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1、不等式不等式1.1.不等式的性质：不等式的性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若a b,c d,则a c bd，（若，但异向不等式不能相加，同向不等式不能相减；a b,c d,ac bd）（2）左右同正不等式：左右同正不等式：同向的不等式可以相乘同向的不等式可以相乘，但不能相除（a b 0,c d 0,ac bd）；异向不等式可以相除异向不等式可以相除，但不能相乘（a b 0,0 c d.ab）cdnn（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方（a b 0,a b.na nb）（4）ab 0,a b
2、1111；ab 0,a b abab题:下列命题正确的有_a b ac bc;ac bc a b;a b 0 a ab b;22222211ba;a b 0;a b 0 a b;ababab11c a b 0;a b,a 0,b 0cacbaba b 0已知1 x y 1,1 x y 3，则3x y的取值范围是_2.2.不等式大小比较的常用方法：不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号，得出结果（2）作商：（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法（4）平方法（5）分子（或分母）有理化（6）利用函数的单调性（7）寻找中间量或放缩法（8）图像法。（1）（2）
3、是最基本的方法。例：设a 0,a 1,t 0，比较设a 2,p a1t 1的大小logat和loga2221,q 2a 4a2，比较 p，q 的大小。a2比较1logx3与2logx2(x 0,x 1)的大小3.3.利用重要不等式求函数最值：一正二定三相等，和定积最利用重要不等式求函数最值：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小大，积定和最小例：下列命题中正确的是1x23A.y x的最小值是2B.y 的最小值是 22xx 2C.y 23x44的最大值是24 3D.y 23x的最小值是24 3xx若x2y 1,则2x4y的最小值是_正数正数x,y满足x2y 1,则11的最小值为_xy4.4.常用
4、不等式常用不等式a2b2ab2ab（1）a 0,b 0,1122ab（2）a,b,cR,a b c abbc ac，当且仅当a b c时取等号（3）a b 0,m 0222bbm（糖水的浓度问题）aam例：如果正数a,b满足ab ab3，则ab的取值范围是_5.5.证明不等式的方法证明不等式的方法比较法、分析法、综合法和放缩法常用放缩技巧：11111112nn1n(n1)nn(n1)n1n111k k 1k 1k2 kk 1kk 1k 例：（1）已知a b c,求证a bb cc a ab bc ca（2）已知a,b,cR,求证：a b b c c a abc(abc)（3）已知a,b,x,y
5、R，2222222222221a1xy,x y,求证bxay b（4）若a,b,c是不全相等的正数，求证lgabbccalglg lgalgblgc222（5）若nN,求证:(n1)21(n1)n21n（6）已知a b,求证:a baba bab（7）求证：1111.22232n26.6.简单的一元高次不等式的解法：简单的一元高次不等式的解法：标根法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并是每一个因式中最高次项的系数为正并是每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；（注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回）（3）根据曲线显
6、现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。例：解不等式(x1)(x2)0不等式(x2)x22x3 0的解集是_设函数f(x)、g(x)的定义域都是 R，且f(x)0的解集为x1 x 2，g(x)0的解集为空集，则不等式f(x)g(x)0的解集为_2要使满足关于x的不等式2x 9xa 0(解集非空）的每一个x的值至少满足不等式2x26x8 0和x24x3 0中的一个，则实数a的取值范围是_7.7.分式不等式的解法分式不等式的解法分式不等式的解题思路一般是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使并使每一个因式中最高次项的系数为正每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不
7、等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例：解不等式关于x的不等式axb 0的解集为(1,)，则关于x的不等式_5 x 12x 2x3axb 0的解集是x28.8.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法（1）分段讨论法（最后取各段的并集最后取各段的并集）如：解不等式231x 2 x42（2）利用绝对值的定义（3）数形结合：如解不等式x x1 3（4）两边平方：若不等式3x2 2xa对xR恒成立，则实数a的取值范围为_9.9.含参数不等式的解法含参数不等式的解法求解的通法：定义域为前提，定义域为前提，函数增减性为基础，函数增减性为基础，分类讨论是关键。分类讨论是关键。注意解完之后写
8、上：综上，原不等式的解集是.。注注：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论，最后应求并集。例：若loga21，则a的取值范围是_3ax2 x(aR)解不等式ax1注：注：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是对不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。关 于x的 不 等 式axb 0的 解 集 为(,1)，则 不 等 式_x3 0的 解 集 为axb10.10.含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质（1）a、b同号或有0 ab a b a b ab（2）a、b异号或有0 ab a b a b ab例：设f(x)x x13
9、，实数a满足xa 1，求证f(x)f(a)2(a 1)211.11.不等式的恒成立，能成立，恰成立问题不等式的恒成立，能成立，恰成立问题（1）恒成立问题：恒成立问题：常用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法若不等式f(x)A在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min A若不等式f(x)B在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max B例：设实数x,y满足x(y 1)1，当x y c 0时，c的取值范围是_不等式x4 x3 a对一切实数x恒成立，实数a的取值范围是_22(1)n1若不等式(1)a 2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是nn_若不等式x 2mx2m1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围_(2)(2)能成立问题能成立问题若在区间 D 上存在实数x使不等式f(x)A成立，则等价于在区间 D 上f(x)max A若在区间 D 上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D 上f(x)min B2例：已知不等式x5 x4 a在实数集R上的解集不是空集，则实数a的取值范围是_(3)(3)恰成立问题恰成立问题若不等式f(x)A在区间 D 上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为 D；若不等式f(x)B在区间 D 上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为 D。