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1、2023年九年级数学：第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数锐角三角形特殊角三角函数值平方关系锐角三角函数之间的关系-商的关系知 识 盘 点 团1.正 弦、余 弦、正 切 的 概 念如 图，在Rt/XABC中，Z C=90,NA、N B、N C的 对 边 分 别 为a、b、(1)NA的对边与斜边的比叫做/A的 正 弦,即sinA=二;(2)乙4的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，即cosA=g;(3)NA的对边与邻边的比叫做NA的正切，即tanA=*;锐角A的正弦、余弦、正切叫做NA的锐角三角函数.2.特殊南的三语函数值sin 30=2,cos 30=,2tan 30=3(2)sin 60=,
2、cos 60=,tan 60=G2(3)sin 45=72五,cos 45=,tan 45=1.23.锐南三角函数之间的关系同一锐角的三角函数之间的关系：(1)sin?A+cos2 A=1 ；名 师 讲 堂 g,自 学 笔记：锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.命题方向：利用定义求锐角三角函数值.名师点拨：Fr熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比：F斜，正切等于对比邻”.【精 讲1】如图，在RtAABC中，ZC=90%AB=13,BC=2,则下列三角函数表示正确的是（）A.sin A=B.cos A=C.t
3、an A=D.tan B=13 13 12 5【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键.【答案】A【解析】ZACB=90。，AB=13,BC=12,AC=V132-122=5,A、s inA=-,故本选项正确；AB 13B、COSA=2 =W,故本选项错误.AB 13C tan A=,故本选项错误;AC 5D tan B=,故本选项错误;BC 12故选：A.【精 讲2】在RtAABC中，NC=90。，若斜边A 5是直角边3 c的3倍，贝h a n B的值是（）A.-B.3 C.D.2 a34
4、【分析】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键.【答案】A【解析】设8C=x,则A8=3x,由勾股定理得，AC=242x,tanB=2x/2,BC x故选：A.【精 讲3 如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则c o s W C等于（【分析】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得加。所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边.【答案】B【解析】由格点可得ZA8C所在的直角三角形的两条直角边为2,4,.斜边为，2?+4?=2行.4cos Z.ABC=(=2V5故选:B.【练 习1】如图，在网
5、格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则ZABC的正切值是（)D.-2【答案】D【解析】如图:由勾股定理，得AC=近,AB=2-J2,BC=V10,.AABC为直角三角形，AC 1.tun NB=-=一,AB 2故选D.【练 习 2】如图，已知A4BC的三个顶点均在格点上,则cos A 的值为（【答案】DD.5【解析】过 3 点作BD_LAC,如图,由勾股定理得,AB=Vl2+32=710,AD=y/22+22=272AD 2近 2百cos A=-=；=-AB 5【练 习 31 如图，在RtAABC中，ZS4C=90,4)_L B C于点力，则下列结论不正确的是()AB BCC.
6、sinB=ACD.sin八 生AC【答案】C【解析】在RtAABC中,ABAC=90,sin B=BCA D LB C,.sin八 丝ABDCsin B=sin ADAC=,AC综上，只有C不正确故选C.【练 习 4 如图，点(0,3),0(0,0),。(4,0)在_4上，9是A的一条弦，则A.-B.-C.-D.-2 4 5 5【答案】D【解析】连接C D,如图所示：0(0,3),C(4,0),OD=3，OC=4 9NCOD=90。,:.CD=/32+42=5，ZOBD=ZOCD,sin ZOBD=sin ZOCD=-=-.CD 5故选D.【练 习5】如图，P(12,a)在反比例函数y=包图象
7、上，轴于H,则tanZPO”【解析】P(12,a)在反比例函数尸如图象上,X：6 0匚.a=5,12尸”Lx轴于”，:.PH=5,OH=2,tan ZPOH=,12故答案为:512,自 学 笔记：同一锐角的三角函数之间的关系：（1）sin2 A 4-cos2 A=1；/小、sin A A（2）=tan A.cos A产命题方向：利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值尸名师点拨：三角函数式乘方时，一般将指数写在三角函数符号与角之间，如s in e的平方（sin 一般写成sin2 a .【精 讲4】在 RlAABC 中，ZC=90%若 sinA=，则 cosA 的值为（）13A.B.C.-D.1
8、2 13 3 13【分析】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角a ,都有sin2a+cos2cr=l.【答案】D【解析】sin?A+cos2 A=9 即（9尸 +cos2 A=1 ,13、人 144二 cos-A=-，169cos A=或-U （舍去）,13 13.cos A=13故选：D.【精 讲5】RtAABC中，ZC=9 0 ,已知cosA=。，那么tanA等于（）A.-B.-C.-D.-3 4 5 4【分析】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.【
