《高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理.doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-8-3 3 空间点直线平面之间的位置关系学案理空间点直线平面之间的位置关系学案理考纲展示 1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题考点 1 平面的基本性质及应用平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过_的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4
2、)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条_直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条_直线有且只有一个平面答案：(1)两点 (2)不在一条直线上 (3)一个(4)相交 平行(1)教材习题改编直线 a，b，c 两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( )B3 A1 D0C6 - 2 - / 15答案：B(2)教材习题改编两两相交的三条直线最多可确定_个平面答案：3判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公理或定理)(1)如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BEFA，G，H 分别为 F
3、A，FD 的中点四边形 BCHG 的形状是_；点 C，D，E，F，G 中，能共面的四点是_答案：平行四边形 C，D，E，F解析：G，H 分别为 FA，FD 的中点，GH 綊 AD.又 BC 綊 AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 为平行四边形由 BEFA，G 为 FA 的中点知，BEFG，所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EFBG.由(1)知 BGCH，所以 EFCH，所以 EF 与 CH 共面又 DFH，所以 C，D，E，F 四点共面(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC 与 BD 交于点 M，则点 O 与直线
4、C1M 的关系是_答案：点 O 在直线 C1M 上解析：如图所示，因为 A1C平面 A1ACC1，OA1C，所以 O平面 A1ACC1，而 O 是平面 BDC1 与直线 A1C 的交点，所以 O平面BDC1，所以点 O 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上因为ACBDM，所以 M平面 BDC1.又 M平面 A1ACC1，所以平面 BDC1- 3 - / 15平面 A1ACC1C1M，所以 OC1M.典题 1 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b
5、 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面B1 A0 D3C2 答案 B解析 显然是正确的，可用反证法证明；中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面；构造长方体如图，显然 b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确(2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)， E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CGBC，CHDC.求证：E，F，G，H 四点共面；三直线 FH，EG，AC 共点证明 连接 EF，GH，E，F 分别是 AB，AD 的中点，EFBD.- 4 - / 15又CGBC，
6、CHDC，GHBD，EFGH，E，F，G，H 四点共面易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面，设 FHACM，M平面 EFHG，M平面 ABC.又平面 EFHG平面 ABCEG，MEG，FH，EG，AC 共点点石成金 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其
7、他直线经过该点考点 2 空间两直线的位置关系(1)教材习题改编已知直线 a 与 b 平行，直线 c 与 b 相交，则直线 a 与 c 的位置关系是_答案：相交或异面解析：当直线 c 在直线 a 与 b 确定的平面内时，a 与 c 相交；当直线 c 与直线 a，b 确定的平面相交时，a 与 c 异面(2)教材习题改编如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，PQ 是异面直线 A1D 与 AQ 的公垂线，则直线 PQ 与 BD1 的位置关系为- 5 - / 15_(填序号)平行；异面；相交但不垂直；垂直答案：解析：A1DB1C，PQA1D，PQB1C.又PQAC，PQ平面 AB1C.ACBD，A
8、CDD1，ACBD1，同理 B1CBD1，BD1平面 AB1C，PQBD1.两条直线关系判断误区：异面直线概念、理解不透下列关于异面直线的说法正确的是_若 a，b，则 a 与 b 是异面直线；若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面；若 a，b 不同在平面 内，则 a 与 b 异面；若 a，b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面答案：解析：中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知正确考情聚焦 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点主要有以下几个命题角度：角度一两直线位置关系的判定典题 2
9、 (1)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：- 6 - / 15若 ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若 ab，bc，则 ac.其中正确的个数为( )B1 A0 D3C2 答案 B解析 解法一：在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错误，显然成立解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错误，正确(2) 2017浙江余姚模拟如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列说法错误的是( )AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行答
10、案 D解析 如图，连接 C1D，在C1DB 中，MNBD，故 C 正确；CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，CC1BD，MN 与 CC1 垂直，故 A 正确；ACBD，MNBD，MN 与 AC 垂直，故 B 正确；A1B1 与 BD 异面，MNBD，- 7 - / 15MN 与 A1B1 不可能平行，故 D 错误故选 D.点石成金 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直角度二异面直线的判定典题 3 (1)在下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点
11、，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案 解析 图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH与 MN 异面所以在图中，GH 与 MN 异面(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_对答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与
12、GH都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对点石成金 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线- 8 - / 15不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到考点 3 异面直线所成角典题 4 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )B.A. 2 5D.C. 4 5答案 D解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1
