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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何章立体几何第第 3 3 讲空间点直线平面之间的位置关系学案讲空间点直线平面之间的位置关系学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 平面的基本性质考点 2 空间两条直线的位置关系1位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直
2、线 a 与 b 所成的角(2)范围：.考点 3 空间直线、平面的位置关系必会结论1公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线2 / 15考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分( )(2)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( )(3)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b不可能是平
3、行直线( )(4)没有公共点的两条直线是异面直线( )答案 (1) (2) (3) (4)22018福州质检已知命题 p：a，b 为异面直线，命题 q：直线 a，b 不相交，则 p 是 q 的( )B必要不充分条件A充分不必要条件 D既不充分也不必要条件C充分必要条件 答案 A解析 若直线 a，b 不相交，则 a，b 平行或异面，所以 p 是 q的充分不必要条件故选 A.3课本改编若直线 ab，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是( )AbBbCb 或 bDb 与 相交或 b 或 b答案 D解析 b 与 相交或 b 或 b 都可以故选 D.42018衡中调研已知直线 a，b，c，
4、有下面四个命题：若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面；若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac.其中真命题的序号是_3 / 15答案 解析 a，c 可能相交、平行或异面；a，c 可能相交、平行或异面；正确；a，c 可能相交、平行或异面5.2018大连模拟如图，在三棱锥 CABD 中，E，F 分别是AC 和 BD 的中点，若 CD2AB4，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角是_答案 30解析 取 CB 的中点 G，连接 EG，FG，EGAB，FGCD，EF 与 CD 所成的角为EFG 或其补角又EFAB
5、，EFEG.在 RtEFG，EGAB1，FGCD2，sinEFG，EFG30，EF 与 CD 所成的角为 30.板块二 典例探究考向突破考向 平面基本性质的应用 例 1 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是AB 和 AA1 的中点求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点证明 (1)如图所示，连接 EF，CD1，A1B.E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F 四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P.则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平
6、面 ABCD.4 / 15同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA，CE，D1F，DA 三线共点触类旁通1证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线2证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线【变式训练 1】 如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB、AD 的中点，G，
7、H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P.求证：P，A，C 三点共线证明 (1)E，F 分别为 AB，AD 的中点，EFBD.在BCD 中，GHBD，EFGH，E，F，G，H 四点共面(2)由(1)知 EF 綊 BD，GH 綊 BD.四边形 FEGH 为梯形，GE 与 HF 交于一点，设EGFHP，PEG，EG平面 ABC，P平面 ABC.同理 P平面 ADC.P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点，又平面 ABC平面 ADCAC，PAC，P，A，C 三点共线5 / 15考向 空间两条直线的位置关系
8、命题角度 1 两直线位置关系的判定例 2 2015广东高考若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交答案 D解析 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故l1，l2 中至少有一条与 l 相交故选 D.命题角度 2 异面直线的判定例 3 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与
9、CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案 解析 因为点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面 CDD1C1 内，直线 CC1 在平面 CDD1C1 内，CC1 不过点 M，所以 AM 与 CC1 是异面直线，故错；取 DD1 中点 E，连接 AE，则 BNAE，但 AE 与 AM 相交，故错；因为 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内，M 在平面 BCC1B1 外，BN不过点 B1，所以 BN 与 MB1 是异面直线，故正确；同理正确，故填
10、.6 / 15触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法考向 异面直线所成的角 例 4 2017全国卷已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.33答案 C解析 将直三棱柱 ABCA1B1C1 补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接 AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以 AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD 中，由余弦定理知 BD22212221cos603，所以 BD，所以 B1D1.又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与
11、 BC1 所成的角 ，所以 cos.故选 C.触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角【变式训练 2】 如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_7 / 15答案 7 8解析 如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接MK，CK.M 为 AD 的中点，MKAN，KMC
12、(或其补角)为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在 RtCKN 中，CK.在CKM 中，由余弦定理，得cosKMC，所以异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是.核心规律1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线共点等几何问题2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法，将异面直线所成的角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一个可解的三角形中去求解满分策略1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内” 2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3
13、.两条异面直线所成角的范围是(0，90.板块三 启智培优破译高考题型技法系列 11构造法判定空间线面位置关系 2018西安模拟已知 m，n 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m，n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 ；8 / 15若 m，n，mn，则 ；若 m，n，则 mn.其中所有真命题的序号是( )A B C D解题视点 判断空间线面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其它几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象具体化解析 对于，可以得到平面 ， 互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面 ， 可能
14、垂直，如图(2)所示；对于，平面 ， 可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得 m.因为 n，所以过 n 作平面 ，且g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以mn.答案 A答题启示 由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证.跟踪训练2018郑州模拟设 l 是直线， 是两个不同的平面，( )A若 l，l，则 B若 l，l，则C若 ，l，则 l D若 ，l，则l答案 B解析 解法一：设 a，若直线 la，且l，l
