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1、刚体定轴转动第1页，本讲稿共45页一、理解描述刚体定轴转动的物理量：角坐标、角位一、理解描述刚体定轴转动的物理量：角坐标、角位移、角速度和角加速度等概念。移、角速度和角加速度等概念。二、了解转动惯量的概念，理解刚体绕定轴转动的转动二、了解转动惯量的概念，理解刚体绕定轴转动的转动定律，能熟练用其求解定轴转动问题。定律，能熟练用其求解定轴转动问题。四、了解角动量概念，理解角动量定理和角动量守恒定律，四、了解角动量概念，理解角动量定理和角动量守恒定律，并能用其分析有关问题。并能用其分析有关问题。基基 本本 要要 求求 三、理解力矩的功、刚体定轴转动的动能定理三、理解力矩的功、刚体定轴转动的动能定理。
2、第2页，本讲稿共45页 连接刚体中任意两点连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保的线段在运动中始终保持平行。持平行。一、刚体的平动一、刚体的平动 特点特点:刚体上所有点的刚体上所有点的 运动轨迹运动轨迹 、刚体刚体 1.1.刚体是理想模型。刚体是理想模型。2.2.在外力的作用下在外力的作用下,其上任意两点均其上任意两点均不发生相对位移。不发生相对位移。受力而不形变的物体受力而不形变的物体。5.15.1刚体的运动刚体的运动都相同都相同,可用质点运动来描述。可用质点运动来描述。第3页，本讲稿共45页 将刚体的运动看作其质将刚体的运动看作其质心的心的平动平动与相对于通过质与相对于通过质心并垂直运动平
3、面的轴的心并垂直运动平面的轴的转动转动的叠加的叠加。三三.刚体的一般运动刚体的一般运动 刚刚体体上上各各点点都都绕绕同同一一转转轴轴作作半半径径不不同同的的圆圆周周运运动动，在在相相同同时间内转过相同的角度。时间内转过相同的角度。二二.刚体的定轴转动刚体的定轴转动特点特点：刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；刚体上各点的刚体上各点的 均相同均相同。刚体的转动刚体的转动:对点、对轴对点、对轴(只讨论只讨论定轴转动定轴转动)第4页，本讲稿共45页参考平面参考平面四、描述刚体转动的物理量四、描述刚体转动的物理量参考平面参考平面 与转轴相垂直的平面与转轴相垂
4、直的平面。2.2.运动方程运动方程 规定规定：定轴转动只有定轴转动只有定轴转动只有定轴转动只有两个转动方向两个转动方向两个转动方向两个转动方向位矢沿位矢沿Ox 轴轴逆时针逆时针方向转动时角位移方向转动时角位移 为为正正,反之为负。反之为负。位矢与位矢与 Ox 轴夹角轴夹角。1.1.角坐标角坐标参考参考 方向方向参考参考 方向方向第5页，本讲稿共45页5 5.角加速度角加速度6.6.角量与线量的关系角量与线量的关系.4.4.角速度角速度 3.3.角位移角位移 xO xOt1t2第6页，本讲稿共45页7.7.匀变速转动公式匀变速转动公式（5.6）(5.7)（5.8）例如：工科大学物理练习一例如：工
5、科大学物理练习一 （二、（二、6 6）已知）已知第7页，本讲稿共45页对于定轴转动对于定轴转动,力矩的方向可用正、负号表示之。力矩的方向可用正、负号表示之。对对 固定轴固定轴OZ的力矩的力矩:大小大小:方向方向:1.1.力矩的定义力矩的定义右手法则右手法则：伸出右手，四指垂直拇指伸出右手，四指垂直拇指,让四指指向让四指指向 的方向的方向,经小于经小于 的角度转向的角度转向 的方向，拇指指的方向，拇指指向向 的方向。的方向。和和 所决定的平面所决定的平面 五、力矩五、力矩Zd力力X X力臂力臂=Fd第8页，本讲稿共45页(3)(3)合力矩的大小等于各力矩的代数和合力矩的大小等于各力矩的代数和。若
6、力若力F 不在参考平面内不在参考平面内,M =?2.2.讨论讨论:例：见右上图例：见右上图 (4)(4)刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(1)(1)与转轴垂直且通过转轴的力不产生力矩。与转轴垂直且通过转轴的力不产生力矩。(2)(2)与转轴平行的力对转轴不产生力矩与转轴平行的力对转轴不产生力矩。O2dO第9页，本讲稿共45页3.3.力矩的计算举例力矩的计算举例例例 1 1：水平桌面上匀质细杆长：水平桌面上匀质细杆长 l，质量质量 m，绕一端垂直绕一端垂直轴转动轴转动,已知摩擦系数为已知摩擦系数为 ，求：细杆受的摩擦力矩求：细杆受的摩擦力矩 Mf 。解解：方
