，_.说明这些比值都是由_唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 的函数.图 28.1-18 思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,OPOMOPOMOPMPOPPMOPOMOPPM，锐角 17.(2010 重庆模拟)计算：2-1-tan60+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，
10、零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2-1-tan60+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010 北京模拟)已知：如图 28.1-19，ABC 内接于O，点 D在 OC 的延长线上，sinB=21，CAD=30.图 28.1-19 (1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 ODAB，BC=5，求 AD 的长.思路解析：圆的切线问 题跟过切点的半径有关，连接 OA，证OAD=90.由 sinB=21可以得到B=30，由此得到圆心角AOD=60，从而得到ACO 是等边三角形，由此OAD=90.AD 是 RtOAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接 OA.sinB=21，B=30.AOD=60.OA=OC，ACO 是等边三角形.OAD=60.OAD=90.AD 是O 的切线.(2)解：ODAB OC 垂直平分 AB.AC=BC=5.OA=5.在 RtOAD 中，由正切定义，有 tanAOD=OAAD.AD=35.