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1、会计学1矢量矢量(shling)分析分析new第一页，共48页。2/480.1 0.1 矢量矢量矢量矢量(shling)(shling)代数代数代数代数标量（Scalar）是只有大小的物理量（可以包括相位），例如(lr)：电压，电流，电荷量，能量，温度矢量（Vector）是同时具有大小（可以包括相位）和方向的物理量，例如(lr)：速度，电场强度，磁场强度Vector Algebra 第1页/共48页第二页，共48页。3/48矢量矢量矢量矢量(shling)(shling)(shling)(shling)点积点积点积点积a B=|a|B|cos qaB矢量(shling)点积为标量第2页/共48
2、页第三页，共48页。4/48矢量矢量矢量矢量(shling)(shling)(shling)(shling)叉积叉积叉积叉积A B=aN|A|B|sin qAB矢量(shling)叉积为矢量(shling)第3页/共48页第四页，共48页。5/48 场是一个标量或一个矢量的位置(wi zhi)函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如(lr)，在直角坐标下：标量(bioling)场和矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。Scalar Field and Vector Field数学形式标量场（只需一个方程描述）矢量场（需三个分量方程描述）第4页/共48页第五页，共
3、48页。6/48其方程(fngchng)为:图0.1.1 等高线(1)标量(bioling)场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？第5页/共48页第六页，共48页。7/48三维场二维场图0.1.2 矢量线矢量场-矢量线矢量线方程：在直角坐标下：如何描绘(miohu)矢量场?第6页/共48页第七页，共48页。8/480.2 0.2 常用常用常用常用(chn yn)(chn yn)坐标系坐标系坐标系坐标系引入坐标系的目的引入坐标系的目的引入坐标系的目的引入坐标系的目的电磁场物理规律本身与坐标系无关；电磁场物理规律本身与坐标系无关；电磁场物理规律本身与坐标系
4、无关；电磁场物理规律本身与坐标系无关；在实际描述求解电磁场问题时需要坐标系，同时，合理在实际描述求解电磁场问题时需要坐标系，同时，合理在实际描述求解电磁场问题时需要坐标系，同时，合理在实际描述求解电磁场问题时需要坐标系，同时，合理(hl)(hl)的的的的选择坐标系可以降低分析问题的难度；选择坐标系可以降低分析问题的难度；选择坐标系可以降低分析问题的难度；选择坐标系可以降低分析问题的难度；坐标系的最基本要求坐标系的最基本要求坐标系的最基本要求坐标系的最基本要求“正交性正交性正交性正交性”。Common Coordinate System直角坐标(zh jio zu bio)系圆柱坐标系球坐标系第
5、7页/共48页第八页，共48页。9/48直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系系系第8页/共48页第九页，共48页。10/48场分量场分量场分量场分量(fn ling)(fn ling)与单位向量与单位向量与单位向量与单位向量第9页/共48页第十页，共48页。11/48圆柱圆柱圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系坐标系坐标系坐标系第10页/共48页第十一页，共48页。12/48圆柱圆柱圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系与直角坐标系的转换坐标系与直角坐标系的转换坐标系与直角坐标系的转换坐标系与直角坐标系的转换第11页/共48
6、页第十二页，共48页。13/48球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系第12页/共48页第十三页，共48页。14/48如何如何如何如何(rh)(rh)确定标量场？确定标量场？确定标量场？确定标量场？任意标量场都可以由场的梯度(t d)和场中某一点的值唯一确定。第13页/共48页第十四页，共48页。15/480.3 标量(bioling)场的梯度 Gradient of Scalar Field设 式中 ,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角则有：当 ，最大 设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为第14页/共48页第十五页，共48页。梯度(t d
7、)(gradient)哈密顿算子(sun z)式中图0.3.1 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度(t d)的特点nabla那卜拉 第15页/共48页第十六页，共48页。例 0.3.1 三维高度(god)场的梯度图0.3.2 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。梯度的方向在等位(dn wi)面的法线方向，等位(dn wi)面的法线方向是场变化最快的方向。第16页
8、/共48页第十七页，共48页。例 0.3.2 电位(din wi)场的梯度图0.3.3 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。第17页/共48页第十八页，共48页。19/48如何如何如何如何(rh)(rh)(rh)(rh)确定矢量场确定矢量场确定矢量场确定矢量场?确定矢量(shling)场的必要条件：必须同时确定该矢量(shling)场散度和旋度，否则场的解答不唯一。第18页/共48页第十九页，共48页。20/480.4 矢量(shling)场的通量与散度0.4.1 通量 (Flux)矢量(shling)E 沿有向曲面 S 的面积分若 S
