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1、A2A3OA6A5A4A1数学（理科）试卷（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）2016.1 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1已知全集1,2,3,4U，是的子集，满足1,2,32A，1,2,3AU，则集合=2若复数1zai（i是虚数单位）的模不大于 2，则实数 a 的取值范围是 3行列式cos20sin20sin40cos40的值是 4若幂函数 xf的图像过点22,2，则 12f=5若等比数列 na满足135aa，且公比2q，则35aa 6若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆
2、柱、球的表面积分别记为、则有12:SS 7如图所示的程序框图，输出的结果是 8将函数)32sin(xy图像上的所有点向右平移6个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 9一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3只白球，2 只黑球从中一次性随机摸出 2 只球则恰好有 1 只是白球的概率为 （结果用数值表示）10在ABC中，内角、所对的边分别是、.已知14bca，2sin3sinBC，则cos A=11若7(1 3)x展开式的第 4 项为280，则2limnnxxx 12已知抛物线2:4C yx的准线为，过(1,0)M且斜率为的直线与相交于点，
3、与抛物线的一个交点为若2AMMB，则 量与iOA13已知正六边形126A AA内接于圆，点为圆上一点，向的夹角为（1,2,6i），若将126,从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第 3 项为 14已知函数()f x，对任意的1,)x，恒有(2)2()fxf x成立，且当1,2)x时，()2f xx.则方程1()3f xx在区间1,100上所有根的和为 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15已知双曲线2215xym的右焦点与抛物线212yx的焦点相同，则
4、此双曲线的渐近线方程为 52yx 2 55yx 53yx 3 55yx 16设,a bR，则“ab”是“ab”的 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 17.在正方体1111ABCDA B C D中，、分别是棱、1AA的中点，、分别是线段1D E与1C F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有 0 条 1 条 2 条无数条 18在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”.已知数列1，2.第一次“H 扩展”后得到 1，3，2；第二次“H 扩展”后得到 1，4，3，5，2；那么第 10 次“H 扩展”后得
5、到的数列的所有项的和为 88572 885752952329526 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 如图，在三棱锥ABCP 中，PA平面ABC，ABAC，4 BCAP，30ABC,ED、分别是APBC、的中点（1）求三棱锥ABCP 的体积；（2）若异面直线与所成的角为，求tan的值.20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2小题满分 7 分 已知函数2()2sincos2 3co
6、s3f xxxx（1）当0,2x时，求函数f(x)的值域；（2）求函数y=f(x)的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为 30 米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟米，每分钟的用氧量为2190 x升；水底作业需要 10 分钟，每分钟的用氧量为0.3 升；返回水面时，速度为每分钟12x米，每分钟用氧量为升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升（1）将表示为的函数；（1）若4,8x，求总用氧量的取值范围 22（本题满分
7、16 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题中 5 分、第 2 小题 8 分）FED1C1B1A1CBADEPABCD第 7题图 是 否 开始 3a1 aa输出 结束 1,1ab 2abb 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，C、D 两点的坐标为(1,0),(1,0)CD,曲线上的动点 P满足2 3PCPD又曲线上的点 A、B 满足OAOB（1）求曲线的方程；（2）若点 A在第一象限，且32OAOB，求点 A的坐标；（3）求证：原点到直线 AB 的距离为定值 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分 对于数列
8、na，称122311()()1kkkP aaaaaaak（其中2,kkN）为数列 na的前k项“波动均值”.若对任意的2,kkN，都有1()()kkP aP a，则称数列 na为“趋稳数列”（1）若数列 1，2 为“趋稳数列”，求的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列 nb的公比(0,1)q，求证：nb是“趋稳数列”；（3）已知数列 na的首项为 1，各项均为整数，前项的和为.且对任意2,kkN，都有3()2()kkP SP a，试计算：23232(1)nnnnnC P aC P anC P a（2,nnN）松江区 2015 学年度第一学期高三期末考试 数学（理科）试卷参考答案 2016.
