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1、2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合，则ABCD，2（5分）设向量，则与垂直的向量的坐标可以是ABCD3（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，则等于A3BCD4（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则等于A1B2C35（5分）已知，满足不等式组，则的最大值等于A1B2C3D66（5分）设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧
2、面面积为A1BC2D8（5分）设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数图象上两点与的横坐标分别为1和，则；存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；设， 是抛物线 上不同的两点，则；设，是曲线是自然对数的底数）上不同的两点，则其中真命题的个数为A1B2C3D4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）复数的共轭复数是10（5分）设等比数列的公比，前项和为，则11（5分）已知角的终边与单位圆的交点为，则12（5分）的展开式中的系数为（用数字作答）13（5分）直线为参数）与曲线为参数）的公共
3、点个数为14（5分）已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）如图，在中，点在边上，且（）求的长；（）求的面积16（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长，共设13座车站目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥
4、四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为元，求的分布列；（）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元试比较和的方差和大小（结论不需要证明）17（14分）如图，在三棱柱中，底面，是边长为2的正三角形，分别为，的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在一点，使平面？说明理由18（14分）已知椭圆过点，且椭圆的离心
5、率为（）求椭圆的方程；（）斜率为1的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程19（13分）已知函数，其中（）求的单调区间；（）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值20（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数质数的个数是无穷的设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，中所有不大于的项的和为（）求和（5）；（）判断和的大小，不用证明；（）设，求证：，使得2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分
6、，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解答】解：集合，故选：【解答】解：；可看出，；故选：【解答】解：根据题意，当时，则（2），又由函数为上的奇函数，则（2）；故选：【解答】解：抛物线的焦点坐标为，所以，双曲线的焦点坐标为，所以，解得，故选：【解答】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为，；将三个代入得的值分别为3，2，6；直线过点时，取得最大值为6故选：【解答】解：，是的充分必要条件，故选：【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面是，它的面积为故选：【解答】解：对于，由，得，则，则，即，正
7、确；对于，如时，则，正确；对于，抛物线的导数为，则，正确；对于，由，得，由不同两点，可得，错误；综上所述，正确的命题序号是故选：二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分【解答】解：，复数的共轭复数是，故答案为：【解答】解：故答案是：15【解答】解：由三角函数的定义有：，由，得：，由二倍角公式得：，故答案为：【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为，故答案为：15【解答】解：直线为参数）的直角坐标方程为：；与曲线为参数）的直角坐标方程：圆的圆心到直线的距离为：；所以直线与圆相切，有1个交点故选：1【解答】解：作出与的函数图象如图所示：直线过，联立，得由，得又过与两点
8、的直线的斜率有图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围为故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程【解答】解：（）在中，因为，所以由正弦定理得（）因为，所以所以在中，由余弦定理，得，解得或（舍所以的面积【解答】解：（）记两站间票价不足5元为事件，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件中基本事件数为所以两站间票价不足5元的概率（A） （3分）（）记甲乙花费金额分别为元，元的所有可能取值为6，7，8，9，10（4分），（5分），（6分），（7分），（8分） （9分）所以的分布列为678910（10分）（）甲乙二人只乘坐
9、八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元，乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元和的方差和大小， （13分）【解答】证明：（）在三棱柱中，因为平面，所以又为等边三角形，为的中点，所以 （2分）因为，所以平面； （3分）解：（）取中点，连结，因为，分别为，的中点，所以由（）知，如图建立空间直角坐标系（4分）由题意得，0，0，3，3，0， （5分）设平面法向量，则，即，令，则，即， （6分）平面法向量 （7分）因为，所以，（8分）由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为（9分）解：（）在线段上不存在点，使平面理由如下假设线段上存在点，使平面则，使得因为，所以（10分）又，所以 （1
10、1分）由（）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得（12分）所以，解得 （13分）这与，矛盾所以在线段上不存在点，使平面（14分）【解答】解：（）因为椭圆过点，且椭圆的离心率为所以由题意得（3分）解得所以椭圆的方程为 （4分）（）设直线的方程为，（5分）由，得（7分）令，得 （8分）， （9分）因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴 （10分）过做的垂线，则垂足为线段的中点设点的坐标为，则（12分）由方程组，解得，解得（13分）而，所以直线的方程为 （14分）【解答】解：（）的定义域为令，得当时，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（）设点的横坐标为，则，由题意得由得或（舍把代入，可得设，则令，得当时，单调递增；当时，单调递减在上的最大值为，即的最大值为【解答】解：（），（5）；（）当时，（1），（1）；当时，（2），（2）；当时，（3），（3）；当时，（4），（4）当时，当时，（5），（5）不难看出，当时，；证明：（），当时，使得；当时，使得；当时，使得；当时，使得时，命题成立当时，设是使得成立的最大自然数，只需证，由（）可知，当时，从而，即综上可知，命题成立声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/17 21:25:37；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267