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1、高三总温习直线与圆的方程知识点总结及典型例题直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：，范围0，xl/轴或与x轴重合时，=00。2、斜率：k=tan与的关系：=0?=0已知L上两点P1x1,y1002?kP2x2,y2=?2不存在?k=1212xxyy-0224、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线x轴：y=0y轴：x=0平行于x轴：y=b平行于y轴：x=a过原点：y=kx任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：1共点直线系方程：p0x0,y0为定值，k为参数y-y0=kx-x0十分：y=kx+b，表示过0、b的直线系不含y轴2平行直线系：y=kx+b，k为定值，b为参数。A
2、X+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系3过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入A2X+B2Y+C2=0不含L26、三点共线的断定：ACBCAB=+，KAB=KBC，写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、2、L1到L2的角为0，则12121tankkkk?+-=121-kk3、夹角：12121tankkkk+-=4、点到直线距离：2200BAcByAxd+=已知点p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0?2221BAccd+
3、-=与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C022=+BAd与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+CCBYAX5、对称：1点关于点对称：p(x1,y1)关于Mx0,y0的对称)2,2(1010YYXXP-2点关于线的对称：设p(a、b)一般方法：如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)则Kpp0KL=1P,P0中点知足L方程解出P0(x0,y0)思路2写出过PL的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。P3直线关于点对称L：AX+BY+C=0关于点PX0、Y0的对称直线l：A2X0-X+
4、B2Y0-Y+C=04直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线f(x、y)=0关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0关于y=x对称曲线是f(y、x)=0关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0关于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划不等式表示的区域AX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目的函数、线性目的函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确建议稍画大一点。线性约束条件必须考虑完好。先找可行
5、域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程()22)(rbyax=-+-，ca、b为圆心，r为半径。一般方程：022=+FEYDXyx，?-2,2EDC，2422FEDr-+=当0422=-+FED时，表示一个点。当0422=+=254)12(22点P在圆外讲明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来断定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该怎样来断定直线与圆的位置关系呢？例2求半径为4，与圆042422=-+yxyx相切，且和直线0=y相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求
6、圆的方程为圆222)()(rbyaxC=-+-：圆C与直线0=y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2-aC又已知圆042422=-+yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3若两圆相切，则734=+=CA或134=-=CA(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(=-+-a，或2221)14()2(=-+-a(无解)，故可得1022=a所求圆方程为2224)4()1022(=-+-yx，或2224)4()1022(=-+-yx(2)当)4,(2-aC时，2227)14()2(=-+-a，或2221)14()2(=-+-a(无解)，故622=a所求圆的方程为222
7、4)4()622(=+-yx，或2224)4()622(=+-yx讲明：对此题，易发生下面误解：由题意，所求圆与直线0=y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(=-+-yax又圆042422=-+yxyx，即2223)1()2(=-+-yx，其圆心为)1,2(A，半径为3若两圆相切，则34+=CA故2227)14()2(=-+-a，解之得1022=a所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+-yx，或2224)4()1022(=-+-yx上述误解只考虑了圆心在直线0=y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不
8、全面的例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-yx和02=+yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线02=-yx与02=+yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-yx和02=+yx的距离相等5252yxyx+=-两直线交角的平分线方程是03=+yx或03=-yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03=-yx上设圆心)3,(ttCC到直线02=+yx的距离等于AC，22)53(532-+=+tttt化简整理得0562=+-tt解得：1=t或5
9、=t圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22=-+-yx或125)15()5(22=-+-yx讲明：此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，进而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例4、设圆知足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在知足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-yxl：的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程知足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为),(baP，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为?90，故圆截x轴所得弦长为r2222br=又圆截y轴所得弦长为2122+=ar又),(baP到直线02=-yx的距离为52bad-=2225bad-=abba4422-+=)(242222baba+-+1222=-=ab当且仅当ba=时取“=号，此时55min=d这时有?=-=1222abba