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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学总复习专题精选高考数学总复习专题 0606 数列分项练习含解数列分项练习含解析理析理一基础题组1.【2005 天津，理 13】在数列中， ，且则_。na11a 22a * 211n nnaanN 100S【答案】2600【解析】当为奇数时， ；当为偶数时，20nnaa22nnaa因此，数列的奇数各项都是 1，偶数项成公差为 2 的等差数列na本题答案填写：26002.【2006 天津，理 7】已知数列、都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为、 ，且， 设（） ，则数列的前 10 项和等于（ ）nanb1a1b511ba* 11,Nba
2、nbnac *NnncA55 B70 C85 D100【答案】C3.【2006 天津，理 16】设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角， （其中） ，设 11 xxf0A *,NnnfnAn01121nnnaA AA AAA nna 0 , 1innStantantan21，则= nnS lim【答案】12 / 20【解析】设函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角， （其中） ，设，则=1 11 xxf 0A *,NnnfnAn01121nnnaA AA AAA 0nA A nna 1 11tan(1)nn nn n 0 , 1innStantantan21111111 22
3、3(1)1n nn nnS lim4.【2007 天津，理 8】设等差数列的公差不为 0.若是与的等比中项，则 ( ) nad19adka1a2kak A.2B.4C. 6D.8【答案】B【解析】5.【2007 天津，理 13】设等差数列的公差是 2，前项的和为则. nad,nS22 limnnnan S_【答案】3【解析】根据题意知代入极限式得11(1)222naanna2 1,(1)nSnn a22 11 2 134(2)(2)lim3(1)nnana nn a6.【2008 天津，理 15】已知数列中， ，则 . na*31, 1111Nnaaannn nnalim【答案】7 6【解析】
4、22111211111()13()33(nnnnnnnaaaaaaaa3 / 20所以.21 73lim11613nna 7.【2009 天津，理 6】设 a0,b0.若是 3a 与 3b 的等比中项,则的最小值为（ ）3ba11A.8 B.4 C.1 D.41【答案】B【解析】是 3a 与 3b 的等比中项3a3b33a+b3a+b1,a0,b0,.3 41 21 2abbaab4411111ababba ba8.【2010 天津，理 6】已知an是首项为 1 的等比数列，Sn 是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列的前 5 项和为( ) 1naA.或 5 B.或 5 C. D. 15
5、831 1631 1615 8【答案】C 9S3S3S3q3 得 q38，解得 q2.是首项为 1，公比为的等比数列1na1 2其前 5 项和为 5111 ( ) 312 11612 9.【2011 天津，理 4】已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项， na7a3a9anS为的前项和， ，则的值为 na*nN10SA-110 B-90 C90 4 / 20D110【答案】D.【解析】，解之得，2,932 7daaa)16)(4()12(112 1aaa201a.110)2(2910201010s10.【2014 天津，理 11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和若成等比数列，则
6、的值为_na1a1-nS124,SSS1a【答案】 1 2【解析】试题分析：依题意得，解得2 214SS S=()()2 1112146aaa-=-11 2a = -考点：1等差数列、等比数列的通项公式；2等比数列的前项和公式11.【2017 天津，理 18】 （本小题满分 13 分）已知为等差数列，前 n 项和为，是首项为 2 的等比数列，且公比大于0， ， ， na()nSnNnb2312bb3412baa11411Sb（）求和的通项公式；nanb（）求数列的前 n 项和221nna b()nN【答案】 （） ， ；（） 32nan2nnb 1328433nn5 / 20由，可得 3412
7、baa138da由，可得 ，114=11Sb1516ad联立，解得， ，由此可得11a 3d 32nan所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为na32nannb2nnb 所以，数列的前项和为221nna b1328433nn【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位6 / 20相减法求和二能力题组1.【2005 天津，理 18】已知：。1221*,0,0nnnnn n
8、uaabababbnNab（）当 a = b 时，求数列的前 n 项和；nanS（）求。1limnnnu u【答案】 （）若， ,若，则1a 21221221nnnnanaaaS a 1a 3 2nn nS（）当时， ，,当时， 1q 1limnnnuau1q 1limnnnubu【解析】解：（I）当时， ，它的前项和 ab1n nuna 232341n nSaaana两边同时乘以，得23412341n naSaaana当时，设（） ，则：abbqa1q 1 2111nn nn naquaqqqq此时：1 111nn n naqu uq 当时，即时，1q ab1 11limlimlim1n n
