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1、刚体的定轴转动第1页，本讲稿共27页第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律5.7 进动进动 第2页，本讲稿共27页5.1 刚体的运动刚体的运动 刚体（刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化，）：特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。理想化的模型。平动和转动，可以描述平动和转动，可以描述所有质元（质点
2、）的运所有质元（质点）的运动。动。平动（平动（translation）时，）时，刚体上所有点运动都刚体上所有点运动都相同。相同。刚体质点间的相对运动刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动只能是绕某一轴转动（rotation）的结果。）的结果。o ooo第3页，本讲稿共27页P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度旋转加速度向轴加速度瞬时轴瞬时轴v rrP 基点基点O刚体刚体刚体绕刚体绕O的转动其转轴是的转动其转轴是可以改变的，反映顺时轴可以改变的，反映顺时轴的方向及转动快慢，引入的方向及转动快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量第4页，本讲稿共27页定轴转动（定轴转动（r
3、otation about affixed axis）：退化为代数量，退化为代数量，刚体上任意点都绕同刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且一轴作圆周运动，且，都相同。都相同。OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z第5页，本讲稿共27页5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 类似于多质点系类似于多质点系Jz称为刚体对称为刚体对 z 轴的轴的转动惯量转动惯量rotational inertiaivi O,riri定轴定轴刚体刚体zFimi第6页，本讲稿共27页转动定律转动定律其中其中是对是对 z 轴的外力矩和。轴的外力矩和。定轴下，可不写角标定轴下，可不写角标 Z，记作：，记作：与
4、牛与牛II比较：比较：MFJma MJ=J反映刚体转动的惯性反映刚体转动的惯性第7页，本讲稿共27页5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 J由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。dmrm第8页，本讲稿共27页一一.常用的几个常用的几个J均匀圆环：均匀圆环：Jc=mR2；均匀圆盘：均匀圆盘：均匀杆：均匀杆：RmC CRmCCAml2l2第9页，本讲稿共27页二二.计算计算 J的几条规律的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性J=Ji Jmrzi ii=22.平行轴定理平行轴定理Jmrm xyzi iiiiii=+222()m xm xxiiiiici22 =+()=+mxx
5、mxxmiiciiiicii222=0 xydcc222+=m xyJiiiic()22+=JJmdc=+2=JJcmin=mCdmJCJ平行平行第10页，本讲稿共27页 3.对薄平板刚体的正交对薄平板刚体的正交轴定理轴定理Jm rm xm yziiiiii=+222 例：已知圆盘例：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=142即即 JJJxy=+y rix z yi xi mi yx z 圆盘圆盘 R C m第11页，本讲稿共27页已知：已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，h=1.
6、5m，绳轮无相对滑动，绳，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间不可伸长，下落时间 t=3s。求：轮对求：轮对O轴轴J=？解：动力学关系：解：动力学关系：对轮：对轮：TRJ=(1),对对：mmg T ma-=(2)5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例 定轴定轴ORthmv0=0绳绳TGRNmgT =-T ma第12页，本讲稿共27页运动学关系：运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)(4)联立解得：联立解得：JgthmR=-()2221=-=(.).9832151102114222kg m分析：分析：单位对；单位对；、一定，一定，合理；，合理；若若，得，得，正确。，正确。12301
7、22.hmJtJhgt =第13页，本讲稿共27页 WFsinrF rsinM=()WF s=WMiii=力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 二二.定轴转动动能定理定轴转动动能定理 MdLdtJddtzzz外外=类比一维情形：类比一维情形：Fmdvdt=ddtvdsdt-WJJ1222121212=-一一.力矩的功力矩的功J -m d zx 轴轴rF第14页，本讲稿共27页令令转动动能转动动能EJk=122（可证：（可证：）121222Jm vi i=则则 WEEkk=-21应用：应用：飞轮储能，飞轮储能，Ek 2 Ek 惯性电车。惯性电车。第
