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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题06 数列一基础题组1.【2005天津，理13】在数列中，且则_。【答案】2600【解析】当为奇数时，；当为偶数时，因此，数列的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列本题答案填写：26002.【2006天津，理7】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100【答案】C3.【2006天津，理16】设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则= 【答案】1【解析】设函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则=14.【2007天津，理8】设等差数列的公差
2、不为0.若是与的等比中项，则( )A.2B.4C. 6D.8【答案】B【解析】5.【2007天津，理13】设等差数列的公差是2，前项的和为则.【答案】3【解析】根据题意知代入极限式得6.【2008天津，理15】已知数列中，则 .【答案】【解析】所以.7.【2009天津，理6】设a0,b0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为（ ）A.8 B.4 C.1 D.【答案】B【解析】是3a与3b的等比中项3a3b33a+b3a+b1,a0,b0,.8.【2010天津，理6】已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为() A.或5 B.或5 C. D. 【答案
3、】C9S3S3S3q3得q38，解得q2.是首项为1，公比为的等比数列其前5项和为 9.【2011天津，理4】已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D.【解析】，解之得，.10.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和若成等比数列，则的值为_【答案】【解析】试题分析：依题意得，解得考点：1等差数列、等比数列的通项公式；2等比数列的前项和公式11.【2017天津，理18】（本小题满分13分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和【答
4、案】（），；（）由，可得 由，可得 ，联立，解得，由此可得所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为所以，数列的前项和为【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和二能力题组1.【2005天津，理18】已知：。（）当a = b时，求数列的前n项和；（）求。【答案】（）若， ,若，则（）当时，,当时， 【解析】解：（I）当时，它的前项和 两边同时乘以，得 当时，设（
5、），则：此时：当时，即时，当时，即时，2.【2006天津，理21】已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；当时，证明.【答案】 （1）（2）（I）详见解析，（II）详见解析（III）证明：当时，由（II）可知 又由（II）则 从而 因此3.【2012天津，理18】已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*)【答案】(1) an3n1，bn2n， (2) 详见解析【解析】解：(1)设等差
6、数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN* (方法二：数学归纳法)当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，则当nk1时有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk) ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1，因此nk1时等式也成立由和，可知对任意nN*，Tn122an10bn成
7、立4.【2013天津，理19】已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【答案】（）；（）最大项的值为，最小项的值为.【解析】解：(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是.故.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故.综上，对于nN*，总有.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.5.【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数设集
8、合，集合（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中证明：若，则【答案】（）；（）详见试题分析【解析】试题分析：（）当时，采用列举法可得集合；（）先由已知写出及的表达式：，再作差可得，放缩考点：1集合的含义与表示；2等比数列的前项和公式；3不等式的证明6. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.【答案】(I) ; (II) .【解析】(I) 由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为 所以数列的前项和为.【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.三拔高题组
9、1.【2007天津，理21】在数列中N其中.(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前项和；(III)证明存在N使得对任意N均成立.【答案】(I)(II) 当 时，当 时，(III)证明(略)【解析】(I)解法一：，.这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.解法二：由N可得学*所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为(II)解：设 当时，式减去式，得这时数列的前项和当 时，这时数列的前项和所以式成立.因此，存在使得对任意N均成立.2.【2008天津，理22】在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；（）设
10、. 证明：.【答案】（I）（II），（）详见解析【解析】（）解：由题设有，解得由题设又有，解得（）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证，当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：（1当时，等式成立（2）假设时等式成立，即，由题设，这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立解法二：由题设的两边分别减去的两边，整理得，所以，将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，由（），上式对也成立所以，上式对时也成立以下同解法二，可得，（）证明：当，时，注意到，故从而时，有总之，当时有，即3.【2009天津，理22】已知等差数列an的公差为d(d0),等比数列bn的公比为q(q1).
11、设Sna1b1+a2b2+anbn,Tna1b1a2b2+(1)n1anbn,nN*.(1)若a1b11,d2,q3,求S3的值;(2)若b11,证明,nN*;(3)若正整数n满足2nq,设k1,k2,kn和l1,l2,ln是1,2,n的两个不同的排列,证明c1c2.分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力.【答案】（）55.；（）详见解析；（）详见解析所以,(1q)S2n(1+q)T2n(S2nT2n)q(S2n+T2n)2d(q+q3+q2n1),nN*.(3)证明:(k1l1)db1+(k2l
12、2)db1q+(knln)db1qn1.因为d0,b10,所以.若knln,取in.若knln,取i满足kili,且kjlj,i+1jn.由,及题设知,1in,且.()当kili时,得kili1.由qn,得ktltq1,t1,2,i1,即k1l1q1,(k2l2)q(q1)q,(ki1li1)qi2(q1)qi2.又(kili)qi1qi1,所以.因此c1c20,即c1c2.()当kili时,同理可得1,因此c1c2.综上,c1c2.4.【2010天津，理22】在数列an中，a10，且对任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差数列，其公差为dk.(1)若dk2k，证明a2k，a2k1，a2
13、k2成等比数列(kN*)；(2)若对任意kN*，a2k，a2k1，a2k2成等比数列，其公比为qk.若q11，证明是等差数列；若a22，证明2n2(n2)【答案】(1)详见解析， (2) 详见解析，详见解析 (2)法一：由a2k1，a2k，a2k1成等差数列，及a2k，a2k1，a2k2成等比数列，得2a2ka2k1a2k1，2qk.当q11时，可知qk1，kN*.从而1，即 (k2)，所以是等差数列，公差为1.由a10，a22，可得a34，从而q12，1.由有1k1k，得qk，kN*.所以.从而，kN*.因此a2ka222k2.a2k1a2k2k(k1)，kN*.以下分两种情况进行讨论：()
14、当n为偶数时，设n2m(mN*)若m1，则2n2.若m2，则2m2m2m2(m1) (1)2n.所以2n，从而2n2，n4,6,8，.综合()和()可知，对任意n2，nN*，有2n2. 法二：由题设，可得dka2k1a2kqka2ka2ka2k(qk1)，dk1a2k2a2k1 a2kqka2ka2kqk(qk1)，所以dk1qkdk.qk1.由q11可知qk1，kN*，可得1.所以是等差数列，公差为1.因为a10，a22，所以d1a2a12.所以a3a2d14，故qk.从而qk.所以k.由d12，可得dk2k.于是，由(1)可知a2k12k(k1)，a2k2k2，kN*.以下同法一 5.【2
15、011天津，理20】已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：【答案】（）；（）详见解析；（）详见解析【解析】（I）解：由 可得因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意6. 【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的，是和的等比中项.（I）设 求证：数列是等差数列；（II）设 求证： 【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（II）证明：所以.【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】利用分组转化法求和的常见类型：(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和专心-专注-专业