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1、第六章第六章 统计物理基础统计物理基础6.1 概率分布函数概率分布函数6.2 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述6.3 系统微观状态的经典描述和量子描述系统微观状态的经典描述和量子描述6.4 等概率原理等概率原理6.5 近独立粒子系统的分布和微观状态数近独立粒子系统的分布和微观状态数6.6 系统微观状态能态密度系统微观状态能态密度一、统计物理的基本观点一、统计物理的基本观点二、概率及概率分布二、概率及概率分布三、统计平均值和涨落三、统计平均值和涨落四、多个随机变量的联合概率分布函数四、多个随机变量的联合概率分布函数五、几种典型的概率分布五、几种典型的概率分布6.1 概率分布函数概率分
2、布函数返回返回1、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力2、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动3、物体宏观量是相应微观量的统计平均值、物体宏观量是相应微观量的统计平均值4、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性一、统计物理的基本观点一、统计物理的基本观点返回返回1、随机事件的概率、随机事件的概率2、概率的加法定理、概率的加法定理3、概率的乘法定理、概率的乘法定理4、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布二、概率及概率分布二、概率及概率分布返回返回1
3、、随机事件的概率、随机事件的概率（1）返回返回（2）2、概率的加法定理、概率的加法定理若若A、B为互斥事件，则为互斥事件，则返回返回若若A、B事件互为独立，则事件互为独立，则 3、概率的乘法定理、概率的乘法定理返回返回以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量.4、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布分离型随机变量的概率分布分离型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布返回返回分离型随机变量的概率分布分离型随机变量的概率分布返回返回随机变量随机变量x取值在取值在xxd的概率的概率dW,则概率分布为则概率分布为:连续型随机变量的概率分
4、布连续型随机变量的概率分布返回返回1、统计平均值、统计平均值2、涨落、涨落三、统计平均值和涨落三、统计平均值和涨落返回返回算术平均值的极限值即为统计平均值，即算术平均值的极限值即为统计平均值，即对连续型：对连续型：1、统计平均值、统计平均值返回返回宏观量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。宏观量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。归平均值的偏差叫涨落。归平均值的偏差叫涨落。方差方差 2、涨落、涨落返回返回变量变量 X取值在取值在dx、变量、变量Y取值在取值在dy范围的概率。范围的概率。(x,y)的联合分布的联合分布(x,y)的边缘分布的边缘分布四、多个随机变量的联合概率分布函数
5、四、多个随机变量的联合概率分布函数返回返回1、二项分布、二项分布2、泊松分布、泊松分布3、高斯分布、高斯分布五、几种典型的概率分布五、几种典型的概率分布返回返回1、二项分布、二项分布返回返回2、泊松分布、泊松分布返回返回3、高斯分布、高斯分布返回返回一、近独立粒子体系一、近独立粒子体系二、粒子运动状态的经典描述二、粒子运动状态的经典描述三、微观粒子运动状态的量子描述三、微观粒子运动状态的量子描述四、常见粒子的量子态四、常见粒子的量子态五、粒子能态密度五、粒子能态密度g()4.2 粒子运动状态的经典描述和量子描述粒子运动状态的经典描述和量子描述返回返回 若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可
