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1、-1-第四节第四节基本不等式基本不等式A A 级基础过关|固根基|1.若a，bR R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2abC.1a1b2abD.baab2解析：选 D对于 A，因为a2b22ab(ab)20，所以 A 错误；对于 B、C，当a0，b0，所以ba0，ab0，所以baab2baab2，正确2(20192019 届安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且1xyM恒成立，则M的最大值为()A1B2C3D4解析：选 A因为正实数x，y满足xy2，所以 00，b1，且ab2，则3a1b1的最小值为()A42 3B8C4 3D2 3解析：选 A因为a0，b
2、1，ab2，所以3a1b1(ab1)3a1b1 43（b1）aab1423（b1）aab142 3，-2-当且仅当a3 32，b1 32时取等号，所以3a1b1的最小值为 42 3.故选 A.4(20192019 届长春市质量检测一)已知x0，y0，且 4xyxy，则xy的最小值为()A8B9C12D16解析：选 B由 4xyxy，得4y1x1，则xy(xy)4y1x4xyyx142 459，当且仅当4xyyx，即x3，y6 时取“”，故选 B.5.已知函数f(x)13ax312bx2x(a0，b0)在x1处取得极值，则1a4b的最小值为()A4B5C9D10解析：选 C由f(x)13ax31
3、2bx2x，得f(x)ax2bx1，则f(1)ab10，即ab1，所以1a4b1a4b(ab)5ba4ab52ba4ab9，当且仅当ba4ab，即a13，b23时等号成立，故选 C.6已知x0，y0，2xy3，则xy的最大值为_解析：xy2xy2122xy122xy2298，当且仅当 2xy32时取等号答案：987某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：一年购买600 x次，则总运费与总存储费用之和为600 x64x4900 xx8900 xx240，当且仅当x30 时取等号，故
4、总运费与总存储费用之和最小时x的值是 30.答案：308在各项都为正数的等比数列an中，若a2 01822，则1a2 0172a2 019的最小值为_解析：an为各项都为正数的等比数列，a2 017a2 019a22 01812.-3-1a2 0172a2 01922a2 017a2 0192 44，当且仅当1a2 0172a2 019，即a2 0192a2 017时取得等号1a2 0172a2 019的最小值为 4.答案：49已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由 2x8yxy0，得8x2y1.又x0，y0，则 18x2y28x2y8xy，
5、解得xy64，当且仅当x16，y4 时等号成立，所以xy的最小值为 64.(2)由 2x8yxy0，得8x2y1，则xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当x12 且y6 时等号成立，所以xy的最小值为 18.10(1)已知 0 x43，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3 上移动，求 2x4y的最小值解：(1)已知 0 x43，所以 03x0，4y0.所以 2x4y2 2x4y2 2x2y2 234 2.当且仅当2x4y，x2y3，即x32，y34时“”成立，所以当x32，y34时，2x4y取最小值为 4 2.B B 级素养提升|练能力|11.
6、已知x0，y0，且 2x4yxy1，则x2y的最小值是_解析：令tx2y，则 2x4yxy1 可化为 12x4yxy2(x2y)12x2y222tt28.因为x0，y0，所以x2y0，即t0，所以t216t80，解得t6 28，即x2y的最小值是 6 28.答案：6 2812已知正实数a，b满足ab4，则1a11b3的最小值为_解析：因为ab4，所以a1b38，所以1a11b318(a1)(b3)1a11b3182b3a1a1b3 18(22)12，当且仅当a1b3，即a3，b1 时取等号，所以1a11b3的最小值为12.答案：1213 当t1，)时，不等式mt24t2m0 恒成立，则实数m的
7、取值范围是_解析：由题意及不等式分离参数得，m4tt224t2t(t1)恒成立，由基本不等式可得t2t2t2t2 2(当且仅当t 2时取等号)，所以4t2t的最小值为 2，所以m 2.答案：(，2)-5-14如图，某生态园将一块三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为 120，AB，AC的长度均大于 200 米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高 1 米，AQ段围墙高 1.5 米，造价均为每平方米 100 元若围围墙用了 20 000 元，问如何围可使竹篱笆用
8、料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积S12xy sin 12034xy，所以S34xy222 500 3.当且仅当xy，xy200，即xy100 时取“”，则AP与AQ的长度都为 100 米时，可使得三角形地块APQ的面积最大(2)由题意得 100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120 x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75y80072120 00070y4003，当y8007时，PQ有最小值200 217，此时x2007，即AP长为2007米，AQ长为8007米时，可使竹篱笆用料最省-6-