7、向方向：MfMf第10页，本讲稿共45页例例 2 2：水平桌面上匀质薄圆盘半径：水平桌面上匀质薄圆盘半径 R，质量质量 m ，绕中心垂绕中心垂直轴转动，已知摩擦系数为直轴转动，已知摩擦系数为 ，求：圆盘受的摩擦力矩求：圆盘受的摩擦力矩 Mf。解：解：选细圆环，半径选细圆环，半径 r，宽宽 d r 方向：方向：Mf第11页，本讲稿共45页5.5.2 2刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 (重点重点)一一.刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律二二.转动定律的推导转动定律的推导 刚体上任意质元刚体上任意质元 位矢位矢 合外力合外力 合内力合内力 由牛顿定律由牛顿定律:故只列故只列切向分量式切向
8、分量式：两端同乘两端同乘 得：得：由于由于法向分力的力矩为零，法向分力的力矩为零，ii第12页，本讲稿共45页对组成刚体的所有质元求和得：对组成刚体的所有质元求和得：合外力矩合外力矩 合内力矩合内力矩 =0由此得出：由此得出：其中：其中：刚体的刚体的 转动惯量转动惯量 转动定律转动定律 两端同乘两端同乘 得：得：()J第13页，本讲稿共45页 讨论讨论 均对同一转轴均对同一转轴,转动定律是一瞬时关系式。转动定律是一瞬时关系式。刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩=刚体转动惯量刚体转动惯量角加速度。角加速度。J 一定一定,则则 ,M 是改变刚体转动状态的原因。是改变刚体转动状态的原因。M 一定一定,
9、则则 ,J 是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。M =0,则则 =0,=常量常量,刚体保持转动状态不变。刚体保持转动状态不变。M=常量常量,则则 =常量常量,刚体做匀变速转动。刚体做匀变速转动。转动定律转动定律第14页，本讲稿共45页 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。选定运动正方向选定运动正方向,以确定力矩、角加速度、角速度的以确定力矩、角加速度、角速度的正负。正负。当系统中既有转动物体，又有平动物体时当系统中既有转动物体，又有平动物体时,用隔离法解题。用隔离法解题。对转动物体用转动定律建立方程对转动物体用转动定律建立方程,对平动物体则用牛顿
10、定律建对平动物体则用牛顿定律建立方程。立方程。注意：注意：三、转动定律的应用三、转动定律的应用1.1.隔离法分析研究对象，建立坐标系隔离法分析研究对象，建立坐标系。2.2.对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。3.3.列出辅助方程。列出辅助方程。第15页，本讲稿共45页144 页，例页，例5.2飞轮运动状态：均匀减速飞轮运动状态：均匀减速该负角加速度起因于摩擦力矩。该负角加速度起因于摩擦力矩。由转动定律由转动定律代入转动惯量的值即可求得闸瓦对轮子的压力代入转动惯量的值即可求得闸瓦对轮子的压力第16页，本讲稿共45页解解:隔离法列出运动方程隔离法
11、列出运动方程 T2T1m1gm2gm2m1辅助方程：辅助方程：T1T2mOm2m1am例例1:1:一轻绳跨过定滑轮一轻绳跨过定滑轮,绳两端分别悬挂质量为绳两端分别悬挂质量为 、的物体的物体,且且 ,滑轮可视为质量为滑轮可视为质量为 ,半径为半径为 的匀质圆盘的匀质圆盘,轴处轴处摩擦力矩为摩擦力矩为 ,绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动。求重物的绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动。求重物的加速度及绳中张力。加速度及绳中张力。m1 m2m1m2mRMf第17页，本讲稿共45页从以上各式解得从以上各式解得 若忽略若忽略 Mf ，则：则：第18页，本讲稿共45页思考：若为轻圆盘，且忽略摩擦，上述结果又如何？思
