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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 5 5 节指数函数教师用书文新人教节指数函数教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10， ，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型1根式的性质(1)()na.(2)当 n 为奇数时，a.(3)当 n 为偶数时，|a|Error!(4)负数的偶次方根无意义(5)零的任何次
2、方根都等于零2有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且 n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；2 / 12(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，)过定点(0,1)当x0 时，y1；当x0 时，0y1当x0 时，0y1；当x0 时，y1性质在 R 上是增函数在 R 上是减函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)4.(
3、)(2)(1)(1).( )(3)函数 y2x1 是指数函数( )(4)函数 yax21(a1)的值域是(0，)( )答案 (1) (2) (3) (4)2化简(2)6(1)0 的结果为( )A9 B7C10D9B 原式(26)1817. 3函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是( )【导学号：31222044】A B C DC 法一：令 yaxa0，得 x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C.3 / 12法二：当 a1 时，yaxa 是由 yax 向下平移 a 个单位，且过(1,0)，A，B，D 都不合适；当 0a1 时，yaxa 是由 yax 向下平移 a 个单位
4、，因为0a1，故排除选项 D.4(教材改编)已知 0.2m0.2n，则 m_n(填“”或“”) 设 f(x)0.2x，f(x)为减函数，由已知 f(m)f(n)，mn.5指数函数 y(2a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是_(1,2) 由题意知 02a1，解得 1a2.指数幂的运算化简求值：(1)022(0.01)0.5；解 (1)原式111.6 分(2)原式.12 分规律方法 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同
5、时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数变式训练 1 化简求值：(1)(0.027)2(1)0；4 / 12(2)ab2(3ab1)(4ab3) .解 (1)原式72149145.6 分.12 分指数函数的图象及应用(1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是( )A B C D(2)若曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，求 b 的取值范围(1)A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质(2)曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，8 分则
6、 b 的取值范围是(0,1).12 分规律方法 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数 yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 变式训练 2 (1)函数 f(x)axb 的图象如图 251，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是( )【导学号：31222045】5 / 12图 251Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)方程 2x2x 的解的个数是_
7、(1)D (2)1 (1)由 f(x)axb 的图象可以观察出，函数f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1，函数 f(x)axb 的图象是在 yax 的基础上向左平移得到的，所以 b0.(2)方程的解可看作函数 y2x 和 y2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解指数函数的性质及应用角度 1 比较指数式的大小(1)(2016全国卷)已知 a2，b3，c25，则( )Abac BabcCbcaDcab(2)(2016浙江高考)已知函数 f(x)满足：f(x)|x|且 f(x)2x，xR.( )A若 f(a)|b|，则 abB若
8、 f(a)2b，则 abC若 f(a)|b|，则 abD若 f(a)2b，则 ab(1)A (2)B (1)a24，b3，c255.yx 在第一象限内为增函数，又 543，cab.6 / 12(2)f(x)|x|，f(a)|a|.若 f(a)|b|，则|a|b|，A项错误若 f(a)|b|且 f(a)|a|，无法推出 ab，故 C 项错误f(x)2x，f(a)2a.若 f(a)2b，则 2b2a，故ba，B 项正确若 f(a)2b 且 f(a)2a，无法推出 ab，故 D项错误故选 B.角度 2 解简单的指数方程或不等式(2015江苏高考)不等式 2x2x4 的解集为_x|1x2 2x2x4，
9、2x2x22，x2x2，即 x2x20，1x2.角度 3 探究指数型函数的性质已知函数 f(x)ax24x3.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解 (1)当 a1 时，f(x)x24x3，令 g(x)x24x3(x2)27，则 g(x)在区间(，2)上单调递增，2 分在区间2，)上单调递减，又函数 yx 在 R 上是减函数，因此 f(x)的单调递增区间是2，)，单调递减区间是(，2).4 分(2)由 f(x)有最大值 3 知，ax24x3 有最小值1，则有解得a1.8 分(3)由 f(x)的值域
