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1、1第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数考纲传真 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型1有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN N*，且n1)；m nnam负分数指数幂：a (a0，m，nN N*，且n1)；m n1amn1nam0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ Q)；(ar)sars(a0，r，sQ Q)；(ab)rarbr(
2、a0，b0，rQ Q)2指数函数的图像与性质21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)(1) (1) .( )2 41 21(2)函数y2x1是指数函数( )(3)若aman(a0，且a1)，则mn.( )(4)函数yax21(a1)的值域是(0，)( )答案 (1) (2) (3) (4)2化简(2)6 (1)0的结果为( )A9 B7C10 D9B B 原式(26) 1817. 3函数yaxa(a0，且a1)的图像可能是( )A B C DC C 法一：令yaxa0，得x1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C.法二：当a1 时，yaxa是由y
3、ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D 都不合适；当 0a1 时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为 0a1，故排除选项 D.4(教材改编)已知 0.2m0.2n，则m_n(填“”或“”).【导学号：66482052】 设f (x)0.2x，f (x)为减函数，由已知f (m)f (n)，mn.5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.【导学号：66482053】3(1,2) 由题意知 02a1，解得 1a2.指数幂的运算化简求值：(1)022 (0.01)0.5；(23 5)(21 4)1 2(2).a23b11 2a1 2b1 36ab5解 (1)原式1
4、 1 1 . 6 分1 4(4 9)1 2(1 100)1 21 42 31 101 61 1016 15(2)原式a b . 12 分a13b1 2a1 2b1 3a16b5 61 31 21 61 21 35 61 a规律方法 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数变式训练 1 化简求值：(1)(0.027) 2(1)0；1 3(1 7)(27 9)1 22(2)ab2(3ab
5、1)(4ab3) .5 61 31 22 31 2解 (1)原式 721(27 1 000)1 3(25 9)1 249 145. 6 分10 35 3(2)原式ab3(4ab3)5 21 62 31 2ab3(a b )5 41 61 33 24a b5 41 23 2 . 12 分5 41ab35ab4ab2指数函数的图像及应用(1)函数f (x)1e|x|的图像大致是( )(2)若曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，求b的取值范围(1)A A 将函数解析式与图像对比分析，因为函数f (x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质(2)曲线y|2x1|与直线yb的
6、图像如图所示，由图像可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，8 分则b的取值范围是(0,1). 12 分规律方法 指数函数图像的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数yax(a0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(1，1 a)(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. 5图 251变式训练 2 (1)函数f (x)axb的图像如图 251，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0
7、a1，b0(2)方程 2x2x的解的个数是_(1)D D (2)1 (1)由f (x)axb的图像可以观察出，函数f (x)axb在定义域上递减，所以 0a1，函数f (x)axb的图像是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解指数函数的性质及应用角度 1 比较指数式的大小(1)(2016全国卷)已知a2 ，b3 ，c25 ，则( )4 32 31 3【导学号：66482054】Abac BabcCbca Dcab(2)(2016浙江高考)已知函数f (x)满足：
8、f (x)|x|且f (x)2x，xR R.( )A若f (a)|b|，则abB若f (a)2b，则abC若f (a)|b|，则ab6D若f (a)2b，则ab(1)A A (2 2)B B (1)a2 4 ，b3 ，c25 5 .4 32 32 31 32 3yx在第一象限内为增函数，又 543，cab.2 3(2)f (x)|x|，f (a)|a|.若f (a)|b|，则|a|b|，A 项错误若f (a)|b|且f (a)|a|，无法推出ab，故 C 项错误f (x)2x，f (a)2a.若f (a)2b，则 2b2a，故ba，B 项正确若f (a)2b且f (a)2a，无法推出ab，故
9、D 项错误故选 B.角度 2 解简单的指数方程或不等式(2015江苏高考)不等式 2x2x4 的解集为_x|1x2 2x2x4，2x2x22，(或1，2)x2x2，即x2x20，1x2.角度 3 探究指数型函数的性质已知函数f (x).(1 3)(1)若a1，求f (x)的单调区间；(2)若f (x)有最大值 3，求a的值；(3)若f (x)的值域是(0，)，求a的值解 (1)当a1 时，f (x)，(1 3)令g(x)x24x3(x2)27，则g(x)在区间(，2)上递增，2 分在区间2，)上递减，又函数yx在 R R 上是减函数，(1 3)因此f (x)的递增区间是2，)，递减区间是(，2
10、). 4 分(2)由f (x)有最大值 3 知，ax24x3 有最小值1，则有Error!解得a1. 8 分(3)由f (x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R R，则必有a0. 12 分规律方法 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解3探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要7分类讨论思想与方法1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x1 得到底数的值再进行比较易错与防范1指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与 1 的大小关系不确定时应分0a1 和a1 两种情况讨论2对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域3对可化为a2xbaxc0 或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围