12、考：若为轻圆盘，且忽略摩擦，上述结果又如何？第19页，本讲稿共45页5.3 5.3 转动惯量转动惯量 J 的计算的计算 质点组质点组 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体 1.1.J 的定义的定义 质点质点 线分布线分布 面分布面分布 体分布体分布 质量线密度质量线密度 质量面密度质量面密度 质量体密度质量体密度 Ori第20页，本讲稿共45页 刚体的总质量；刚体的总质量；3.3.决定决定 J 的三个因素的三个因素 2.2.J 的单位的单位 转轴的位置转轴的位置。质量分布；质量分布；同同一一刚刚体体对对不不同同转转轴轴的的转转动动惯惯量量不不同同，凡凡是是提提到到转转动动惯惯量，必须指明它是对
13、哪个轴的才有意义。量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。结论：结论：4.4.J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。的意义：刚体转动惯性大小的量度。第21页，本讲稿共45页(1)(1)转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直 取质元取质元：(2)(2)转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直 5.5.J 的计算举例的计算举例 例例1:1:求匀质细杆的求匀质细杆的 J 。已知已知 m,l dmdm第22页，本讲稿共45页取质元取质元：Rm其中其中：例例 2.2.均匀细圆环的均匀细圆环的 J (质量质量 m，半径半径 R，轴过圆心轴过圆心垂直环面垂直环面)。dm第23页，本讲稿共45页取细圆环取细圆环 例例
14、3:3:匀质薄圆盘的匀质薄圆盘的 J (质量质量m,半径半径 R,轴过轴过 讲义讲义 P.146 例例 5.5 其中其中：圆心垂直盘面圆心垂直盘面)。第24页，本讲稿共45页适用情况适用情况:6.6.平行轴定理平行轴定理 说明说明：两轴平行；两轴平行；JC 为刚体绕为刚体绕质心轴质心轴的转动惯量的转动惯量;d 为两平行轴间的距离。为两平行轴间的距离。dCACACA例：匀质细杆例：匀质细杆 第25页，本讲稿共45页7 7、复合体的转动惯量、复合体的转动惯量OM ,LmOM ,Lm，r第26页，本讲稿共45页5.5.4 4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒刚体角动量：刚体角动量：定
15、轴转动时刚体上各质元绕同一轴做定轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，所以各质元的角动量圆周运动，所以各质元的角动量 可写为：可写为：一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量=方向：方向：大小：大小：总角动量总角动量 刚体对该轴的转动惯量刚体对该轴的转动惯量角速度。角速度。第27页，本讲稿共45页二、角动量定理二、角动量定理由转动定律由转动定律 得得 1.1.冲量矩冲量矩 恒力矩冲量矩恒力矩冲量矩 变力矩冲量矩变力矩冲量矩 2.2.角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理 系统所受合外力矩的冲量矩系统所受合外力矩的冲量矩=系统角动量的增量。系统
16、角动量的增量。第28页，本讲稿共45页(1)角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚体和系统。体和系统。(2)角动量的变化由角动量的变化由 和和 两个因素决定。两个因素决定。三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律 守恒条件守恒条件 或或 或或 常矢量常矢量 说明说明第29页，本讲稿共45页3.3.角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：说明：说明：2.2.角动量守恒定律是一条普适定律。角动量守恒定律是一条普适定律。如果如果 改变改变,则则 也改变，也改变，=常量；常量；刚体定轴转动时刚体定轴转动时,如果如果 不变不变,则则 不变；不变；1.1.