15、，则 l，l，因此 不一定平行于 ，故 A 错误；由于 l，故在 内存在直线 ll，又因为 l，所以9 / 15l，故 ，所以 B 正确；若 ，在 内作交线的垂线 l，则 l，此时 l 在平面 内，因此 C 错误；已知 ，若 a，la，且 l 不在平面 ， 内，则 l 且l，因此 D 错误解法二：借助于长方体模型解决本题：对于 A，如图， 与 可相交；对于 B，如图，不论 在何位置，都有 ；对于 C，如图，l 可与 平行或 l 内；对于 D，如图，l 或 l 或 l.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12018济宁模拟直线 l1，l2 平行的一个充分条件是( )Al1，l2 都平行于同一
16、个平面Bl1，l2 与同一个平面所成的角相等Cl1 平行于 l2 所在的平面Dl1，l2 都垂直于同一个平面答案 D解析 对 A，当 l1，l2 都平行于同一个平面时，l1 与 l2 可能平行、相交或异面；对 B，当 l1，l2 与同一个平面所成角相等时，l1 与 l2 可能平行、相交或异面；对 C，l1 与 l2 可能平行，也可能异面，只有 D 满足要求故选 D.22018太原期末已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交 C垂直 D异面答案 C解析 直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错误；l 时，在平面 内不存在与 l 异面的直线，
17、D 错误；l 时，在平面 内不存在与 l 相交的直线，B 错误无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直故选 C.10 / 153已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若ab，bc，则 ac.其中正确的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 解法一：在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，并且相交或异面时不一定垂直，所以错，显然成立解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确故选 B.4若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结
18、论一定正确的是( )Al1l4Bl1l4Cl1 与 l4 既不垂直也不平行Dl1 与 l4 的位置关系不确定答案 D解析 构造如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1，取 l1 为AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1l4，当取 l4为 BB1 时，l1l4，故排除 A，B，C.故选 D.5.如图，l，A、B，C，且 Cl，直线ABlM，过 A，B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )B点 BA点 A D点 C 和点 MC点 C 但不过点 M 答案 D解析 AB，MAB，M.又 l，Ml，M.根据公理 3 可知，M 在 与 的交线上同理可知
19、，点 C 也11 / 15在 与 的交线上故选 D.62018大连模拟已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a平面 ，b平面 ，c.若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交；若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 ab，则必有 ac；若 ab，ac，则必有 .其中正确的命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 C解析 中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交，故正确；中平面 平面 时，若 bc，则 b平面，此时不论 a，c 是否垂直，均有 ab，故错误；中当 ab时，则 a平面 ，由线面平行的性质定理可得 ac，故正确；中若
20、 bc，则 ab，ac 时，a 与平面 不一定垂直，此时平面 与平面 也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.故选 C.7.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )B.A. 2 5D.C. 4 5答案 D解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 或其补角即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，由 AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，故 cosA1BC1.则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为.故选 D.12 / 158.如图，在三棱锥 DA
21、BC 中，ACBD，且 ACBD，E，F 分别是棱 DC，AB 的中点，则 EF 和 AC 所成的角等于( )B45A30 D90C60 答案 B解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG.E，F 分别为 CD，AB 的中点，FGAC，EGBD，且 FGAC，EGBD.EFG 为 EF 与 AC 所成的角ACBD，FGEG.ACBD，FGEG，FGE90，EFG 为等腰直角三角形，EFG45，即 EF 与 AC 所成的角为 45.故选 B.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为
22、异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.102018许昌模拟如下图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_答案 13 / 15解析 中 HGMN；中 GMHN 且 GMHN，所以直线 HG 与MN 必相交B 级 知能提升12018泉州模拟设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A存在唯一直线 l，使得 la，且 lbB存在唯一直线 l，使得
23、la，且 lbC存在唯一平面 ，使得 a，且 bD存在唯一平面 ，使得 a，且 b答案 C解析 a，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知 A 不正确；由 la，且 lb，可得 ab，与题设矛盾，故 B 不正确；由 a，且 b，可得 ab，与题设矛盾，D不正确故选 C.2.2018赤峰模拟如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列说法错误的是( )AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行答案 D解析 如图，连接 C1D，在C1DB 中，MNBD，故 C 项正确；因为 C
24、C1平面 ABCD，所以 CC1BD，所以 MN 与 CC1 垂直，故 A 项正确；因为 ACBD，MNBD，所以 MN 与 AC 垂直，故 B 项正确；因为 A1B1 与 BD 异面，MNBD，所以 MN 与 A1B1 不可能平行，D 项错误故选 D.14 / 153.如图所示，ABCDA1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论错误的是_(填序号)A，M，O 三点共线；A，M，O，A1 四点共面；A，O，C，M 四点共面；B，B1，O，M 四点共面答案 解析 连接 AO，则 AO 是平面 AB1D1 与平面 AA1C1C 的交
25、线因为 A1C平面 AA1C1C，MA1C，所以 M平面 AA1C1C.又 M平面AB1D1，所以 MAO，故 A，M，O 三点共线，从而易知均正确4.如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC60，PAABAC2，E 是 PC 的中点(1)求证：AE 与 PB 是异面直线；(2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值；(3)求三棱锥 AEBC 的体积解 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设平面为 ，A，B，E，平面 即为平面 ABE，P平面 ABE，这与 P平面 ABE 矛盾，AE 与 PB 是异面直线(2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFPB，所以A
26、EF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角BAC60，PAABAC2，PA平面 ABC，AF，AE，EF，cosAEF，异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为.15 / 15(3)因为 E 是 PC 的中点，所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA1，VAEBCVEABC1.5.2018邯郸一中模拟已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面ABC 的中心，如图所示(1)连接 BC1，求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小；(2)连接 A1C，A1B，求三棱锥 C1BCA1 的体积解 (1)连接 AO，并延长与 BC 交于点 D，则 D 是 BC 边的中点点 O 是正ABC 的中心，且 A1O平面 ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面 ADA1.BCAA1.又 AA1CC1，异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为BC1C 或其补角CC1BC，即四边形 BCC1B1 为正方形，异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为.(2)三棱柱的所有棱长都为 2，可求得 AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.