9、 为闭合曲面 根据(gnj)通量的大小判断闭合面中源的性质：Flux and Divergence of Vector 0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.4.2 矢量场通量的性质 图0.4.1 矢量场的通量 第19页/共48页第二十页，共48页。21/48引入散度的目的引入散度的目的引入散度的目的引入散度的目的(md)(md)(md)(md)通量描述的是整个体积通量描述的是整个体积“流量流量”的情况，是一个的情况，是一个(y)宏观宏观性质的物理量，如果想知道一性质的物理量，如果想知道一点处流量的情况，应如何考虑点处流量的情况，应如何考虑？（闭合面内某点处矢量的通（闭合面内某点处矢量的通
10、量性质）量性质）第20页/共48页第二十一页，共48页。22/480.4.2 散度 (Divergence)应用曲面(qmin)积分奥氏公式在直角坐标下通量可以写成:矢量(shling)场A的散度（上式右式看作V内各点处发散强度的体积分）哈密顿算子(sun z)表示第21页/共48页第二十二页，共48页。23/48散度 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时，通量与体积(tj)之比的极限存在，即：散度(divergence)第22页/共48页第二十三页，共48页。24/48散度的意义(yy)在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(chn wi)(通量)源密度
11、；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度是微分量，代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）(正源)(负源)图0.4.3 通量的物理意义 第23页/共48页第二十四页，共48页。25/480.4.3 散度定理(dngl)(Divergence Theorem)图0.4.4 散度定理 通量源密度 散度定理 （高斯定理）由于(yuy)是通量源密度，对其进行体积分后，所得结果为整个体积的通量。第24页/共48页第二十五页，共48页。26/48关于散度定理关于散度定理关于散度定理关于散度定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)的说明的说明的说明的说
12、明 散度定理(dngl)矢量函数的面积分与体积分的相互转换。表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。散度定理使用条件：场量连续第25页/共48页第二十六页，共48页。27/480.5 矢量(shling)场的环量与旋度0.5.1 环量(Circulation)矢量 A 沿空间(kngjin)有向闭合曲线 L 的线积分环量 环量的大小与闭合路径有关，它表示(biosh)绕环线旋转趋势的大小。Circulation and Rotation of Vector Field图0.5.1 环量的计算第26页/共48页第二十七页，共48页。水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速
13、(li s)场图0.5.2 流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。第27页/共48页第二十八页，共48页。29/480.5.2 旋度 (Rotation)1.环量密度(md)过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向(fngxing)与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限环量密度(md)环量密度是单位面积上的环量。第28页/共48页第二十九页，共48页。30/48引入旋度的原因引入旋度的原因引入旋度的原因引入旋度的原因(yunyn)(yunyn)(yunyn)(yunyn)环量面密度描述的是一个面积(min j)上“旋转”强度的情况，是一个“宏观”的物理量，
14、如果要知道场中一点处“旋转”最强的方向，应如何考虑？第29页/共48页第三十页，共48页。31/482.旋度应用(yngyng)斯托克斯公式在直角坐标下环量可以写成:矢量(shling)场A的旋度（上式右式看作矢量(shling)穿过曲面S的通量）哈密顿算子(sun z)表示第30页/共48页第三十一页，共48页。32/482.旋度 旋度是一个(y)矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向旋度(curl)S 的法线方向它与环量密度(md)的关系为在直角坐标下:（类比梯度和方向导数(do sh)之间关系）第31页/共48页第三十二页，共48页。33/483.旋度的物理(wl)
15、意义矢量的旋度仍为矢量，为微分量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。第32页/共48页第三十三页，共48页。34/484.斯托克斯定理(dngl)(Stockes Theorem)图 0.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理(dngl)A 是环量密度，即围绕(wiro)单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为第33页/共48页第三十四页，共48页。35/48斯托克斯定理斯托克斯定理(dngl)矢量函数的线积分与面积分的相互转