8、15页，本讲稿共27页三三.定轴转动的功原理定轴转动的功原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：W外外+W内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）刚体重力势能：刚体重力势能：若若dW外外+dW内非内非=0，则则Ek+Ep=常量。常量。Emghmgmhmmghpiiiic=ChchimiEp=0第16页，本讲稿共27页例例已知：均匀直杆已知：均匀直杆m，长为，长为l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AOl=4 。求求:杆下摆杆下摆 角后，角速度角后，角速度=?=?轴对杆作用力轴对杆作用力v vN=?=?解：杆解：杆 地球系统，地球系统，+只有重力作功，只有重
9、力作功，E守恒。守恒。初始：初始：，Ek10=令令 EP10=末态：末态：EJko2212=,EmglP24=-sin 则：则：12402Jmglo -=sin (1)第17页，本讲稿共27页 由平行轴定理由平行轴定理 JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由由(1)、(2)得：得：=267glsin应用质心运动定理：应用质心运动定理：v vv vv vNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：方向：-+=(3)$costmgNmatct方向：方向：+=(4)第18页，本讲稿共27页algcl=4672 sin (5)allmgJctlo=444 cos=37
10、gcos (6)由由(3)(4)(5)(6)可解得：可解得：Nmgl=137sin,Nmgt=-47cos v vNmglmgt=-13747sin$cos$Nmg=+7153162sin =-tgNNtgctgtl11413|()第19页，本讲稿共27页5.6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。现在讨论力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：v v v vMdLdt外外=，v vr rv vMtLLiii外外 =-21对轴：对轴：MtLLziiizz外外 =-21刚体：刚体：Lz=Jz =-iMtJJzii
11、zz外外 21刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 当当 M外外z=0 时，时，Jz =const.大小不变大小不变正、负不变正、负不变 第20页，本讲稿共27页 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，当当Mz外外=0 时，时，Jconst.izi=，这时角动量可在内部传递。，这时角动量可在内部传递。例例如图示已知：如图示已知：M=2m，h，=60 求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0=？P转到转到x轴时盘的轴时盘的=?=?解：解：m下落：下落：mghmv=122vgh=2(1)第21页，本讲稿共27页碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘
12、系统，冲力远大于重力，故重力对盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可力矩可忽略，角动量守恒：忽略，角动量守恒：mvRJocos =(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由由(1)(2)(3)得：得：oghR=22cos (4)对对m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒，守恒，则：则：P、x重合时重合时EP=0。令令1mgRJJosin +=12222(5)第22页，本讲稿共27页由由(3)(4)(5)得：得：=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60o o=MJmgRmRgR222第23页，本讲稿共27页5.7 旋进旋进（进动，Pr
13、ecession）旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。定轴转动定轴转动v vv vLL zz=$（对轴）（对轴）但对定点转动但对定点转动v vL还平行于还平行于v v 吗？吗？显然若显然若mm12(不对称不对称)，则则 v vv vL（对（对点）点）0，但质量分布对称、且刚体绕对称轴转动但质量分布对称、且刚体绕对称轴转动时，对轴上任一点有：时，对轴上任一点有：v vv vL轴轴 v vv vLL zJzz()$()对点对点对轴对轴=第24页，本讲稿共27页只讨论具有对称轴的刚体的旋进问题只讨论具有对称轴的刚体的旋进问题v vv
14、 vMdLdt=dLMdtMv vv vv v=v vv vv vv v当当时，时，MLd LL 则则只改变方向只改变方向v vL不改变大小。不改变大小。第25页，本讲稿共27页v vdLLd=sin Q Qddt=W WQ Q令令 则则MdLdtLddt=v vsin Q QL=sin W W=W WMLMJsinsin 1 即：即：W W，当当时，时，=90W WMJ 。第26页，本讲稿共27页以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：v vv vv v 总总=+W W只有高速自转只有高速自转 W W时时，才有才有总总v vv v&=这时才有这时才有v vv
15、vLJ&=当考虑到当考虑到 v vW W 对对 v v 总总 的贡献时，的贡献时，自转轴在旋进自转轴在旋进时还会出现时还会出现微小的上下的周期摆动，微小的上下的周期摆动，这种运动叫章动这种运动叫章动(nutation)。地球转轴的旋进：非球效应，进动周期地球转轴的旋进：非球效应，进动周期25800年，岁年，岁差差（地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳（地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年）年）20 分分33秒秒;前汉，刘，观察到前汉，刘，观察到;祖冲之，引入农祖冲之，引入农历闰月历闰月;3000年前，周，北极是年前，周，北极是b b，现，现 ，12000年后，年后，织女星。织女星。第27页，本讲稿共27页