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1、会计学1第五第五(d w)定积分定积分 习题课习题课第一页，共39页。二、内容提要(ni rn t yo)1 定积分(jfn)的定义定义(dngy)的实质几何意义 物理意义2 可积和 可积的两个充分充分条件3 定积分的性质线性性可加性非负性第第2页页/共共39页页第1页/共39页第二页，共39页。比较定理估值定理(dngl)积分(jfn)中值定理积分(jfn)中值公式若M 和 m 是第第3页页/共共39页页第2页/共39页第三页，共39页。变上限定变上限定变上限定变上限定(xindng)(xindng)积分及积分及积分及积分及其导数其导数其导数其导数 第第4页页/共共39页页第3页/共39页第
2、四页，共39页。牛顿(ni dn)莱布尼茨公式定积分定积分(jfn)(jfn)的计算法的计算法（1）换元法）换元法换元积分(jfn)公式（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式微积分基本公式第第5页页/共共39页页第4页/共39页第五页，共39页。利用对称利用对称(duchn)区间上区间上奇偶函数的性质简化定积分的奇偶函数的性质简化定积分的计算计算广义广义(gungy)积分积分(1)无穷限的广义无穷限的广义(gungy)积分积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分第第6页页/共共39页页第5页/共39页第六页，共39页。三、典型(dinxng)例题例例1 1解解第第7页页/共共39页页第
3、6页/共39页第七页，共39页。例2广义(gungy)积分中值定理设f(x)在 a,b上连续(linx)，g(x)在 a,b上可积，且不变号，则证因f(x)在 a,b上连续(linx)，故f(x)在 a,b上必取得 最大值M和最小值m，又g(x)在 a,b上不变号故不妨设第第8页页/共共39页页第7页/共39页第八页，共39页。若则由上式知可取(kq)a,b内任一点若由介值定理(dngl)第第9页页/共共39页页第8页/共39页第九页，共39页。例3证明(zhngmng)证一由广义(gungy)积分中值定理证二第第10页页/共共39页页第9页/共39页第十页，共39页。例4求极限(jxin)证
4、三第第11页页/共共39页页第10页/共39页第十一页，共39页。解 第第12页页/共共39页页第11页/共39页第十二页，共39页。如果(rgu)能把数列的通项写成的形式(xngsh)就可以(ky)利用或把数列极限问题转化为定积分 的计算问题与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数 f(x)的定积分第第13页页/共共39页页第12页/共39页第十三页，共39页。解解例例 5 5第第14页页/共共39页页第13页/共39页第十四页，共39页。解解是偶函数是偶函数,例例 6 6第第15页页/共共39页页第14页/共39页第十五页，共39页。证明(zhngmng)Cauchy-Schwar
5、z不等式证例7第第16页页/共共39页页第15页/共39页第十六页，共39页。记 则另证第第17页页/共共39页页第16页/共39页第十七页，共39页。定积分定积分(jfn)不等式的证明方法不等式的证明方法辅助函数法辅助函数法将一个积分限换成变量，移项使一端为将一个积分限换成变量，移项使一端为 0另一端即为所求作的辅助另一端即为所求作的辅助(fzh)函数函数 F(x)判定单调性，与端点的值进行判定单调性，与端点的值进行(jnxng)比较即得证比较即得证第第18页页/共共39页页第17页/共39页第十八页，共39页。例8设 求解第第19页页/共共39页页第18页/共39页第十九页，共39页。这是
6、 型未定式的极限(jxin)解由LHospital法则(fz)a =0 或 b=1将 a=0 代入知不合(bh)题意故b=1例9 试确定 a,b 的值使第第20页页/共共39页页第19页/共39页第二十页，共39页。证明(zhngmng)证一由定积分(jfn)的定义（因 f(x)是凸函数）证二记 则a 0例10 设第第21页页/共共39页页第20页/共39页第二十一页，共39页。上凸故其上任(shng rn)一点的切线都在曲线的上方在 x=a 处的切线(qixin)方程为证三易证明(zhngmng)当 t 0 时有 或又曲线第第22页页/共共39页页第21页/共39页第二十二页，共39页。例1
7、1设 f(x)在 a,b 上连续(linx)且 f(x)0 证明第第23页页/共共39页页第22页/共39页第二十三页，共39页。令则 F(x)在 a,b 上连续(linx)，在(a,b)内可导即 F(x)单调(dndio)增设则由介值定理(dngl)得即证第第24页页/共共39页页第23页/共39页第二十四页，共39页。解例12第第25页页/共共39页页第24页/共39页第二十五页，共39页。例例13 设设 f(x)在在 0,1 上连续上连续(linx)，且单调不增，且单调不增证明证明(zhngmng)对任何对任何有有证一证一由积分由积分(jfn)中值定理中值定理再由再由f(x)单调不增单调
8、不增第第26页页/共共39页页第25页/共39页第二十六页，共39页。证二证二则则F(1)=0再由再由f(x)单调单调(dndio)不增不增第第27页页/共共39页页第26页/共39页第二十七页，共39页。证三证三证四证四第第28页页/共共39页页第27页/共39页第二十八页，共39页。证五证五由由f(x)单调单调(dndio)不增不增第第29页页/共共39页页第28页/共39页第二十九页，共39页。例例14 计算计算(j sun)解一解一=0=0第第30页页/共共39页页第29页/共39页第三十页，共39页。第第31页页/共共39页页第30页/共39页第三十一页，共39页。解二解二由定积分换
9、元法知由定积分换元法知第第32页页/共共39页页第31页/共39页第三十二页，共39页。例例15 证明证明(zhngmng)方程方程在在(0,1)内至少内至少(zhsho)有一根有一根证证则则 F(x)在在 0,1 上连续上连续(linx)，在，在 (0,1)内可导内可导第第33页页/共共39页页第32页/共39页第三十三页，共39页。由由 Rolle 定理定理(dngl)在在(0,1)内至少内至少(zhsho)有一根有一根例例16 已知周期已知周期(zhuq)为为L的函数在的函数在上是连续的奇函数，证明上是连续的奇函数，证明也是以也是以L为周期的函数为周期的函数证一证一第第34页页/共共39
10、页页第33页/共39页第三十四页，共39页。对称(duchn)区间上奇函数的积分第第35页页/共共39页页第34页/共39页第三十五页，共39页。证二证二第第36页页/共共39页页第35页/共39页第三十六页，共39页。例例18 设设 f(x),g(x)在在 a,b 上连续上连续(linx)，证明，证明证证关键在于作出辅助关键在于作出辅助(fzh)函数函数 F(x)则则 F(a)F(b)的符号不易判别的符号不易判别(pnbi)，得不出结论，得不出结论第第37页页/共共39页页第36页/共39页第三十七页，共39页。两边两边(lingbin)积分得积分得则则 F(x)在在 a,b 上连续上连续(linx)，在，在(a,b)内可导内可导且且F(a)=F(b)=0由由 Rolle 定理定理(dngl)知知第第38页页/共共39页页第37页/共39页第三十八页，共39页。注：注：辅助函数法证明辅助函数法证明(zhngmng)定积分等式定积分等式主要主要适用于证明适用于证明(zhngmng)在积分限中至少存在一点在积分限中至少存在一点使等式成立的命题使等式成立的命题移项移项(y xin)使一端为使一端为 0另一端即为验证验证(ynzhng)F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理第第39页页/共共39页页第38页/共39页第三十九页，共39页。