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1、19.2.1矩形(2)复习回顾复习回顾四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。边边对角线对角线角角ABCDO矩形对边矩形对边平行平行且且相等相等；矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角；矩形的对角线矩形的对角线相等相等且且平分平分；直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行
2、四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。你还有其他的判定方法吗？你还有其他的判定方法吗？ABCDA=900四边形四边形ABCD是矩形是矩形探究：工人师傅为了检验探究：工人师傅为了检验两两组对边相等组对边相等的四边形窗框是的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线量这个四边形的两条对角线长度，如果长度，如果对角线长相等对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形。命题命题：对角线相等的平行四边形是矩形。：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：
3、平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明:因为因为 AB=CD,BC=BC,AC=BD，所以所以 ABC DCB（SSS）。）。因为因为 AB/CD，所以所以ABC+DCB=180。所以所以ABC=DCB=90。又因为四边形又因为四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，所以四边形所以四边形ABCD是矩形。是矩形。所以所以ABC=DCB。对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法矩形的判定方法1：数学语言：数学语言：因为四边形因为四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AC=BD，所以四边形
4、所以四边形ABCD是矩形。是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或（或OA=OC=OB=OD）探究探究2：李芳同学有：李芳同学有“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出这样四步，画出了一个四边形，她说这就是了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？一个矩形，她的判断对吗？为什么？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？矩形的判定方法矩形的判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD 因为因为
5、A=B=C=90，所以四边形所以四边形ABCD是矩形。是矩形。数学语言：数学语言：你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形。方法方法1：方法方法2：方法方法3：练一练练一练1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，M为为AD的中的中点，且点，且BM=CM。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。
6、DABCM2.如图，直线如图，直线MNPQ，直线，直线EF分别交分别交MN、PQ于于A、C，AB、CB、CD、AD分别是分别是MAC，ACP、ACQ、NAC的平分线。的平分线。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。FNMQPEACBD例题讲解例题讲解例例1.如图，如图，ABCD中，四个内角的平分线分别交中，四个内角的平分线分别交于点于点E、F、G、H。试判断四边形。试判断四边形EFGH的形状，的形状，并证明你的结论。并证明你的结论。DABCFHEG例例2.如图，如图，AB=AC，AD=AE，BC=DE，BAD=CAE。求证：四边形求证：四边形BCED是矩形。是矩形。DABCE1.下列
7、各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。形
8、。（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX2.平行四边形平行四边形ABCD中中,E是是CD的中点的中点,ABE是等边三角形是等边三角形,求证求证:四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。DABCE3.如图如图,在在RtABC中中,ABC=90,AC=10cm,那么那么AC边上的中线边上的中线BD的长为的长为cm.答案:54.矩形的判定矩形的判定(1)对角线对角线的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形.(2)有三个角是有三个角是的四边形是矩形的四边
9、形是矩形.答案答案:(1)相等相等(2)直角直角5.如图如图,已知在已知在ABC中中,ACB=90,CD为斜边为斜边AB的中线的中线,延长延长CD到点到点E,使得使得DE=CD.连接连接AE,BE,试证明四边形试证明四边形ACBE为矩形为矩形.证明证明:在在ABC中中,ACB=90,CD为斜边为斜边AB的中线的中线,AD=DB.DE=CD,四边形四边形ACBE为平行四边形为平行四边形.ACB=90,四边形四边形ACBE为矩形为矩形.拓展提升已已知知：如如图图，平平行行四四边边形形ABCD的的内内角角平平分分线交于点线交于点P、Q、M、N，求证：四边形求证：四边形PQMN是矩形。是矩形。一个角是
10、直角一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形矩形矩形平行四边形平行四边形矩形的矩形的 两条对角线相等且互相平分两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角边边对角线角角矩形的定义矩形的定义矩矩形形的的性性质质（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）1.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为ABC的高,B=2C,M为BC的中点,求证:DM=AB.证明:取AC的中点N,连接MN,DN,又M为BC的中点,MNAB且MN=AB,B=NMC.ADBC,N为AC的中
11、点,DN=AC=CN,C=NDM,又NMC=MDN+MND,B=2C,MDN=MND,DM=MN,DM=AB.点拨:本题由中点构建三角形中位线模型,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,构建等腰三角形模型,体现了转化思想及构建模型理念.2.矩形的判定【例2】如图,在ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)ABFDCE;(2)四边形ABCD是矩形.证明:(1)BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,BF=CE.四边形ABCD是平行四边形,AB=DC.在ABF和DCE中,AB=DC,BF=CE,AF=DE,ABFDCE.(2)ABFDCE,B=C.四边形A
12、BCD是平行四边形,ABCD.B+C=180.B=C=90.平行四边形ABCD是矩形.点拨:在解决具体问题时,要从矩形的众多方法中灵活选用,选择适合本题条件的方法.3.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折叠,使顶点B与顶点D重合,折痕为EF.若AB=,AD=3,则DEF的周长为.解析:沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A的位置,AE=AE,AD=AB=,BF=DF.四边形ABCD为矩形,CD=AB=,BC=AD=3,C=A=90.在RtDCF中,设CF=x,则DF=BF=3-x,由勾股定理得x2+()2=(3-x)2,解得x=1,DF=3-x=3-1=2.设AE=y,则D
13、E=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+()2=(3-y)2,解得y=1,DE=3-y=3-1=2.连接BD交EF于点O,点B与D关于EF对称,BO=DO=BD=.在RtEDO中,EO=1,易证DOEBOF,EO=OF=1,EF=2.DEF的周长为DE+DF+EF=2+2+2=6.答案:6在RtADE中,(2)选择直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通过重合图形找到数量关系,便可利用勾股定理列方程求解.点拨:折叠问题的解题步骤:(1)利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算);1.(2011四川绵阳中考)下列关于矩形的说法中正确的是().A.对角线相等的四边形是矩形B.
14、对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分答案:D2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是().A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD答案:D3.(2011浙江温州中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知AOB=60,AC=16,则图中长度为8的线段有().A.2条B.4条C.5条D.6条解析:由矩形ABCD得OA=OB=OC=OD.由AOB=60,得OA=OB=AB=OC=OD=DC=8.共有6条线段长度等于8.答案:D4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点
15、O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AC=8,则EF=.解析:根据矩形的对角线相等且互相平分得OD=4,再根据三角形的中位线的性质得EF=OD=2.答案:25.求证:矩形的对角线相等.解:已知:四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线.求证:AC=BD.证明:四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90.又BC=CB,ABCDCB.AC=BD,矩形的对角线相等.6.如图,在矩形ABCD中,AE平分BAD,1=15.(1)求2的度数;(2)求证:BO=BE.(1)解:四边形ABCD是矩形,BAD=ABC=90.AE平分BAD,BAE=DAE=45.AEB=90-45=45,2=45-1=30.OA=OB.2=30,ABC=90,BAO=60.ABO是等边三角形.OB=AB.又BAE=AEB=45,BE=AB.BO=BE.(2)证明:四边形ABCD是矩形,AC=BD,OA=AC,OB=BD,