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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 9 9 讲函数模型及其应用学案讲函数模型及其应用学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0 且a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0 且a1，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b为常数，a0)考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的
2、图象与性质必会结论“f(x)x(a0)”型函数模型形如 f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0和(0，上单调递减(2)当 x0 时，x时取最小值 2，当 x0 时，x时取最大值2.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大( )(2)幂函数比一次函数增长速度快( )(3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较2 / 15大的实际问题中( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律( )(5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出
3、售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利( )(6)当 x4 时，恒有 2xx2log2x.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)22018长沙模拟小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留，距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除 B.3课本改编已知某矩形广场的面积为 4 万平方米，则其周长至少为( )B900 米 A800 米 D1200 米C1000 米 答案 A解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为米，所以其
4、周长为l2800，当且仅当 x，即 x200 时取等号4课本改编某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )B105 元 A118 元 D108 元C106 元 答案 D解析 设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108.52018抚顺模拟某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则到第 8 年它3 / 15们发展到的只数为_答案 200解析 alog33100，a100，y100log39200.6调查表明，酒后驾驶是导致
5、交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到小时)答案 2解析 设 n 小时后才可以驾车，由题意得 0.8(150%)n2,0.5n，即 n2，即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动车板块二 典例探究考向突破考向 利用函数图象刻画实际问题例 1 2017全国卷某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位
6、：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是( )A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份，故 A 错；对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故 B 正确；对于选项 C，D，由图可知显然正确故选 A.触类旁通4 / 15用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调
7、性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可【变式训练 1】 2015北京高考汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行
8、驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正确考向 已知函数模型解决实际问题例 2 2015四川高考某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22
9、的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是( )B20 小时A16 小时 D28 小时C24 小时 5 / 15答案 C解析 由题意，得(0,192)和(22,48)是函数 yekxb 图象上的两个点，则解得 e11k.所以当储藏温度为 33 时，保鲜时间ye33kb(e11k)3eb19224(小时)触类旁通利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题【变式训练 2】 2014北京高考加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”
10、在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )B3.75 分钟A3.50 分钟 D4.25 分钟C4.00 分钟 答案 B解析 由已知得解得Error!p0.2t21.5t22，当 t3.75 时 p 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟故选B.考向 构建函数模型解决实际问题例 3 2016四川高考某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全
11、年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)B2019 年 A2018 年 6 / 15D2021 年C2020 年 答案 B解析 设第 n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元根据题意得 130(112%)n1200，则 lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得 n，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 2019 年故选 B.触类旁通构建数学模型一定要过好的三关(1)事
12、理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型【变式训练 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消
13、耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解 (1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，因此 f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(万元)，当且仅当7 / 156x10，即 x5 时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元核心规律1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值3.解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原满分策略
14、解答数学应用题的失误与防范(1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以应正确理解题意，选择适当的函数模型(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.板块三 启智培优破译高考规范答题系列 1构建分段函数模型解决实际问题2018山西模拟为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了
15、便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于8 / 15这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数 yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解题视点 (1)y(2)下结论解 (1)当 x6 时，y50x115，令 50x1150，解得 x2.3，x 为整数，3x6.当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有 3x268x115185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一