6、忽略，则若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可忽略，则这种粒子组成的体系叫近独立粒子体系。这种粒子组成的体系叫近独立粒子体系。一、近独立粒子体系一、近独立粒子体系返回返回1、自由度、自由度2、粒子运动状态的描述、粒子运动状态的描述、空间、相轨道空间、相轨道3、相轨道的作法、相轨道的作法二、粒子运动状态的经典描述二、粒子运动状态的经典描述返回返回 确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为r，例如：平面上自由运动的粒子，例如：平面上自由运动的粒子，r=2；直线上运动的粒子，；直线上运动的粒子，r=1。1、自由度、自由度返回返回2、
7、粒子运动状态的描述、粒子运动状态的描述、空间、相轨道空间、相轨道 设粒子自由度为设粒子自由度为r，以，以r个广义坐标个广义坐标q1，qr为横轴，以为横轴，以r个广义动量个广义动量p1，pr为纵轴所构成的为纵轴所构成的2r维空间叫维空间叫空间。空间。在在空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。返回返回步骤步骤确定粒子自由度确定粒子自由度r3、相轨道的作法、相轨道的作法确定广义动量与广义坐标满足的函数关系确定广义动量与广义坐标满足的函数关
8、系画出相轨道画出相轨道例例1例例2返回返回例例1从静止开始沿直线作匀加速运动从静止开始沿直线作匀加速运动，作出相轨道作出相轨道。解解:取运动方向为取运动方向为x轴正向轴正向,坐标和动量为坐标和动量为消去消去t 得到得到（1）由（由（1）作出的相轨道如图）作出的相轨道如图4.2.1所示。所示。x00 xp图图4.2.1返回返回例例2一维谐振子的相轨道一维谐振子的相轨道（2）写为标准椭圆方程形式写为标准椭圆方程形式（3）给定给定时，椭圆的半轴分别为时，椭圆的半轴分别为 和和p0 x图图4.2.2返回返回微观粒子的特性微观粒子的特性微观粒子状态的量子描述微观粒子状态的量子描述三、微观粒子运动状态的量
9、子描述三、微观粒子运动状态的量子描述返回返回（1）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式1、微观粒子的特性、微观粒子的特性（2）遵从测不准关系）遵从测不准关系返回返回 微观粒子的状态要用波函数微观粒子的状态要用波函数或者一组量子数来描述，用或者一组量子数来描述，用波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。2、微观粒子状态的量子描述、微观粒子状态的量子描述返回返回自旋状态自旋状态三维自由粒子的量子态及量子态数三维自由粒子的量子态及量子态数四、常见粒子的量子态四、常见粒子的量子态返回返回对电子、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示对电子
10、、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示1、自旋状态、自旋状态返回返回 边长为边长为L的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数nx，ny，nz描述，动量的三个分量描述，动量的三个分量px，py，pz为为2、三维自由粒子的量子态及量子态数、三维自由粒子的量子态及量子态数（1）（2）能量可能值为能量可能值为当当V 较大时，动量较大时，动量px，py，pz和能量和能量实际上可视为连续变化。实际上可视为连续变化。由此求得由此求得体积体积V内、动量在内、动量在dpx，dpy，dpz范围内自由粒子的量子态数范围内自由粒子的量子态数（3）（4）利用能量利用能量得到体积得
11、到体积V内，粒子能量在内，粒子能量在d的量子态数的量子态数（5）若不考虑方向，则动量大小在若不考虑方向，则动量大小在ppdp范围，自由粒子的范围，自由粒子的量子态数量子态数返回返回1、定义、定义 2、能态密度的计算、能态密度的计算五、粒子能态密度五、粒子能态密度g()返回返回单位能量间隔的量子态数称为粒子能态密度，即单位能量间隔的量子态数称为粒子能态密度，即1、定义、定义（6）返回返回步骤步骤由由g()=dZ/d求出求出g()的量子态数的量子态数求出粒子能量在求出粒子能量在d的量子态数的量子态数dz例例12、能态密度的计算、能态密度的计算返回返回例例1求二维自由粒子的态密度求二维自由粒子的态密
