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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 6 6 章不等式推理与章不等式推理与证明第证明第 3 3 节基本不等式教师用书文新人教节基本不等式教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式ab 2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b 同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，
2、几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是2(简记：积定和最小)2 / 12(2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 yx的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)cos x，x的最小值等于 4.( )(3)x0，y0 是2 的充要条件( )(4)若 a0，则 a3的最小值为 2.( )答案 (1) (2) (3) (4)2
3、若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )Aa2b22abBab2abC.2abD.2D D a2a2b2b22ab2ab(a(ab)20b)20，AA 错误；对于错误；对于 B B，C C，当，当a0，22.3(2016安徽合肥二模)若 a，b 都是正数，则的最小值为( )A7 B8C9D10C C aa，b b 都是正数，都是正数，5 5552 29 9，当且仅当，当且仅当b b2a02a0 时取等号，故选时取等号，故选 C.C.4若函数 f(x)x(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( )【导学号：31222209】A1B133 / 12C3D4C C 当当 x2x
4、2 时，时，x x2020，f(x)f(x)(x(x2)2)22222 24 4，当且，当且仅当仅当 x x2 2(x2)(x2)，即，即 x x3 3 时取等号，即当时取等号，即当 f(x)f(x)取得最小值时，取得最小值时，x x3 3，即，即 a a3 3，选，选 C.C.5(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25 设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y，则另一边为(202x)(10x)m，则 yx(10x)225，当且仅当 x10x，即 x5 时，ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数 a，b 满足，
5、则 ab 的最小值为( )A. B2C2D4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数 x，y 满足x22xy30，则 2xy 的最小值是_(1)C (2)3 (1)由知 a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即 a，b2 时取“” ，所以 ab 的最小值为 2.(2)由 x22xy30 得 yx，则2xy2xx23，当且仅当 x1 时，等号成立，所以2xy 的最小值为 3.规律方法 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小” 2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用4 / 12拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等
6、式变式训练 1 (1)(2016湖北七市 4 月联考)已知 a0，b0，且 2ab1，若不等式m 恒成立，则 m 的最大值等于( )A10B9C8D7(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数 m，n 满足mn0，mn1，则的最大值为_(1)B (2)4 (1)41525229，当且仅当 ab时取等号又m，m9，即 m 的最大值等于 9，故选 B.(2)mn0，mn1，m0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明 (1)2，ab1，a0，b0，2224，3 分8(当且仅当 ab时等号成立).5 分(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理 12，5 / 12(2b a)(2a b)52
7、549，10 分9(当且仅当 ab时等号成立).12 分法二：1，由(1)知，8，10 分故19.12 分规律方法 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练 2 设 a，b 均为正实数，求证：ab2. 【导学号：31222210】证明 由于 a，b 均为正实数，所以2，3 分当且仅当，即 ab 时等号成立，又因为ab2
8、2，当且仅当ab 时等号成立，所以abab2，8 分当且仅当即 ab时取等号.12 分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升6 / 122 元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解 (1)设所用时间为 t(h)，y214，x50,100.2 分所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是yx，x.(或 yx，x).5 分(2)yx26 ，当且仅当x，即 x18，等号成
9、立.8 分故当 x18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 元.12 分规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练 3 某化工企业 2016 年年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备 x7 / 12年的年平均污水处理费用为 y(单位：万
10、元)(1)用 x 表示 y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解 (1)由题意得，y，即 yx1.5(xN*).5 分(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，8 分当且仅当 x，即 x10 时取等号故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备.12 分思想与方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，
11、然后通过解不等式进行求解2基本不等式的两个变形：(1)2ab(a，bR，当且仅当 ab 时取等号)(2)(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)易错与防范1使用基本不等式求最值， “一正” “二定” “三相等”三个条件缺一不可2 “当且仅当 ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立8 / 12的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致课时分层训练课时分层训练( (三十四三十四) ) 基本不等式基本不等式A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1已知 x1，则函数 yx的最小值为( )【导学号：31222211】A1 B
12、0C1D2C C 由于由于 xx1 1，则，则 x x1010，所以，所以 y yx x(x(x1)1)12121 11 1，当且仅当，当且仅当 x x1 1，由于，由于 xx1 1，即当，即当 x x0 0 时，上时，上式取等号式取等号 2设非零实数 a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的( ) 【导学号：31222212】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B B 因为因为 a a，bRbR 时，都有时，都有 a2a2b2b22ab2ab(a(ab)20b)20，即，即a2a2b22abb22ab，而，而22ab0ab0，所以，所以“a2“a2b22ab”b
13、22ab”是是“2”2”的必要不充分条件的必要不充分条件 3(2016吉林东北师大附中等校联考)函数 f(x)ax12(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny10 上，其中 m0，n0，则的最小值为( ) 【导学号：31222213】A4B59 / 12C6D322D D 由题意知由题意知 A(1A(1，1)1)，因为点，因为点 A A 在直线在直线 mxmxnyny1 10 0 上，上，所以所以 m mn n1 1，所以，所以(m(mn)n)3 3，因为 m0，n0，所以332n m2m n32.当且仅当时，取等号，故选 D.4(2016安徽安庆二模)已知 a0，b0，
14、ab，则的最小值为( )A4B22C8D16B B 由由 a0a0，b0b0，a ab b，得 ab1，则22.当且仅当，即 a，b时等号成立故选 B.5(2016郑州外国语学校月考)若 ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则( )ARb1ab1，lglg algalg b0b0，(lg alg b)，1 2即 QP.，lglg(lg alg b)Q，即 RQ，P0)，若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数 p 的值为_由题意得 x10，f(x)x1121，当且仅当9 4x1 时取等号，所以 214，解得 p.8某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为4
15、万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨20 每次都购买 x 吨，则需要购买次运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为 44x 万元44x160，当且仅当 4x时取等号，x20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小三、解答题9(1)当 x0，24，4 分当且仅当，即 x时取等号于是 y4，故函数的最大值为.6 分11 / 12(2)00，y，8 分当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y的最大值为.12 分10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy 的最小值；(2)
16、xy 的最小值解 (1)由 2x8yxy0，得1，2 分又 x0，y0，则 12 ，得 xy64，当且仅当 x16，y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.5 分(2)由 2x8yxy0，得1，则 xy(xy)108y x102 18.8 分当且仅当 x12 且 y6 时等号成立，xy 的最小值为 18.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )【导学号：31222214】A80 元B120 元12 / 12C160 元
17、D240 元C C 由题意知，体积由题意知，体积 V V4 4 m3m3，高，高 h h1 1 m m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形的一条边长是 x m，则另一条边长是 m又设总造价是 y 元，则y204108020160.当且仅当 2x，即 x2 时取得等号2(2015山东高考)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当 x0，y0 时，xy(2y)x 的最小值为_因为 xy，所以(2y)x.又 x0，y0.故 xy(2y)2x，当且仅当 xy 时，等号成立3经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，第 t 天(1t30，tN*)的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)4，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解 (1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)5 分(2)当 t1,20时，4014t4012441(t5 时取最小值).7 分当 t(20,30时，因为 W(t)5594t 递减，所以 t30 时，W(t)有最小值 W(30)443，10 分所以 t1,30时，W(t)的最小值为 441 万元.12 分