17、若质点：若质点：,则则 常矢量常矢量。花样滑冰运动员通过花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速。动惯量来改变转速。第30页，本讲稿共45页讲义讲义150页页 例例5.7MOl 0 系统：子弹和棒系统：子弹和棒系统的角动量守恒（动量守恒吗？）系统的角动量守恒（动量守恒吗？）而而得得思考：思考：1.1.若子弹击中棒的其他位置，譬如棒的几何中心处，若子弹击中棒的其他位置，譬如棒的几何中心处，角动量守恒式如何？角动量守恒式如何？2.2.若撞击物被弹回，角动量守恒式又如何？若撞击物被弹回，角动量守恒式又如何？第31页，本讲稿共45页练二练二一、一、2 2 题解题解轴处
18、支持力轴处支持力盘受重力盘受重力人受重力人受重力人受支持力人受支持力摩擦力摩擦力系统：人与盘系统：人与盘外力矩外力矩=0=0内力矩之和内力矩之和=0=0系统角动量守恒系统角动量守恒一、一、3 3 题解题解第32页，本讲稿共45页练二练二 计计6 6解：解：（1 1）系统系统:人与盘，角动量守恒人与盘，角动量守恒（2 2）若要）若要=0，则要，则要第33页，本讲稿共45页一、力矩的功一、力矩的功 (4)(4)反映力矩的空间累积结果反映力矩的空间累积结果。2.2.总功：总功：1.1.元功元功 3.3.说明说明:恒力矩的功恒力矩的功 (1)(1)合外力的功合外力的功=合外力矩的功。合外力矩的功。(3
19、)(3)合内力矩的功合内力矩的功 =0 0。5.5.5 5 转动中的功和能转动中的功和能第34页，本讲稿共45页二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能刚体分为质元刚体分为质元 定轴转动时各质元动能：定轴转动时各质元动能：刚体的转动动能刚体的转动动能=各质元动能的总和：各质元动能的总和：刚体的转动动能刚体的转动动能 1.1.是刚体上所有质元动能之和。是刚体上所有质元动能之和。特点特点:2.2.因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。J转动惯量转动惯量第35页，本讲稿共45页三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功合外力矩对刚体
20、所做的功=刚体转动动能的增量。刚体转动动能的增量。刚体的转动动能定理刚体的转动动能定理 由（由（4.104.10）得）得说明说明1.1.定理描述了力矩作用的空间累积效果定理描述了力矩作用的空间累积效果,适用于定轴适用于定轴转动的刚体。转动的刚体。2.2.定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能=势能势能+转动动能。转动动能。第36页，本讲稿共45页（其中其中 h 为刚体质心到势能零点的垂直高度为刚体质心到势能零点的垂直高度）3.3.系统系统(刚体组刚体组+质点组质点组)的动能为的动能为 4.4.系统仅保守力做功系统仅保守力做功(即即A A外外+A A非保内非保内=0=0）,系统的机械能守恒。系
21、统的机械能守恒。第37页，本讲稿共45页练二练二 三三5.(1)5.(1)开始时开始时 E弹弹=0,=0,令令E重重=0,=0,Ek1k1=0(=0(包括平动动能、转动动能两部分包括平动动能、转动动能两部分)末时刻末时刻(包括平动动能、转动动能两部分包括平动动能、转动动能两部分)（2)2)运动中任意时刻运动中任意时刻 令令得得第38页，本讲稿共45页P154 例例5.12解：解：系统系统(研究对象研究对象)：杆杆外力：外力：轴处力，但力矩为零；轴处力，但力矩为零；重力，作功重力，作功mg第39页，本讲稿共45页又又水平位置水平位置竖直位置竖直位置竖直位置竖直位置水平位置水平位置第40页，本讲稿
22、共45页若若 系统系统(研究对象研究对象)：杆杆+地球地球外力：轴处力，但力矩为零；外力：轴处力，但力矩为零；内力：重力，保守力内力：重力，保守力mg故系统的机械能守恒故系统的机械能守恒初状态：初状态：令令末状态：末状态：第41页，本讲稿共45页例：物体叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互例：物体叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示。今用大小为连接，如图所示。今用大小为F的水平力拉的水平力拉A。设设A、B和滑和滑轮的质量都是轮的质量都是m，滑轮的半径为滑轮的半径为R，对轴的转动惯量对轴的转动惯量J=mR2/2。AB之间、之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩与桌面
23、之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳与滑轮之间无相对滑动且绳不可伸长。擦都可忽略不计，绳与滑轮之间无相对滑动且绳不可伸长。已知已知F=10N，m=8.0Kg，R=0.050m。求求（1 1）滑轮的角加速度；）滑轮的角加速度；（2 2）物体物体A与滑轮之间与滑轮之间的绳中的张力；的绳中的张力；（3 3）物体物体B与滑轮之间与滑轮之间的绳中的张力；的绳中的张力；RBAF第42页，本讲稿共45页受力分析受力分析AFTABTBTA TB R第43页，本讲稿共45页例例:人和转盘的转人和转盘的转J010,为为初始转速为初始转速为的质量的质量,m动惯量为动惯量为,哑铃哑铃2rr1。求：双臂收缩。求：双臂收缩械能械能变为变为时的时的由由角速度及机角速度及机增量。增量。rr12mmJ01JJ=0+)(11222(0+)2rm22mr=(J1)0+212mr(J20+22)rm2解：由角动量守恒解：由角动量守恒1第44页，本讲稿共45页非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加，机械能增加JIJ=20+(1(0002111+)221J22mmrr2rm22JJ=12)11(00+)Ek22222(22122rrmm第45页，本讲稿共45页