9、 nnnnnuqaauq当时，即时，1q ab111111limlimlimlim11nn n nnnnnn naquqaaqbuqqq2.【2006 天津，理 21】已知数列满足，并且 nnyx ,2, 12121yyxx7 / 201111,nnnnnnnn yy yy xx xx（为非零参数， ） , 4 , 3 , 2n（1）若成等比数列，求参数的值；531,xxx（2）当时，证明；0*11Nnyx yxnnnn当时，证明.1*1133222211 1Nnyxyx yxyx yxyxnnnn【答案】 （1） （2） （I）详见解析， （II）详见解析1. （III）证明：当时，由（II
10、）可知1).( 1*Nnxynn又由（II）则 ),(*11Nnyx yxnnnn,111nnnnnn xxy xxy从而 因此).(*1111Nnxx xyxynnnnnnn3.【2012 天津，理 18】已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b12，a4b427，S4b410(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*)【答案】(1) an3n1，bn2n， (2) 详见解析【解析】解：(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为q由 a1b12，得 a423d，b42q3，S
11、486d由条件，得方程组解得3323227,86210,dqdq 3,2.dq 所以 an3n1，bn2n，nN*(方法二：数学归纳法)当 n1 时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；8 / 20假设当 nk 时等式成立，即 Tk122ak10bk，则当nk1 时有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk) ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即 Tk1122ak110bk1，因此 nk1 时等式也成立由和，可知对任意 nN*，Tn122an10bn
12、成立4.【2013 天津，理 19】已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列3 2(1)求数列an的通项公式；(2)设 Tn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值1n nSS【答案】 （） ；（）最大项的值为，最小项的值为.13( 1)2n nna 5 67 12【解析】解：(1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是.2531 4aqa故.1 1113250236n nSSSS当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增
13、大而增大，所以S2Sn1，3 49 / 20故.2 21134704312n nSSSS 综上，对于 nN*，总有.715 126n nSS所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.5 67 125.【2014 天津，理 19】已知和均为给定的大于 1 的自然数设集合，集合0,1,2,1,qM =-1 12,1,2,n niAx xxx qx qxM in-+=+ （）当，时，用列举法表示集合；2q =3n=A（）设， ， ，其中证明：若，则, s tA11 2n nsaa qa q-=+11 2n ntbb qb q-=+,1, 2 ,.iiabMin=nnabst【答案】 （） ；（）详见试
14、题分析0 ,1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7A=【解析】试题分析：（）当时，采用列举法可得集合；（）先由已知写出及的表达式：， ，再作差可得，放缩2 ,3qn=2 1230 ,1 ,22 ,1, 2 , 3 ,iMAx xxxxxMi=+ +=0 ,1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7A=11 2n nsaa qa q-=+11 2n ntbb qb q-=+() ()()()21 112211nn nnnnstababqabqabq- -=-+-+-+-()()()1 2111 1110 ,1n nnnqqqqqqstq- -+-=-= -10 / 20考点：1集合的含义
15、与表示；2等比数列的前项和公式；3不等式的证明6. 【2015 高考天津，理 18】 （本小题满分 13 分）已知数列满足na212()*,1,2nnaqa qqnNaa为实数，且1，且233445,aa aa aa+成等差数列.(I)求的值和的通项公式；na(II)设，求数列的前项和.*2221log,n n nabnNanb【答案】(I) ; (II) .1 222,2 ,.nnnnan 为奇数,为偶数1242nnnS【解析】(I) 由已知，有，即，()()()()34234534aaaaaaaa+-+=+-+4253aaaa所以，又因为，故，由，得，23(1)(1)a qa q1q 32