9、1 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 12,4 23,3 312 414 5 63:2 7 8sin4x 9 1014 1125 122 2 13512 1411902 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 15A 16B 17D 18B 19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 解：(1)由已知得，,32,
10、2ABAC2 分 所以，体积33831PASVABCABCP5 分(2)取AC中点，连接EFDF,，则DFAB/，所以EDF就是异面直线与所成的角.8 分 由已知，52,32,2PCABADEAAC，EFDFEFAB,.10 分 在EFDRt中，5,3EFDF，所以，315tan.12 分 20（满分 14 分）本题有 3 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 3 分，第,3 小题 4 分 解：（1）()f x22sincos2 3cos3xxxsin23cos22sin(2)3xxx4 分 当0,2x时，22,333x，所以()f x的值域为3,27 分（2）()2sin(2)13f x
11、x1sin(2)32x，9 分 2236xk或52236xk，kZ12 分 当()1f x 时，两交点的最短距离为314 分 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 解：（1）下潜所需时间为30 x分钟；返回所需时间为60 x分钟 2 分 213060100.30.290yxxx5 分 1233xyx(0)x 6 分（2）12122433xxxx，当且仅当123xx，即6x 时取等号.8 分 因为4,8x，所以1233xyx在4,6上单调递减，在6,8上单调递增 所以6x 时，取最小值 7 11 分 又4x 时，173y；8x 时，
12、176y，13 分 所以的取值范围是17,73 14 分 22.（本题满分 16 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题中 5 分、第 2 小题 8 分）解（1）由2CD，2 32PCPD知，曲线 E是以 C、D为焦点，长轴2 3的椭圆，1分 设其方程为22221xyab，则有3,1ac，曲线 E 的方程为22132xy 3分（2）设直线 OA 的方程为(0)ykx k，则直线 OB 的方程为1(0)yx kk 由22236xyykx 得222236xk x，解得212623xk.4 分 同理，由则222361xyyxk 解得2222623kxk.5分 由32OAOB 知2243OAOB，即2
13、22226164(1)3(1)2323kkkkk6分 解得26k，因点 A 在第一象限，故6k，7分 此时点 A 的坐标为30 3 5(,)1058分（3）设11(,)A x y，22(,)B xy，当直线 AB平行于坐标轴时，由OAOB知 A、B 两点之一为yx 与椭圆的交点，由22236xyyx 解得305305xy 此时原点到直线 AB的距离为305d 10分 当直线 AB不平行于坐标轴时，设直线 AB的方程xmyb，由22236xyxmyb 得222(23)4260mybmyb12分 由12120 x xy y得1212()()0myb myby y 即221212(1)()0my y
14、mb yyb 因 2121222426,2323bmbyyy ymm 14 分 代入得 2222222264(1)02323bb mmbmm 即2256(1)bm15 分 原点到直线 AB 的距离2630551bdm16分 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分 解：（1）由题意1212xxx，即12xx2 分 解得32x 4 分（2）由已知，设111(0)nnbb qb，因10b 且01q，故对任意的2,*kkN，都有1kkbb5 分 122311()()1kkkP bbbbbbbk221122311(1)(
15、)(1)11kkkbqbbbbbbqqqkk2111(1)()(1)kkbqP bqqqk，7 分 因01q1(1)ikqqik 11kq,1kqq,21kqq,21kkqq,2211(1)kkqqqkq8 分 22221(1)(1)(1)kkkkqqqkqqqq 22221(1)(1)1kkkqqqqqqqkk 2222111(1)(1)(1)(1)1kkkbqqqqbqqqqqkk 即对任意的2,*kkN，都有1()()kkP bP b，故 nb是“趋稳数列”10 分(3)当2k 时，122312311()()()11kkkkP SSSSSSSaaakk 当3k 时，12311()()2k
16、kP Saaak 1(1)()(2)()kkkkP SkP Sa 同理，11(1)()(2)()kkkkkP akP aaa 12 分 因3()2()kkP SP a 3(1)()2(1)()kkkP SkP a 113(2)()2(2)()kkkP SkP a 即132kkkaaa 14 分 所以132()kkkaaa或 132()kkkaaa 所以 12kkaa 或 125kkaa 因为11a，且kaZ，所以12kkaa，从而1(2)kka 16 分 所以2113(21)()(1(2)(2)(2)(2)(2)11kkkkP akk 23423423(1)nnnnnnC P aC P aC P anC P a 2324312343(2222)()nnnnnnnnnnnCCCCCCCC 1133(321)(21)(321)22nnnnnn 18 分