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1、例例.证明证明证:令则令得故第1页/共50页解：例.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.第2页/共50页设设证：试证:当 目录 上页 下页 返回 结束 时,=o().所以 =o().洛例.第3页/共50页例例.求可微函数 f(x)使满足解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0,则第4页/共50页注意注意 f(0)=0,得得第5页/共50页例.用定积分表示下述极限:解:或第6页/共50页思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0!第7页/共50页例例.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明1：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何第
2、8页/共50页证明2：(用积分中值定理)则由于在上单调递减，所以函数单调递减.所以即令第9页/共50页二、有关定积分计算和证明的方二、有关定积分计算和证明的方法法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?第10页/共50页3.几个重要结论(1)偶倍奇零(2)(3)设 f(x)是周期为T的连续函数，则第11页/共50页(4)(6)(5)n 为偶数n 为奇数第12页/共50页例例.求求解:法一则原式令第13页/共50页令则原式 法二第14页/共50页例例.计算积分计算积分原式=解：第15页/共50页例例.计算积分计算积分解：令(分部积分)第16页/共
3、50页例例.选择一个常数选择一个常数 c,使使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.第17页/共50页解：例.计算积分第18页/共50页解：例.计算积分第19页/共50页例例.若若解:令试证:则并计算第20页/共50页因为因为对右端第二个积分令综上所述第21页/共50页则由得第22页/共50页例例.设设求解:(分部积分)第23页/共50页例例.设设解法1.解法2.对已知等式两边求导,得第24页/共50页例.证明 证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.第25页/共50页证：例例.右端试证分部积分再次分部积分=左端第26页/共50页三、广义积分三、广义积分1.广义
4、积分的概念2.牛顿莱布尼兹公式无穷限的广义积分无界函数的广义积分广义积分第27页/共50页例例.求广义积分解：原式=所以原积分发散.于是有第28页/共50页解：原式=第29页/共50页解：原式=原式=第30页/共50页例例10.判断广义积分解：原式=所以积分收敛的敛散性第31页/共50页例例.解:则原式第32页/共50页解:则原式第33页/共50页解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式利用夹逼准则可知1.求求思考与练习第34页/共50页2.求极限解：原式3.求极限提示：原式左边=右边第35页/共50页4.设设 f(x)是连续的周期函数是连续的周期函数,周期为周期为T,证明：证明：解:(1
5、)记并由此计算则即第36页/共50页(2)并由此计算周期的周期函数则有第37页/共50页第38页/共50页5.求多项式求多项式 f(x)使它满足方使它满足方程程解:令则代入原方程得两边求导:可见 f(x)应为二次多项式,设代入 式比较同次幂系数,得故再求导:第39页/共50页6.且由方程确定 y 是 x 的函数,求解：方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得故第40页/共50页7.设设解:第41页/共50页8.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使 第42页
6、/共50页证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 第43页/共50页即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 第44页/共50页9.设设证:设且试证:则故 F(x)单调不减,即 成立.第45页/共50页10.证明恒等式证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.第46页/共50页11.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即第47页/共50页证明证明:令令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点第48页/共50页思考思考:本题能否用柯西中值定理证明本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数 例15 第49页/共50页感谢您的欣赏！第50页/共50页