16、2aa31aa q2q 当时， ，21(*)nknN1 12 2122n k nkaa 当时， ，2 (*)nk nN2 222n k nkaa所以的通项公式为na1 222,2 ,.nnnnan 为奇数,为偶数所以数列的前项和为. nb124,*2nnnN【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.三拔高题组1.【2007 天津，理 21】在数列中 N 其中. na1 112,(2)2 (nn nnaaan *)0(I)求数列的通项公式； na11 / 20(II)求数列的前项和； nanS(III)证明存在 N 使得对任意 N 均成立.k11nknkaa aan【答案】
17、(I)(II) 当 时，当 时，(III)证明(略)(1)2nn nan1212 1 2(1)22.(1)nn n nnnS 11(1)22.2n nn nS【解析】(I)解法一：，222 22(2)22a，223233 3(2 )(2)222a .334344 4(22 )(2)232a这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何 N 都成立.1nk(1)2nn nann解法二：由 N 可得1 1(2)2 (nn nnaan ),0,学*1 1 1221,nn nn nnaa 所以为等数列，其公差为 1，首项为 0.故所以数列的通项公式为2n n na 21,n n nan
18、na(1)2 .nn nan(II)解：设234123.(2)(1),nn nTnn345123.(2)(1).nn nTnn当时，式减去式，得1这时数列的前项和 na当 时，这时数列的前项和1(1).2nn nT na所以式成立.12 / 20因此，存在使得对任意 N 均成立.1,k 1121nknkaaa aaa n2.【2008 天津，理 22】在数列与中， ，数列的前项和满足 na nb4, 111ba nanS031nnSnnS,为与的等比中项，.12nanb1nb*Nn（）求的值；22,ba（）求数列与的通项公式；na nb（）设. 证明：.12* 12( 1)( 1)( 1),n
19、aaa nnTbbbnN A A A2| 2,3nTnn【答案】（I）（II），（）详见解析29b (1) 2nn na2(1)nbn【解析】（）解：由题设有，解得由题设又有，解得12140aaa11a 23a 2 22 14ab b14b 29b （）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，1(3)0nnnSnS11a 14b 23a 29b 36a 316b 410a 425b (1) 2nn na2(1)nbn*nN先证，(1) 2nn na*nN当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：1n 1(111 2)a 2n （1 当时，等式成立2n 2(221 2)a（2）假设时等式成立，即，n
20、k(1) 2kk ka2k 由题设， 1(3)kkkSkS222 21 124(1) (2)(1) 1(1)k k kakkbkbk 这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立1nk2(1)nbn*nN13 / 20解法二：由题设 1(3)nnnSnS的两边分别减去的两边，整理得，所以1(2)nnnana2n ，3224aa，4335aa214SS，3225SS，1(1)(2)nnnSnS2n 将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得12(1)14 5(2)nnSnS 13(1)(2)(1)(2) 26nn nnn nnSa ，3n 由（），上式对也成立所以，1,2n 1
21、(1) 2nnnn naSS2n 上式对时也成立1n 以下同解法二，可得，2(1)nbn1n （）证明：12(1) 222 122( 1( 1)23( 1)(1)( 1)naa nn n a nbTbnb 当，时，4nk*kN22222222(42)2(41)(3454 )(41)nkkkkT 注意到，故2222(42)(41)(4 )(41)324kkkkk(1)(12)4324322nTk kkkk224 (44)4(4 )3 43kkkkknn14 / 20从而时，有3n 222132,5,9,13,3312,6,10,14,| 12,3,7,11,312,4,8,12,nnnnnTnn
22、 nnnnn 总之，当时有，即3n 2|2nT n2| 2nTn3.【2009 天津，理 22】已知等差数列an的公差为 d(d0),等比数列bn的公比为 q(q1).设Sna1b1+a2b2+anbn,Tna1b1a2b2+(1)n1anbn,nN*.(1)若 a1b11,d2,q3,求 S3 的值;(2)若 b11,证明,nN*;22221)1 (2)1 ()1 (qqdqTqSqnnn(3)若正整数 n 满足 2nq,设 k1,k2,kn 和 l1,l2,ln 是1,2,n 的两个不同的排列,nkkkbababac n21121,证明 c1c2.nlllbababac n21221分析分
23、析: :本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n n 项和公式等基础知识项和公式等基础知识, ,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力决问题的能力. .【答案】 （）55.；（）详见解析；（）详见解析所以,(1q)S2n(1+q)T2n(S2nT2n)q(S2n+T2n)2d(q+q3+q2n1)221)1 (2 qqdqn,nN*.(3)证明:nlklblkbaabaaaacc nn)()()(221221115 / 20(k1l1)db1+(k2l2)db1q+(