16、化。在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。上述公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系。旋度定理使用条件：积分路径方向，场量连续。斯托克斯定理(dngl)（旋度定理(dngl)）第34页/共48页第三十五页，共48页。36/48例 0.5.1试判断(pndun)下列各图中矢量场的性质。散度和旋度定理(dngl)应用第35页/共48页第三十六页，共48页。37/48重要重要(zhngyo)性质性质（标量场）（标量场）定理：任意(rny)标量场梯度的旋度恒等于零推论：如果一个矢量场是无旋的，则该场可用标量场梯度(t d)表示第36页/共48页第三十七页，共48页
17、。38/48无源场和无旋场无源场和无旋场无源场和无旋场无源场和无旋场无源场无源场 设有矢量场设有矢量场A A，如果在场域内每一点处恒有，如果在场域内每一点处恒有 ，那么称，那么称A A为无源场。为无源场。无旋场无旋场 设有矢量场设有矢量场A A，如果在场域内每一点处恒有，如果在场域内每一点处恒有 ，那么称，那么称A A为无旋场。为无旋场。调和调和(tio h)(tio h)场场 散度和旋度都等于零的矢量场称为调和散度和旋度都等于零的矢量场称为调和(tio(tio h)h)场。（无源无旋场）场。（无源无旋场）第37页/共48页第三十八页，共48页。39/48重要性质重要性质(xngzh)（矢量场
18、）（矢量场）定理：任意(rny)矢量场旋度的散度恒等于零推论：如果一个(y)矢量场是无散的，则该场可用矢量场的旋度表示第38页/共48页第三十九页，共48页。40/48 0.6 0.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(dngl)(dngl)亥姆霍兹定理：在有限(yuxin)区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度 J 场域边界条件在电磁场中Hymherze Theorem第39页/共48页第四十页，共48页。41/48亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(dngl)(dngl)(dn
19、gl)(dngl)的意义的意义的意义的意义根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场中基本场量（如电场强度、磁场强度）根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场中基本场量（如电场强度、磁场强度）根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场中基本场量（如电场强度、磁场强度）根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场中基本场量（如电场强度、磁场强度）的散度特性和旋度特性的散度特性和旋度特性的散度特性和旋度特性的散度特性和旋度特性掌握了这些特性，才能完全掌握了这些特性，才能完全掌握了这些特性，才能完全掌握了这些特性，才能完全(wnqun)(wnqun)掌握了整个掌握了整个掌握了整个掌握了整个场的特性。场的特性。场的特性。场的特性。第40页/
20、共48页第四十一页，共48页。42/48亥姆霍兹定理应用亥姆霍兹定理应用亥姆霍兹定理应用亥姆霍兹定理应用(yngyng)(yngyng)(yngyng)(yngyng)举例举例举例举例根据亥姆霍兹定理，任意矢量(shling)场可以分解成无旋场部分和无散场部分的叠加其中(qzhng)：第41页/共48页第四十二页，共48页。43/48亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)应用举例应用举例应用举例应用举例任意矢量(shling)场可以表示为第42页/共48页第四十三页，共48页。44/480.7 特殊(tsh)形式的电磁场 如果在经过某一
21、轴线(设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同(xin tn)，即 F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。1.平行(pngxng)平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长直导线产生的电场。0第43页/共48页第四十四页，共48页。45/48 如果在经过某一轴线(zhu xin)(设为 z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场 如螺线管线圈产生的磁场(cchng)；有限长直带电导线产生的电场。第44页/共48页第四十五页，共48页。46/483.球面(qimin)对称场
22、如果在一族同心球面上（设球心(qixn)在原点），场 F 的分布都相同，即 F=f（r），则称这个场为球面对称场。如点电荷产生(chnshng)的电场；带电球体产生(chnshng)的电场。0第45页/共48页第四十六页，共48页。47/48本章应掌握本章应掌握本章应掌握本章应掌握(zhngw)(zhngw)(zhngw)(zhngw)内容内容内容内容三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标系和三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系；球坐标系；三个计算方法：梯度三个计算方法：梯度(t d)、散度和旋度、散度和旋度的计算方法；的计算方法；三个重要定理：散度定理、旋度定理和亥姆三个重要定理：散度定理、旋度定理和亥姆霍兹定理。霍兹定理。第46页/共48页第四十七页，共48页。48/48作 业 2.3.式中：试证明(zhngmng)下列各题：1.第47页/共48页第四十八页，共48页。