13、 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，由 AB1 知，AA12，A1C1，A1BBC1，故 cosA1BC1.则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为.题点发散 1 将题干条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面 ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1” ，问题不变解：因平面 ABCD 内有且仅有一点到 A1 的距离为 1，则 AA11.此时正四棱柱变为正方体 ABCDA1B1C1D1，由图知 A1B 与 AD1 所成角为A1BC1，连接 A1C1.则A1BC1 为等边三边形，A1BC160，cosA1BC1，故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的
14、余弦值为.- 9 - / 15题点发散 2 将题干条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为” ，试求的值解：设t，则 AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1，t3，即3.题点发散 3 将题干条件“AA12AB2”改为“AB1，且平面 ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1” ，则是否存在过顶点 A的直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等若存在，存在几条？若不存在，请说明理由解：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，联
15、想正方体的其他体对角线如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等，因为BB1AA1，BCAD，所以体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等同理体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，故过 A 作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足，故这样的直线可以作 4 条点石成金 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求-
16、10 - / 15的角.已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 所成的角为60，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角的大小解：解法一：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PMAB，PNCD，且 PNCD，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角则MPN60或MPN120.若MPN60，因为 PMAB，所以PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角又因为 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等边三角形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形
17、所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上知，直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30.解法二：由 ABCD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1C1CD1D 中进行考虑，如图，由 M，N 分别是 BC，AD 的中点，所以 MNAA1，即BAA1(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角连接 A1B1 交 AB 于 O，所以 A1B1CD，- 11 - / 15即AOA1(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角所以AOA160或 120.由矩形 AA1BB1 的性质可得BAA160或 30.所以直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30.方法技巧 1.要证明“线共面”或
18、“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)2要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线3判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面4求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关易错防范 1.异面直线是“不同在任
19、何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内” 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是.4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补- 12 - / 15角真题演练集训 12016新课标全国卷平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( )B. A. D.C. 1 3答案：A解析：因为过点 A 的平面 与平面 CB1D1 平行，平面 ABCD平面 A1B1C1D1，所以 mB1D1BD
20、，又 A1B平面 CB1D1，所以nA1B，则 BD 与 A1B 所成的角为所求角，所以 m，n 所成角的正弦值为，故选 A.22015安徽卷已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案：D解析：可以结合图形逐项判断A 项， 可能相交，故错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m，n，mn，则 m，故错误；D 项，假设 m，n
21、 垂直于同一平面，则必有 mn，所以原命题正- 13 - / 15确，故选 D.32014辽宁卷已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正确的是( )A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n答案：B解析：解法一：若 m，n，则 m，n 可能平行、相交或异面，A 错；若 m，n，则 mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若 m，mn，则 na 或 n，C错；若 m，mn，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能n，D 错解法二：如图，在正方体 ABCDABCD中，用平面 ABCD表示 .A 项中，若 m 为 AB，n
22、 为 BC，满足 m，n，但 m与 n 是相交直线，故 A 错B 项中，m，n，mn，这是线面垂直的性质，故 B 正确C 项中，若 m 为 AA，n 为 AB，满足m，mn，但 n，故 C 错D 项中，若 m 为 AB，n 为BC，满足 m，mn，但 n，故 D 错4. 2015浙江卷如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_答案：7 8解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.- 14 - / 15 M 为 AD 的中点， MKAN， KMC 即为异面直线 A
23、N，CM 所成的角 ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 ANDNCM2， MK.在 RtCKN 中，CK .在CKM 中，由余弦定理，得cosKMC.课外拓展阅读 构造平面研究直线相交问题典例 1 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱AA1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条思路分析 解析 解法一：如图所示，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有一个交点 N，当 M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条解法二：在 A1D1 上任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面，因为 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性知，有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交- 15 - / 15答案 无数温馨提示1本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大2注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多