16、日的净收入最多答题模板 解函数应用题的一般程序第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的9 / 15意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性跟踪训练某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线当 t(0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t14,40时，曲线是函数 yloga(t5)83(a0
17、 且 a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳(1)试求 pf(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由解 (1)当 t(0,14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将(14,81)代入得c，t(0,14时，pf(t)(t12)282；当 t(14,40时，将(14,81)代入 yloga(t5)83，得a，所以 pf(t)t583，t14，40.)(2)t(0,14时，由(t12)28280，解得 122t122，所以 t122，14，t(14,40时，由 log(t5)8380，解得 5t32，
18、所以 t(14,32，所以 t122，32，即老师在 t122，32时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标10 / 151现有一组数据如下：1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )Avlog2t BvlogtCv Dv2t2答案 C解析 取 t1.992(或 t5.15)，代入 A 得vlog2211.5；代入 B，得 vlog211.5；代入 C，得v1.5；代入 D，得 v22221.5.故选 C.22018安阳一模某类产品按工艺共分 10 个档
19、次，最低档次产品每件利润为 8 元每提高一个档次，每件利润增加 2 元用同样工时，可以生产最低档次产品 60 件，每提高一个档次将少生产3 件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A7 B8 C9 D10答案 C解析 由题意，当生产第 k 档次的产品时，每天可获得利润为y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10，kN)，配方可得 y6(k9)2864，所以当 k9 时，获得利润最大选 C.3用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是(参考数据 lg 20.3010)( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 设至少要洗 x 次，则
20、x，x3.322，因此需 411 / 15次故选 B.4.某地一天内的气温 Q(t)(单位：)与时刻 t(单位：时)之间的关系如图所示，令 C(t)表示时间段0，t内的温差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是( )答案 D解析 当 0t4 时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除 C；当 4t8 时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除 A，B，选 D.52017武汉模拟国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过部分的 14%纳税；超过
21、4000 元的按全稿酬的 11%纳税若某人共纳税 420 元，则这个人的稿费为( )A3000 元 B3800 元 C3818 元 D5600 元答案 B解析 由题意可建立纳税额 y 关于稿费 x 的函数解析式为 y显然由 0.14(x800)420，可得 x3800.6若某商场将彩电价格由原价 2250(元/台)提高 40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠” ，则商场每台彩电比原价多卖_元答案 270解析 由题意可得每台彩电比原价多卖 2250(140%)80%2250270(元)7在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_ m.答案 20
22、解析 设矩形花园的宽为 y m，则，即 y40x，矩形花园的面积 Sx(40x)x240x(x20)2400，当 x20 m12 / 15时，面积最大82018金版创新“好酒也怕巷子深” ，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费 A 之间满足关系 Ra(a 为常数)，广告效应为 DaA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为_(用常数 a 表示)答案 a2解析 令 t(t0)，则 At2，Datt22a2.当 ta，即 Aa2 时，D 取得最大值9一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一
23、半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年降低的百分比为 x(0x1)则 a(1x)10a，即(1x)10，解得 x1) .(2)设经过 m 年剩余面积为原来的，则 a(1x)ma，即) ) ，解得 m5，故到今年为止，已砍伐了 5 年(3)设从今年开始，最多还能砍伐 n 年，则 n 年后剩余面积为 a(1x)n.令 a(1x)na，即(1x)n，(1 2) 故今后最多还能砍伐 15 年102018大连模拟候鸟每
24、年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：13 / 15m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：vablog3(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog30，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 ablog31，整理
25、得 a2b1.解方程组得Error!(2)由(1)知，vablog31log3.要使飞行速度不低于 2 m/s，即 v2，所以1log32，即 log33，解得27，即 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位B 级 知能提升12018云南联考某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项 A；后三年产量保持不变，
26、总产量直线上升故选 A.22018四川德阳诊断将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 14 / 15min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 L，则 m 的值为_答案 5解析 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数 yf(t)aent 满足 f(5)ae5na，可得 nln ，所以 f(t)a) ，设k min 后甲桶中的水只有 L，则 f(k)a) ，所以) ，解得k10，所以 mk55(min)3.2018湖北八校联考某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 2 月 1 日至 2 月 1
27、8 日自己种植的西红柿的日销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人 2 月 6 日大约卖出了西红柿_千克答案 190 9解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 ykxb，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得 k，b，所以 yx，则当x6 时，y.4.如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE4 米，CD6 米为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上(1)设 MPx 米，PNy 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值解 (
28、1)作 PQAF 于 Q，所以 PQ(8y) 米，EQ(x4) 米又EPQEDF，所以，即.所以 yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，15 / 15则 S(x)xyx(x10)250，S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x10，所以当 x4,8时，S(x)单调递增所以当 x8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米52018佛山模拟某工厂生产某种产品，每日的成本 C(单位：万元)与日产量 x(单位：吨)满足函数关系式 C3x，每日的销售额 S(单位：万元)与日产量 x 的函数关系式 S已知每日的利润 LSC，且当 x2 时，L3.(1)求 k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解 (1)由题意，得 L因为 x2 时，L3，所以 3222.解得 k18.(2)当 0x6 时，L2x2，所以 L2(x8)182(8x)182186.当且仅当 2(8x)，即 x5 时取得等号当 x6 时，L11x5.所以当 x5 时，L 取得最大值 6.所以当日产量为 5 吨时，每日的利润可以达到最大值 6 万元