10、是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有 a0.12 分规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数7 / 12的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解3探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数 a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论思想与方法1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根
11、式的化简运算2判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x1得到底数的值再进行比较易错与防范1指数函数的单调性取决于底数 a 的大小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0a1 和 a1 两种情况分类讨论2对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域3对可化为 a2xbaxc0 或 a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围课时分层训练课时分层训练( (八八) ) 指数函数指数函数A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题8 / 121函数 f(x)2|x1|的大致图象是( )【
12、导学号：31222046】A B C DB f(x)Error!所以 f(x)的图象在1，)上为增函数，在(，1)上为减函数2(2016山东德州一模)已知 a，b，c，则( )Aabc BcbaCcabDbcaD yx 为减函数，bc.又yx 在(0，)上为增函数，ac，bca，故选 D.3(2016河南安阳模拟)已知函数 f(x)ax，其中 a0，且a1，如果以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y 轴上，那么 f(x1)f(x2)等于( )A1 Ba C2 Da2A 以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y 轴上，x1x20.又f(x
13、)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故选 A. 4函数 y2xx2 的值域为( ) 【导学号：31222047】A. B.(，1 2C.D(0,29 / 12A 2xx2(x1)211，又 yt 在 R 上为减函数，y2xx21，即值域为. 5设函数 f(x)若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是( )A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)C 当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a71，即 a8，即a3，(1 2)因为 01，所以 a3，此时3a0；当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为1，所以 0a1.故 a 的取值范围是(3,1)二、填空题6计算
14、：_. 【导学号：31222048】2 原式2.7已知函数 f(x)4ax1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是_(1,5) 由 f(1)4a05 知，点 P 的坐标为(1,5)8已知正数 a 满足 a22a30，函数 f(x)ax，若实数m，n 满足 f(m)f(n)，则 m，n 的大小关系为_mn a22a30，a3 或 a1(舍)10 / 12函数 f(x)3x 在 R 上递增，由 f(m)f(n)，得 mn.三、解答题9求不等式 a2x7a4x1(a0，且 a1)中 x 的取值范围解 设 yax(a0 且 a1)，若 0a1，则 yax 为减函数，a2x7a4x12x74x1，解得
15、 x3；5 分若 a1，则 yax 为增函数，a2x7a4x12x74x1，解得 x3.9 分综上，当 0a1 时，x 的取值范围是(3，)；当 a1 时，x 的取值范围是(，3).12 分10已知函数 f(x)a 是奇函数(1)求 a 的值和函数 f(x)的定义域；(2)解不等式 f(m22m1)f(m23)0.解 (1)因为函数 f(x)a 是奇函数，所以 f(x)f(x)，即aa，即，从而有 1aa，解得 a.3 分又 2x10，所以 x0，故函数 f(x)的定义域为(，0)(0，).5 分(2)由 f(m22m1)f(m23)0，得 f(m22m1)f(m23)，因为函数 f(x)为奇
16、函数，所以 f(m22m1)f(m23).8 分由(1)可知函数 f(x)在(0，)上是减函数，从而在(，0)上是减函数，又m22m10，m230，所以m22m1m23，解得 m1，所以不等式的解集为11 / 12(1，).12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1已知实数 a，b 满足等式 ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中不可能成立的关系式有( )【导学号：31222049】A1 个B2 个C3 个D4 个B 函数 y1x 与 y2x 的图象如图所示由 ab 得 ab0或 0ba 或 ab0.故可能成立，不可能成立2(2017安徽江淮十校第一次联考)
17、已知 maxa，b表示a，b 两数中的最大值若 f(x)maxe|x|，e|x2|，则 f(x)的最小值为_e 由于 f(x)maxe|x|，e|x2|Error!当 x1 时，f(x)e，且当 x1 时，取得最小值 e；当 x1 时，f(x)e.故 f(x)的最小值为 f(1)e.3已知 f(x)x3(a0，且 a1)(1)讨论 f(x)的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立解 (1)由于 ax10，则 ax1，得 x0，函数 f(x)的定义域为x|x0.2 分对于定义域内任意 x，有12 / 12f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)f(x)是偶函数.5 分(2)由(1)知 f(x)为偶函数，只需讨论 x0 时的情况当 x0 时，要使 f(x)0，即 x30，即0，即0，9 分即 ax10，ax1，axa0.又x0，a1.因此 a1 时，f(x)0.12 分