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1、 8-1 复数复数一一.复数复数F表示形式：表示形式：F=a+jb1、代数形式：下 页上 页返回本章2、三角形式：F=|F|（cos +jsin ）|F|为复数的模，为复数的幅角。a=|F|cos b=|F|sin 或：或：第1页/共37页=|F|指数形式(exponential form)F=|F|（cos +jsin ）4、极坐标形式(polar form)：3、指数形式：欧拉公式欧拉公式(Eulers identity)下 页上 页返回本节第2页/共37页二二 复数运算复数运算则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算代数形式代数形式F1F2+1+jOF1=a1+
2、jb1F2=a2+jb2若+1+jOF1F2-F2F=F1-F2F=F1+F1下 页上 页返回本节第3页/共37页(2)(2)乘除运算乘除运算指数形式或极坐标形式指数形式或极坐标形式F1 F2所以：乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；则下 页上 页返回本节除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。第4页/共37页(3)旋转因子：旋转因子：A ej 任意复数相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故把 ej 称为旋转因子。+1+jOej aA A ej 复数复数 ej =cos +jsin =1 复数ej =1 是一个模为1，辐角为 的复数。下 页上 页返回本节第5页/共37页8.2
3、8.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量(sinusoid variable)瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(t+)波形：波形：t/iOT周期周期T(period)和频率和频率f(frequency):频率频率f f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：HzHz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s s，秒，秒正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f(t+kT T)下 页上 页返回本章第6页/共37页l 正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路
4、）称为正路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。弦电路或交流电路。正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。十分重要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页返回本节第7页/共37页(1)(1)幅值幅值 (amplitude)(振幅、振幅、最大值最大值)Im(2)(2)角频率角频率(angular
5、 frequency)2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3)初相位初相位(initial phase angle)Im2 单位：rad/s ，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。i(t)=Imcos(t+)t/iOT t 下 页上 页返回本节第8页/共37页同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定：一般规定：|。=0 =/2下 页上 页返回本节第9页/共37页3.3
6、.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)设设 u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)则则 相位差相位差：j j =(t+u)-(t+i)=u-ij j 0，u超前超前I j j 角，或角，或i 落后落后u j j角角(u比比i先到达最大值先到达最大值)；j j 0 i 超前超前u j j 角角，或或u 滞后滞后 i j j 角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。等于初相位之差等于初相位之差规定：规定：|(180)(180)。下 页上 页返回本节第10页/共37页j j 0，同相：同相：j j =(180o)，反相：特殊相位
7、关系：特殊相位关系：tu,iu i0 tu,iu i0j=/2/2：u 领先领先 i/2/2,不说不说 u 落后落后 i 3/2；i 落后落后 u/2/2,不说不说 i 领先领先 u 3/2。tu,iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页返回本节第11页/共37页例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。数、同符号，且在主值范围比较。下 页上 页返回本节第12页/共37页4.周期
8、性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流i电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-mean-square)(root-mean-square)物物理理意意义义下 页上 页返回本节第13页/共37页同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效
9、值设设 i(t)=Imcos(t+)下 页上 页返回本节第14页/共37页同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。（1 1）工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压压水水平平时时应应按按最最大大值考虑。值考虑。（2 2）测量中
10、，交流测量仪表指示的电压、电流读数一）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注下 页上 页返回本节第15页/共37页8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出：问题的提出：电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。+_RuLCi下 页上 页返回本章第16页/共37页正弦量正弦量复数复数实际是变换实际是变换的思想的思想下 页上 页返回本节8.3 8.3 相量法的基础相量法的基
11、础第17页/共37页造一个复函数造一个复函数对对A(t)取实部：取实部：对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、，复常数包含了复常数包含了I I ,。A(t)还可以写成还可以写成复常数无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义1.1.正弦量的相量表示正弦量的相量表示下 页上 页返回本节第18页/共37页称称 为正弦量为正弦量 i(t)对应的相量。对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以
12、建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1：试用相量表示试用相量表示i,u.解：解：下 页上 页返回本节第19页/共37页在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图例例2 2：试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解：解：l 相量图相量图 q q下 页上 页返回本节第20页/共37页2.2.相量法的应用相量法的应用(1)(1)同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2=i3可得其相量关系为：可得其相量关系为：下 页上 页返回
13、本节第21页/共37页例例下 页上 页返回本节2.2.相量法的应用相量法的应用第22页/共37页（2 2）正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算微分微分运算运算:积分积分运算运算:下 页上 页返回本节第23页/共37页注：注：正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图返回本节下 页上 页第24页/共37页8.4 8.4 电路定理的相量形式电路定理的相量形式1.1.电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域
14、形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+-相量关系：相量关系：UR=RI u=i下 页上 页返回本章第25页/共37页相量图：相量图：u=i同同相相位位下 页上 页返回本节第26页/共37页时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量形式：相量模型相量模型j L+-相量关系：相量关系：有效值关系：有效值关系：U=LI 相位关系：相位关系：u=i+902.2.电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页返回本节第27页/共37页感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1)(1)表示限制电流的能力；表示限
15、制电流的能力；(2)(2)感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；相量表达式相量表达式:XL=L=2 fL，称为感抗，单位称为感抗，单位 BL=-1/L=-1/2 fL，称为感纳，单位为称为感纳，单位为S S 感抗和感纳感抗和感纳inductive reactance and inductive susceptance 下 页上 页返回本节第28页/共37页 i相量图：相量图：电压超前电电压超前电流流900下 页上 页返回本节第29页/共37页时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-+-有效值关系：有效值关系：IC=CU 相位关系：相位关系：i=u+90 相
16、量关系：相量关系：3.3.电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页返回本节第30页/共37页频率和容抗成反比频率和容抗成反比,w0，|XC|直流开路直流开路(隔直隔直)容抗与容纳容抗与容纳相量表达式相量表达式:XC=,称为容抗称为容抗(capacitive reactance),单位单位 B B C=C,称为容纳称为容纳(capacitive susceptance),单位单位 S S 下 页上 页返回本节第31页/共37页 u相量图：相量图：电流超前电电流超前电压压900下 页上 页返回本节第32页/共37页4.4.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正
17、正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。下 页上 页返回本节第33页/共37页例例1 1+_5 uS0.2 Fi解：解：相量模型相量模型+_5-j5 下 页上 页返回本节第34页/共37页例例2 2+_15 u4H0.02Fi解：解：相量模型相量模型j20-j15+_15 下 页上 页返回本节第35页/共37页j L+_RA4AA1A2A3 已知图示电路各交流表的读数为已知图示电路各交流表的读数为A1为为5A，A2为为20A，A3为为25A，求表，求表A和和A4的读数的读数下 页上 页返回本节解：解：设：设：则：则：所以所以A的读数为的读数为7.07A，A4读数为读数为5A例例3第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页