12、度g()解：二维自由粒子的量子态由量子数解：二维自由粒子的量子态由量子数nx，ny描述，动量分量描述，动量分量px，py为：为：粒子动量在粒子动量在dpxdpy范围的量子态数范围的量子态数ppypx图图4.2.3 面积面积L2内、动量大小在内、动量大小在ppdp，方向在，方向在d范围内量范围内量子态数子态数 将将由由0到到2积分得到面积积分得到面积L2内，动量大小在内，动量大小在ppdp（任意（任意方向）的量子态数方向）的量子态数利用利用可得粒子能量在可得粒子能量在d范围内的状态数范围内的状态数(常数常数)于是于是L2内二维自由粒子态密度为内二维自由粒子态密度为现将一、二、三维的现将一、二、三
13、维的g()比较如下：比较如下：2/1)2(2)(eemhLg=三维三维二维二维一维一维0g()图图4.2.4返回返回一、系统微观状态的经典描述一、系统微观状态的经典描述 空间空间二、系统微观状态的量子描述二、系统微观状态的量子描述4.3 系统微观状态的经典描述和量子描述系统微观状态的经典描述和量子描述返回返回1、数学描述、数学描述2、几何描述、几何描述一、系统微观状态的经典描述一、系统微观状态的经典描述 空间空间返回返回1、数学描述、数学描述用用q1，qf和和p1，pf共共2f个变量描述个变量描述返回返回系统状态用系统状态用空间的空间的N个代表点描述，或用个代表点描述，或用空间的空间的1个代表
14、点描述个代表点描述N213 系统系统pqi N321空间空间系统系统N123空间空间qpi2、几何描述、几何描述返回返回1、全同粒子体系特点、全同粒子体系特点2、全粒子体系分类、全粒子体系分类3、系统微观状态的量子描述、系统微观状态的量子描述例例二、系统微观状态的量子描述二、系统微观状态的量子描述返回返回不可识别性，遵从全同性原理不可识别性，遵从全同性原理费米系统遵从泡利不相容原理费米系统遵从泡利不相容原理1、全同粒子体系特点、全同粒子体系特点返回返回玻色粒子系统：不可识别，玻色粒子系统：不可识别，1个量子态可有多个粒子个量子态可有多个粒子2、全同粒子体系分类、全同粒子体系分类费米粒子系统：不
15、可识别，费米粒子系统：不可识别，1个量子态至多有个量子态至多有1个粒子个粒子玻尔兹曼粒子系统：可识别，玻尔兹曼粒子系统：可识别，1个量子态可有多个粒子个量子态可有多个粒子返回返回对可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个粒子的单个量子态对可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个粒子的单个量子态3、系统微观状态的量子描述、系统微观状态的量子描述对不可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个量子态上的粒子数目对不可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个量子态上的粒子数目返回返回例例设设2个粒子，单个粒子量子态有个粒子，单个粒子量子态有1、2、3个，画出系统微观状态个，画出系统微观状态解：解：玻尔兹曼粒子昨天
16、有如下玻尔兹曼粒子昨天有如下9种微观态种微观态3211212122112(a)(b)(c)(d)(e)32112123113(f)(g)(h)(i)玻色系统有如下玻色系统有如下6种微观态种微观态3211212122112(a)(b)(c)(d)(e)12(f)321121213(a)(b)(c)费米系统有如下费米系统有如下3种微观态种微观态返回返回一、等概率原理的文字叙述和适用范围一、等概率原理的文字叙述和适用范围二、等概率原理的重要性二、等概率原理的重要性4.4 等概率原理等概率原理返回返回等概率原理等概率原理一、等概率原理的文字叙述和适用范围一、等概率原理的文字叙述和适用范围 对于处于平衡
17、状态的孤立系统，系统各对于处于平衡状态的孤立系统，系统各 个可能的微观个可能的微观状态出现的概率相等。状态出现的概率相等。适用范围适用范围平衡态、孤立系统、大量粒子构成。平衡态、孤立系统、大量粒子构成。返回返回 等概率原理是统计物理的基本原理，是大量实验事实的总结等概率原理是统计物理的基本原理，是大量实验事实的总结概括而提出的基本假设。其正确性由实验检验，它不能用其它定概括而提出的基本假设。其正确性由实验检验，它不能用其它定理推导。以后各章节的内容以它为基础。理推导。以后各章节的内容以它为基础。二、等概率原理的重要性二、等概率原理的重要性返回返回二、三种系统的微观状态数二、三种系统的微观状态数
