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1、二、内容提要 1 定积分的定义定义的实质几何意义 物理意义2 可积和 可积的两个充分条件3 定积分的性质线性性可加性非负性第第2页页/共共39页页第1页/共39页比较定理估值定理 积分中值定理积分中值公式若M 和 m 是第第3页页/共共39页页第2页/共39页 变上限定积分及其导数 第第4页页/共共39页页第3页/共39页牛顿莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式微积分基本公式第第5页页/共共39页页第4页/共39页 利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)
2、无界函数的广义积分无界函数的广义积分第第6页页/共共39页页第5页/共39页三、典型例题例例1 1解解第第7页页/共共39页页第6页/共39页例2广义积分中值定理设f(x)在 a,b上连续，g(x)在 a,b上可积，且不变号，则证因f(x)在 a,b上连续，故f(x)在 a,b上必取得 最大值M和最小值m，又g(x)在 a,b上不变号故不妨设第第8页页/共共39页页第7页/共39页若则由上式知可取a,b内任一点若由介值定理第第9页页/共共39页页第8页/共39页例3 证明证一由广义积分中值定理证二第第10页页/共共39页页第9页/共39页例4求极限证三第第11页页/共共39页页第10页/共39
3、页解 第第12页页/共共39页页第11页/共39页如果能把数列的通项写成的形式就可以利用或把数列极限问题转化为定积分 的计算问题与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数 f(x)的定积分第第13页页/共共39页页第12页/共39页解解例例 5 5第第14页页/共共39页页第13页/共39页解解是偶函数是偶函数,例例 6 6第第15页页/共共39页页第14页/共39页证明Cauchy-Schwarz不等式证例7第第16页页/共共39页页第15页/共39页记 则另证第第17页页/共共39页页第16页/共39页定积分不等式的证明方法定积分不等式的证明方法辅助函数法辅助函数法将一个积分限换成变
4、量，移项使一端为将一个积分限换成变量，移项使一端为 0另一端即为所求作的辅助函数另一端即为所求作的辅助函数 F(x)判定单调性，与端点的值进行判定单调性，与端点的值进行比较即得证比较即得证第第18页页/共共39页页第17页/共39页例8设 求解第第19页页/共共39页页第18页/共39页这是 型未定式的极限解由LHospital法则a =0 或 b=1 将 a=0 代入知不合题意故b=1例9 试确定 a,b 的值使第第20页页/共共39页页第19页/共39页证明证一由定积分的定义（因 f(x)是凸函数）证二 记 则a 0例10 设第第21页页/共共39页页第20页/共39页上凸故其上任一点的切
5、线都在曲线的上方在 x=a 处的切线方程为证三易证明当 t 0 时有 或又曲线第第22页页/共共39页页第21页/共39页例11设 f(x)在 a,b 上连续且 f(x)0 证明第第23页页/共共39页页第22页/共39页令则 F(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导即 F(x)单调增设则由介值定理得即证第第24页页/共共39页页第23页/共39页解例12第第25页页/共共39页页第24页/共39页例例13 设设 f(x)在在 0,1 上连续，且单调不增上连续，且单调不增证明证明 对任何对任何有有证一证一由积分中值定理由积分中值定理再由再由f(x)单调不增单调不增第第26页页/共共39页
6、页第25页/共39页证二证二则则F(1)=0再由再由f(x)单调不增单调不增第第27页页/共共39页页第26页/共39页证三证三证四证四第第28页页/共共39页页第27页/共39页证五证五由由f(x)单调不增单调不增第第29页页/共共39页页第28页/共39页例例14 计算计算解一解一=0=0第第30页页/共共39页页第29页/共39页第第31页页/共共39页页第30页/共39页解二解二由定积分换元法知由定积分换元法知第第32页页/共共39页页第31页/共39页例例15 证明证明 方程方程在在(0,1)内至少有一根内至少有一根证证则则 F(x)在在 0,1 上连续，在上连续，在 (0,1)内可
7、导内可导第第33页页/共共39页页第32页/共39页由由 Rolle 定理定理在在(0,1)内至少有一根内至少有一根例例16 已知周期为已知周期为L的函数在的函数在上是连续的奇函数，证明上是连续的奇函数，证明也是以也是以L为周期的函数为周期的函数证一证一第第34页页/共共39页页第33页/共39页对称区间上奇函数的积分第第35页页/共共39页页第34页/共39页证二证二第第36页页/共共39页页第35页/共39页例例18 设设 f(x),g(x)在在 a,b 上连续，证明上连续，证明证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)则则 F(a)F(b)的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论第第37页页/共共39页页第36页/共39页两边积分得两边积分得则则 F(x)在在 a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导且且F(a)=F(b)=0由由 Rolle 定理知定理知第第38页页/共共39页页第37页/共39页注：注：辅助函数法辅助函数法证明定积分等式证明定积分等式主要主要适用于证明在积分限中至少存在一点适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题使等式成立的命题移项使一端为移项使一端为 0另一端即为验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理第第39页页/共共39页页第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页