24、knln)db1qn1.因为 d0,b10,所以1 2211 121)()()(n nnqlkqlklkdbcc.若 knln,取 in.若 knln,取 i 满足 kili,且 kjlj,i+1jn.由,及题设知,1in,且12 112211 121)()()()( i iii iiqlkqlkqlklkdbcc.()当 kili 时,得 kili1.由 qn,得ktltq1,t1,2,i1,即 k1l1q1,(k2l2)q(q1)q,(ki1li1)qi2(q1)qi2.又(kili)qi1qi1,所以111) 1() 1() 1() 1(11 12121 ii iiqqqqqqqqqqd
25、bcc.因此 c1c20,即 c1c2.()当 kili 时,同理可得1,因此 c1c2.112 dbcc 综上,c1c2.4.【2010 天津，理 22】在数列an中，a10，且对任意kN*，a2k1，a2k，a2k1 成等差数列，其公差为 dk.(1)若 dk2k，证明 a2k，a2k1，a2k2 成等比数列(kN*)；(2)若对任意 kN*，a2k，a2k1，a2k2 成等比数列，其公比为 qk.16 / 20若 q11，证明是等差数列；1 1kq 若 a22，证明2n2(n2)3 222nkkk a【答案】(1)详见解析， (2) 详见解析，详见解析(2)法一：由 a2k1，a2k，a
26、2k1 成等差数列，及a2k，a2k1，a2k2 成等比数列，得2a2ka2k1a2k1，2qk.212122kkkkaa aa11kq当 q11 时，可知 qk1，kN*.从而1，11111 11121kkkqq q即 (k2)，111111kkqq所以是等差数列，公差为 1.1 1kq 由 a10，a22，可得 a34，从而 q12，1.由有1k1k，得 qk，kN*.4 211 1q 1 1kq 1k k所以.2222212kkkkaa aa1k k从而，kN*.222kka a22(1)k k因此 a2ka222k2.2222224kkkkaa aa42a a2222(1) (1)(2
27、)kk kk222 1a2k1a2k2k(k1)，kN*.1k k以下分两种情况进行讨论：17 / 20()当 n 为偶数时，设 n2m(mN*)若 m1，则 2n2.22nkkk a若 m2，则2212 114441 22 (1)mmkkkkk kk k2m2114412 (1)2 (1)mkkk k kk k2m111 112()21mkkk2m2(m1) (1)2n.1 21 m3 21 n所以 2n，从而2n2，n4,6,8，.22nkkk a3 21 n3 222nkkk a综合()和()可知，对任意 n2，nN*，有2n2. 3 222nkkk a法二：由题设，可得dka2k1a2
28、kqka2ka2ka2k(qk1)，dk1a2k2a2k1 a2kqka2ka2kqk(qk1)，2 kq所以 dk1qkdk.qk1.232211 2 2222221111kkkkkkkkkkkkkaadddq aaq aq aq 由 q11 可知 qk1，kN*，可得1.1111 1111kkkkkq qqqq所以是等差数列，公差为 1.1 1kq 因为 a10，a22，18 / 20所以 d1a2a12.所以 a3a2d14，故 qk.1k k从而qk.1kkd d1k k所以k.1112kkkkkddd ddd211 12dkk dkk2 1由 d12，可得 dk2k.于是，由(1)可
29、知 a2k12k(k1)，a2k2k2，kN*.以下同法一 5.【2011 天津，理 20】已知数列与满足：， ，且na nb1123( 1)0,2nnnnnnnb aabab *nN122,4aa（）求的值；345,a a a（）设，证明：是等比数列；* 2121,nnncaanN nc（III）设证明：* 242,kkSaaakN4 *17()6n kkkSnNa【答案】 （） ；（）详见解析；（）详见解析3453,5,4aaa 【解析】 （I）解：由*3( 1),2nnbnN 可得1,nnb 为奇数2, n为偶数因此是等比数列.11, n n nccc 所以（III）证明：由（II）可得
30、，2121( 1)kkkaa 于是，对任意，有*2kNk且19 / 20将以上各式相加，得121( 1)(1),k kaak 即，1 21( 1)(1)k kak 此式当 k=1 时也成立.由式得1 2( 1)(3).k kak 从而22468424()()(),kkkSaaaaaak 所以，对任意，*,2nNn对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN6. 【2016 高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的，是和的等比中项.na*nNnbna1na（I）设 求证：数列是等差数列；22* 1,nnncbbnNnc（II）设 求证： 2 2* 1 1,( 1),n k nk kad TbnN2 111.2nkkTd【答案】 （）详见解析（）详见解析【解析】（II）证明： 222222 1234212nnnTbbbbbb 所以.2222 11111111111112121212nnnkkkkTdk kdkkdnd【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】利用分组转化法求和的常见类型：20 / 20(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和,nnb nc n为奇数为偶数