18、一、分布和微观状态一、分布和微观状态三、非简并条件三、非简并条件4.5 近独立粒子系统的分布和微观状态数近独立粒子系统的分布和微观状态数返回返回 设设N个全同近独立粒子构成的系统、体积个全同近独立粒子构成的系统、体积V、能量、能量E、能、能级级l、简并度、简并度l、能级粒子数为、能级粒子数为al。能级能级 1 ，2，l，简并度简并度 1 ，2，l，粒子数粒子数 a1 ，a2，al，一、分布和微观状态一、分布和微观状态粒子分布如下粒子分布如下例例122313(a)(b)(c)图图4.5.1玻尔兹曼系统相应于分布（玻尔兹曼系统相应于分布（2.1.0）的微观状态）的微观状态粒子数排成的数列粒子数排成
19、的数列a1，a2，al，叫一个分布，记为叫一个分布，记为al 每个个体量子态上的粒子数或者单个个体量子态构成的体系的每个个体量子态上的粒子数或者单个个体量子态构成的体系的整体状态叫系统的微观状态。整体状态叫系统的微观状态。应注意：应注意：1个分布可以有许多个微观状态。个分布可以有许多个微观状态。返回返回二、三种系统的微观状态数二、三种系统的微观状态数玻尔兹曼系统的微观状态数玻尔兹曼系统的微观状态数玻色系统的微观状态数玻色系统的微观状态数费米系统的微观状态数费米系统的微观状态数返回返回1、玻尔兹曼系统的微观状态数、玻尔兹曼系统的微观状态数（1）lBMaW例如例如4.5.1玻尔兹曼系统，给定分布玻
20、尔兹曼系统，给定分布a1=2，a2=1，a3=0且非简并：且非简并：1=2=3=1返回返回（2）2、玻色系统的微观状态数、玻色系统的微观状态数返回返回3、费米系统的微观状态数、费米系统的微观状态数（3）返回返回三、非简并条件三、非简并条件 条件（条件（4）称为非简并性条件。物理意义是：当）称为非简并性条件。物理意义是：当所有能级的粒子数都远于量子态数，不可识别的粒子所有能级的粒子数都远于量子态数，不可识别的粒子就变成可识别的粒子，粒子间的关联可以忽略。就变成可识别的粒子，粒子间的关联可以忽略。若若有有（4）返回返回一、统计系综和系综代表点密度一、统计系综和系综代表点密度二、系统微观状态能态密度
21、二、系统微观状态能态密度三、几种常见体系的能态密度三、几种常见体系的能态密度4.6 系统微观状态能态密度系统微观状态能态密度返回返回1、统计系综的定义、统计系综的定义2、系综代表点密度、系综代表点密度 D3、概率分布函数、概率分布函数一、统计系综和系综代表点密度一、统计系综和系综代表点密度返回返回引入系综概念后使得引入系综概念后使得1、统计系综的定义、统计系综的定义相应微观量相应微观量对一切微观对一切微观状态的平均状态的平均系综平均系综平均为了解决如何进行统计平均而引入统计系综概念。为了解决如何进行统计平均而引入统计系综概念。定义：定义：系综是大量的，彼此独立、力学性质相同但可处于不同微观系综
22、是大量的，彼此独立、力学性质相同但可处于不同微观运动状态假想系统的集合叫统计系综。运动状态假想系统的集合叫统计系综。物理量的物理量的时间平均时间平均返回返回定义：定义：空间单位相体积元内系统微观状态代表点的个数叫系综空间单位相体积元内系统微观状态代表点的个数叫系综代表点密度，记为代表点密度，记为D，是时间，是时间t、动量、动量p、广义坐标、广义坐标q的函数，有的函数，有2、系综代表点密度、系综代表点密度D（t是总微观状态数）是总微观状态数）返回返回定义：系统微观状态出现在定义：系统微观状态出现在空间单位相体积元的概率，有空间单位相体积元的概率，有3、概率分布函数、概率分布函数（归一化条件）（归
23、一化条件）力学量平均值力学量平均值确定具体系统的确定具体系统的（q，p，t）是统计物理的基本问题）是统计物理的基本问题返回返回1、定义、定义二、系统微观状态能态密度二、系统微观状态能态密度2、的计算公式的计算公式3、N维球球体积计算公式维球球体积计算公式返回返回系统能量在系统能量在E附近单位能量间隔内的微观状态数，记为附近单位能量间隔内的微观状态数，记为1、定义、定义返回返回2、的计算公式的计算公式积分范围：积分范围：对量子体系，直接数量子态数对量子体系，直接数量子态数对经典体系，采用对经典体系，采用空间计算空间计算返回返回3、N维球球体积计算公式维球球体积计算公式由由球面包围的球面包围的N维球的体积维球的体积由由所围所围N维球的体积维球的体积由由所围所围3N维球的体积维球的体积返回返回1、N和单原子分子构成的理想气体和单原子分子构成的理想气体2、N个光子构成的光子体系个光子构成的光子体系三、几种常见体系的能态密度三、几种常见体系的能态密度返回返回1、N个单原子分子构成的理想气体个单原子分子构成的理想气体有：有：由由返回返回2、N个光子构成的光子体系个光子构成的光子体系作业：作业：1、P109 4.22、P110 4.73、P110 4.8有有由由返回返回