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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 4 4 讲幂函数与二次函数学案讲幂函数与二次函数学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 幂函数的图象和性质1五种幂函数图象的比较2幂函数的性质比较必会结论1一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是Error!(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是Error!2二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为(h，k)(3)两根式：ya(xx1)(xx
2、2)(其中 a0，x1，x2 是二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)( )(2)二次函数 yax2bxc(xR)，不可能是偶函数( )(3)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是.( )(4)当 .板块二 典例探究考向突破3 / 14考向 幂函数的图象与性质例 1 (1)函数 f(x)(m2m1)xm 是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数 m 的值是( )B2 A1 D1 或 2C3 答案 B解析 f(x)(m2m1)xm 是幂函数m2m11m1或 m2.又 x(0
3、，)上是增函数，所以 m2.(2)2016全国卷已知 a2) ，b4) ，c25) ，则( )Ba1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较【变式训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为( )B1 A3 D1 或 2C2 答案 B4 / 14解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或n3，经检验只有 n1 符合题意故选 B.(2)2018昆明模拟设 a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c
4、 的大小关系为( )BcabAacb DcbaCabc 答案 B解析 由已知得 a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，x(0，)，根据幂函数的单调性，知 cab.考向 求二次函数的解析式例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解 解法一：(利用一般式)设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得Error!所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.解法二：(利用顶点式)设 f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x.m.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)a28.f(
5、2)1，a281，解得 a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知 f(x)10 两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 f(x)max8，即8.5 / 14解得 a4 或 a0(舍)所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.触类旁通确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式训练 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(1x)f(1x)，且 f(0)0，f(1)1，求 f(x)的解析式解 解法一：(一般式)设 f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)
6、x22x.解法二：(两根式)对称轴方程为 x1，f(2)f(0)0，f(x)0 的两根分别为 0,2.可设其解析式为 f(x)ax(x2)又f(1)1，可得 a1，f(x)x(x2)x22x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，可设其解析式为 f(x)a(x1)21.又由 f(0)0，可得 a1，f(x)(x1)21x22x.考向 二次函数的图象和性质命题角度 1 二次函数的单调性例 3 已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间解 (1)由于函数 f(x)的图象开口向
7、上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即a6 或 a4.(2)当 a1 时，f(x)x22x3，6 / 14f(|x|)x22|x|3，此时定义域为 x4,6，且 f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是4,0命题角度 2 二次函数的最值例 4 2016浙江高考已知函数 f(x)x2bx，则“b2，所以“b1 时，如图 3 所示当 x1 时，y 有最大值ymaxf(1)2aa2.a2，且满足 a1，a2.综上可知，a 的值为1 或 2.答题启示 二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴
8、固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.跟踪训练设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为 x1.当 t11 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为 f(t)t22t2.综上可知，f(x)minError!板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12018秦皇岛模拟若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )B0，)A(0，) D(，0)C(，) 答案 D解析 设 y
9、xa，则2a，a2，yx2 其单调递增区间为(，0)故选 D.22018武汉模拟如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数x，都有 f(1x)f(x)，那么( )Bf(0)f(2)f(0)故选 A.3若不等式(a2)x22(a2)x41 时，恒有 f(x)1 时，恒有 f(x)1 时，函数 f(x)x的图象在 yx 的图象的下方，作出幂函数 f(x)x 在第一象限的图象，由图象可知 0，得1m0，m10，又x时，f(x)单调递增，f(m1)f(0)0.72017浙江高考若函数 f(x)x2axb 在区间0,1上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm( )B与 a 有关，但与 b 无关A与 a
10、有关，且与 b 有关 D与 a 无关，但与 b 有关C与 a 无关，且与 b 无关 11 / 14答案 B解析 设 x1，x2 分别是函数 f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则 mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关故选 B.由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次解法二：函数图象的形状一定随着 b 的变动，相当于图象上下移动，若 b增大 k 个单位，则最大值与最小值分别变为 Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与 b 无关随着 a 的变动，相当于图象左右移动，则 Mm 的值在变化，故与 a 有关故选 B.8已知函数 f(x
11、)x22ax2 在5,5上是单调函数，则实数 a 的取值范围是_答案 (，55，)解析 f(x)(xa)22a2，图象的对称轴为 xa，由题意可知a5 或a5，解得 a5 或 a5.92018合肥模拟若函数 f(x) 的定义域为 R，则 a 的取值范围为_答案 1,0解析 函数 f(x)的定义域为 R，所以 2 x22axa10 对xR 恒成立，即 2 x22axa20，x22axa0 恒成立，因此有 (2a)24a0，解得1a0.102018南昌模拟如果函数 f(x)x2axa 在区间0,2上的最大值为 1，那么实数 a_.答案 1解析 因为函数 f(x)x2axa 的图象为开口向上的抛物线
12、，所以函数的最大值在区间的端点取得因为 f(0)a，f(2)43a，所以或解得 a1.B 级 知能提升12018浙江模拟已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则( )12 / 14Ba0,4ab0 Da0,2ab0 答案 A解析 由 f(0)f(4)，得 f(x)ax2bxc 的对称轴为x2，所以 4ab0，又 f(0)f(1)，所以 f(x)先减后增，所以 a0.选 A.2.如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确对称轴为 x1，即1,2ab0，错误结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0.那么 f(x)的零点是_；若 f(x)的值域是，则c 的取值范围是_答案 1 和 0 (0,4解析 当 0xc 时，由 x) 0 得 x0.当2x0，则x0)，所以 f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为 xa1，当 a11，即 a0 时，g(1)12a 为最小值；当 12，即 a1 时，g(2)24a 为最小值综上可得 g(x)minError!14 / 14