9、答案】A【解析】.cosA ul 知，设 A=3 x,则 c=5 x,根据 a2+/=c?得 =4x.,a 4x 4tan A=-=一 t 3x 3故选：A.【练 习6】在 RtAABC 中，NC=90。，tanA=,则 cosA 等于（）12A.A B.C.D.12 5 13 13【答案】D设 BC=5x,5tan A=，12.0.AC=12x,AB=JAC2+BC2=13x,.csA=拦AB 13x1213故选D.【练 习7】如图，。是的边 3上一点，且点。的横坐标为3,则tan(7=()5 4 3 5【答案】COQ=3，由 0Q2+PQ2=O尸可得 32+（44）2 =（5a,解得：a=
10、（负值舍去），:.PQ=4,OP=5,则 tana=丝，OQ 3故选C.【练 习8】在RtAABC中，NC=90。，sinA=,则tanA的值为（）13A.B.C.D.13 12 12 5【答案】B【解析】在 RtAABC 中，ZC=90,sinA=一，AB 13.设 3 c =5%,则 钻=13A,根据勾股定理可以得到：AC=y/AB2-BC2=2k,t a n A AC5kUk512故选B.【练 习9】sin?40。+cos?40。的值为()A.0 B.-C.1 D.22【答案】C 解析sin2 40+cos2 40=l.故选C.【练 习1 0】在RtAABC中，ZC=90,sinA=|,
11、贝UcosA的值等于()A.-B.-C.-D.且5 5 4 5【答案】B【解析】sinA=sin4=,c可设a=3,c=5,由勾股定理可求得。=4,c 5故选B.自学笔记:j;sin 3 0=-,cos 30=,tan 30=i2 23(2)sin 60=,cos 60=,2 2tan 60=V31(3)5 万sin 45=,cos 45=2 2,tan 45=1.命题方向:利用特殊三角函数值进行简单计算尸名师点拨：熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.1.已知一个特殊的正弦值，余弦值及正切值，可求出相应锐角的读数.2.锐角三角函数值取决于角的读数，而不取决于它是怎么样的三角
12、形.【精 讲 6】计算出2 45。+8$30。而60。，其结果是（）A.2 B.1 C.-D.-2 4【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.【答案】A【解析】原式=（变-与2 21 3=I-2 2=2 故 选:A.【精 讲7】计算：sin45+cos2 30-5 +2sin 60.4 2*tan 60【分析】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键.【答案】1+班6【解析】原 式=争 +争-壶+246【练 习11 计算：（；尸-2匕1145。+45皿60。-正【答案】0【解析】原式=2-2x1+4 x 3 2
13、62=2-2 +2 6-2百=0.【练 习12 计算：6 tan2 300-/3 sin 600-2 sin 450【答案】1,7 22【解析】6tan230-V3sin60-2sin45Z-木、2 A百 正=6x（）-V3 x-2x32 22-尬.2故答案为：-x/2.2【练 习13计算：（一；）。+【答案】2+6【解析】原式=I+3X|6-I I-V 5I=1+2 6-6+1=2+G .【练习 14计算：2cos2 45。+1皿60。.30。-8560。【答案】-2【解析】原式=2x（弓）2+g x。；=14-1-2_3 2【练习 15】计算：1011308560+100458$30.【答
14、案】述3【解析】tan30cos60+tan45cos3032X17232X+gTeT_ 2A/33尸自学笔记：锐角三角函数值的增减性：锐 角a的正弦sina值随着N a的增大而增大；锐角a的余弦cosa值随着N a的增大而减小；锐 角a的正切tana值随着Na的增大而增大.命题方向：1.利用三角函数在090。的增减性比较大小.2.利用三角函数在0。90。的增减性求角的范围.尸名师点拨：熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.【精 讲7】三角函数s in3 1。、c o s l 6。、c o s 4 3。之间的大小关系是（）A.s in 3 1 0 c o s 1 60
15、c o s 4 3 B.c o s 4 3 0 s in 3 1 0 c o s 1 6C.s in3 1 0 c o s 4 30c o s l 6 D.s inl 60 c o s 3 1 0 又1 6。4 3。c o s 4 3 s in 3 1 .故选：C.【精 讲8】已知：cos a=9 贝（J a 范围是（）3A.0 0 a 3 0 B.3 0 a 4 5 C.4 5 a 60 D.60 a 90【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数值的变化规律:正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小是解题的关键.【答案】C【解析】c o s
16、3 0 =0.866,c o s 4 5 =0.7 0 7 ,c o s 60 =0.5 ,2 2锐角的余弦值随着角度的增大而减小，c o s e =2 =0.67,3.4 5 a t a n60 0 ,/.60 Z A90.故选D.【练 习1 7 已知角。为A A B C的内角，且c o s a =2,则。的取值范围是（）3A.0 a 3 0 B.3 0 a 4 5 C.4 5 a 60 D.60 2 21 2 V 3.,2 3 2/.c o s 60 cos a c o s 4 5，/.4 5 a 1,X sin800l,/.sin800tan50;故答案为：.【练 习2 0 若/4为锐角，且cosA，则的取值范 围是一4【答案】60ZA90【解析】o i i,4 2又cos60。，cos90=0,锐角余弦函数值随角度的增大而减小,2.当 cosA 时，60ZA90.4故答案为：60ZA90.